精品解析：吉林省长春外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

长春外国语（南关、净月）学校2024-2025学年第二学期 初三年级下学期期初考试 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意． 故选：B． 2. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解题的关键． 找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的主视图是： 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．根据平移法则：左加右减，上加下减，由此即可得出答案， 【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是： 故选：C 5. 如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点， ∴下列角一定等于的是． 故选A． 6. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 7. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案. 【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：D. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念. 8. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在反比例函数（，）的图象上，，过点C作，交反比例函数于点D，且，则k的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点C作轴于H，过点D作于T，过点C作于G．易证明，则可得，设，，则，再证明，，可得，再根据方程求出m即可解决问题． 【详解】如图，过点C作轴于H，过点D作于T，过点C作于G． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵D，C在反比例函数上， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的特征，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 单项式的次数是_________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：单项式的次数是2+1=3． 故答案为3． 10. 如果有意义，那么x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件可得，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故答案为：． 11. 为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确抽象出一元二次方程是解题关键．设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】解：设该校这两个月藏书的月均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 12. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为，求得正多边形的中心角为，于是得到结论． 【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为， ∴正多边形的中心角为， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 13. 如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积公式是，根据旋转的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形， ，， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，于点F，DG⊥AC于G．连结．下列四个结论中正确的有______． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算等，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质来推导线段和面积的关系． ①通过矩形性质得到，，，得到，，从而证明； ②证明，对应边成比例，而是边的中点，得出线段的数量关系； ③证明垂直平分，得到，而，从而得到； ④通过面积的转化和计算得出与，从而得到结论． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 而E是的中点， . ，故②正确； ，， ， ， 而E是的中点， ， 由②知：， ， 又， 垂直平分， ∴， 而， ，故③不正确； 由②知， ， ， ， ， 又，， ，故④正确． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则． 先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等，请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ∴． 17. 列分式方程解应用题： 为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？ 【答案】甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元 【解析】 【分析】设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元，由题意得：用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系式，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：， 故答案为：． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的． （2）在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的． （3）在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等． 【答案】（1） 如图1中，点D即为所求． （2） 如图2中，点E即为所求． （3） 如图3，点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质，寻找点D，使点D为线段的中点，连接即可； （2）仿照（1）的方法，利用网格线与三角形各边的交点找到三边的中点，再连接一个中点与三角形的顶点构成一条中线，连接另两个中点构成一条中位线，中线与中位线相交于点E，连接； （3）仿照（1）的方法，利用三角形的边与网格线的交点找到的中点，然后构造两条三角形的中线，两条中线的交点为F，连接． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了利用网络线与三角形各边的交点寻找线段中点的方法，涉及三角形全等的判定与性质、中位线定理、三角形面积计算，解题的关键是能综合运用这些知识点． 20. 年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下： a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：；；；；）： b．乙校区的学生成绩数据在这一组的是： 91 91 92 94 c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 方差 甲校区 89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2 根据上述信息，解答问题： （1）______； （2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）； （3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中． 【答案】（1）91 （2）乙，甲 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数，中位数，方差判断即可； （3）先求出抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分的人数，然后用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：由乙校区学生成绩的频数分布直方图知：有4人，有7人， ∴乙校区抽取名学生的竞赛成绩的中位数在， 又乙校区的学生成绩数据在这一组的是：91，91，92，94， ∴中位数为， 故答案为：91； 【小问2详解】 解：∵甲、乙两校区的平均数都是89.3，而甲校区的中位数88.5小于乙校区的中位数91， ∴对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校， ∵甲校区的方差42.6小于乙校区的方程87.2， ∴甲校区的成绩更整齐， 故答案为：乙，甲； 【小问3详解】 解：∵抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分， ∴两校区不低于95分共有人， 又抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有7人， ∴抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有人， ∴估计甲校区被选中人数有人． 【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键． 21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．   （1）求客车返回时与之间的函数关系式； （2）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． （）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距，分两种情况：①客车到达乙地前两车相距；②客车到达乙地后两车相距列出方程解答即可求解； 【小问1详解】 解：由图象可知，客车从甲地开往乙地的速度为， 货车的速度为 客车从甲地开往乙地需要的时间为， ∴点的坐标为， 设为，把、代入得， ， 解得， ∴客车返回时与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距， ①客车到达乙地前两车相距， 由题意得，， 解得； 此时：，即火车恰好到达终点符合题意， ②客车到达乙地后两车相距，此时货车已到达甲地， 由题意可得，， 解得； 答：两车第一次相遇后，再经过或两车之间相距． 22. 问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】 （1）如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ； 【探究】 如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （2）求证：； （3）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 则， ∴． （3）276． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，即得； （2）由圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，即可解答； （3）先证明，得到，的值，再根据即可解答． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴． 故答案为：． （2）略 （3） ∵，，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：276． 【点睛】本题考查了圆内接四边形．熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 23. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．点P从点A出发沿以每秒4个单位的速度向终点B运动，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）当为矩形时，求矩形的周长； （3）连接PC． ①当将的面积分成的两部分时，求t的值； ②作点A关于直线的对称点，记为．当与的边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）①； ②；； 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形的中位线的性质求解即可； （2）如图， 先求解，由，可得，好四边形为矩形，可得答案； （3）①如图，当时，，如图，当时，，再进一步求解即可； ②如图，当于时，延长交于，连接，证明，设，则，，求解，利用等面积法可得，进一步可得答案；如图，当于时，记的交点为，由对折可得：，，而，证明四边形为菱形，可得答案；如图，当于，交于，过作于，求解，，利用等面积法可得，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵点D、E分别是、的中点，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，当时，， ∵， ∴， ∴， 如图，当时，， ∴， ∴， 综上：当将的面积分成的两部分时，t的值为或； ②如图，当于时，延长交于，连接， ∵，则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 而， ∴， 解得：，（舍去） ∴， ∴， 如图，当于时，记的交点为， 由对折可得：，，而， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 如图，当于，交于，过作于， 同理可得：， ∴， 由对折可得：，，， ∴设， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，，顶点为C，与y轴交点为D．点Р是抛物线上一个动点，其横坐标为m． （1））求抛物线的函数表达式； （2）过点D作垂直抛物线的对称轴于点E，求的值； （3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求C、D的坐标，从而求出，，最后根据正切的定义求解即可； （3）分析图形G，分P在A的左侧；P在A、C之间；P在C的右侧，且点P在x轴的上方；P在C的右侧，且点P在x轴的下方，讨论即可； （4）根据函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小，指的是在抛物线的对称轴同一侧，列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； 综上，当或时，； 【小问4详解】 解：由题意，知：或， 解得或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，解不等式组，正切的定义等知识，解题的关键是注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语（南关、净月）学校2024-2025学年第二学期 初三年级下学期期初考试 数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在反比例函数（，）的图象上，，过点C作，交反比例函数于点D，且，则k的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 单项式的次数是_________． 10. 如果有意义，那么x的取值范围是____________． 11. 为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程______． 12. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 13. 如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为_______． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，于点F，DG⊥AC于G．连结．下列四个结论中正确的有______． ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等，请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 17. 列分式方程解应用题： 为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？ 18. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积为 ． 19. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的． （2）在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的． （3）在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等． 20. 年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下： a．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：；；；；）： b．乙校区的学生成绩数据在这一组的是： 91 91 92 94 c．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 方差 甲校区 89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2 根据上述信息，解答问题： （1）______； （2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）； （3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中． 21. 已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．   （1）求客车返回时与之间的函数关系式； （2）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 22. 问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】 （1）如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ； 【探究】 如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （2）求证：； （3）若，，则四边形的面积为 ． 23. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．点P从点A出发沿以每秒4个单位的速度向终点B运动，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒． （1）求线段的长； （2）当为矩形时，求矩形的周长； （3）连接PC． ①当将的面积分成的两部分时，求t的值； ②作点A关于直线的对称点，记为．当与的边垂直时，直接写出t的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，，顶点为C，与y轴交点为D．点Р是抛物线上一个动点，其横坐标为m． （1））求抛物线的函数表达式； （2）过点D作垂直抛物线的对称轴于点E，求的值； （3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $