1.3 线段的垂直平分线练习题2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册1.3 线段的垂直平分线练习题 一．选择题（共6小题） 1．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（　　） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 2．如图，在△ABC中，AC＝5cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8cm，则BC的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm 5．如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线交点 6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于点E，连接EC，若BC＝12cm，AB＝18cm，则△EBC的周长为（　　） A．24cm B．28cm C．30cm D．36cm 二．填空题（共6小题） 7．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若△ADE的周长为15．则BC＝ 　 　． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝67°，PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，则∠PBC的度数为 　 　． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为15cm，则AC+BC＝ 　 　． 10．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝7cm，△ABD的周长为22cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 11．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为20和13，则AE的长等于 　 　． 12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 　 　°． 三．解答题（共4小题） 13．如图，直线l与m分别是△ABC中边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．若AB＝10，求△CDE的周长． 14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD＝DE．求证：AB+BD＝DC． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 16．已知，如图，CD是△ABC的高，∠A＝22.5°，边AC的垂直平分线交AB于点E，EF⊥BC，交CD于点G，垂足为F． （1）求证：DG＝DB； （2）若EF平分∠CEB，试探索线段CF与EG之间的数量关系，并给予证明． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B B C 一．选择题（共6小题） 1．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（　　） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 【分析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC＝PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 【解答】解：∵PB＝PC， ∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，AC＝5cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8cm，则BC的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据中垂线的性质得到BN＝AN，进而得到△BCN的周长＝BC+CN+BN＝BC+CN+AN＝BC+AC可得结论． 【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N， ∴BN＝AN， ∴△BCN的周长＝BC+CN+BN＝BC+CN+AN＝BC+AC＝8cm， ∴BC＝8﹣AC＝8﹣5＝3（cm）． 故选：C． 3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解． 【解答】解：∵∠BAC＝74°， ∴∠B+∠C＝180°﹣74°＝106°， ∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA＝EB，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠NAE＝∠B+∠C﹣∠NAE， ∴∠NAE＝∠B+∠C﹣∠BAC＝106°﹣74°＝32°． 故选：B． 4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm， ∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝19cm， 故选：B． 5．如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线交点 【分析】根据角平分线性质推出即可． 【解答】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF， 连接PA、PB、PC， ∵PD＝PE， ∴PB是∠ABC的角平分线， 同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线， 故P是△ABC角平分线交点， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于点E，连接EC，若BC＝12cm，AB＝18cm，则△EBC的周长为（　　） A．24cm B．28cm C．30cm D．36cm 【分析】由线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，所以△BCE的周长＝BC+AB． 【解答】解：如图，∵DE垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∴△EBC的周长是：BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC． ∵BC＝12cm，AB＝18cm， ∴△BCE的周长是：18+12＝30（cm）， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若△ADE的周长为15．则BC＝ 　15　． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得DA＝DB，EA＝EC，再根据△ADE的周长为15得DA+DE+EA＝15，由此可得BC的长． 【解答】解：∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵△ADE的周长为15， ∴DA+DE+EA＝15， ∴DB+DE+EC＝15， ∴BC＝15． 故答案为：15． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝67°，PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，则∠PBC的度数为 　23°　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PA，PC＝PA，得到∠PBA＝∠PAB，∠PCA＝∠PAC，PB＝PC，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵PD垂直平分AB，PE垂直平分AC， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴∠PBA＝∠PAB，∠PCA＝∠PAC，PB＝PC， ∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝67°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠PBA+∠PCA）＝46°， ∵PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB＝23°， 故答案为：23°． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为15cm，则AC+BC＝ 　15cm　． 【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用三角形的周长解答即可． 【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为15cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝15cm， 故答案为：15cm． 10．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝7cm，△ABD的周长为22cm，则△ABC的周长为 　36　cm． 【分析】由DE是AC的垂直平分线，AE＝7cm，则可得AD＝CD，CE＝AE＝7cm，则由△ABD的周长得AB+BC＝22cm即可求解． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝7cm， ∴AD＝CD，CE＝AE＝7cm， ∴AC＝CE+AE＝14cm； ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC， ∴AB+BC＝22cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝22+14＝36（cm）， 故答案为：36． 11．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为20和13，则AE的长等于 　3.5　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是边AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AEAC， ∵△ABC中与△ABD的周长分别为20和13， ∴AB+BC+AC＝20，AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13， ∴AC＝20﹣13＝7， ∴AEAC＝3.5， 故答案为：3.5． 12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 　15　°． 【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝105°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，DA＝DC，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：连接DA、DC， ∵∠BAC＝75°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣75°＝105°， ∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC， ∴DA＝DB，DA＝DC， ∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝75°， ∴∠DBC＝∠DCB（105°﹣75°）＝15°， 故答案为：15． 三．解答题（共4小题） 13．如图，直线l与m分别是△ABC中边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．若AB＝10，求△CDE的周长． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，EC＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵直线l与m分别是△ABC中边AC和BC的垂直平分线， ∴DA＝DC，EC＝EB， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DA+DE+EB＝AB＝10． 14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD＝DE．求证：AB+BD＝DC． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE＝CE，根据线段垂直平分线的判定与性质推出AB＝AE，根据线段的和差求解即可． 【解答】证明：如图，连接AE， ∵AC的垂直平分线交DC于点E， ∴AE＝CE， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝CE， ∵CD＝DE+CE， ∴AB+BD＝DC． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出EA＝EB，根据等腰三角形的性质求出∠EBA＝∠A．结合角平分线定义求出∠EBA＝∠CBE，再根据“直角三角形的两锐角互余”求解即可； （2）根据含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵DE的垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A． 又∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠CBE， ∵∠C＝90°， 又∵∠CBE+∠EBA+∠A＝90°， ∴∠A＝30°． （2）∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∴BC＝1， ∴AB＝2． 16．已知，如图，CD是△ABC的高，∠A＝22.5°，边AC的垂直平分线交AB于点E，EF⊥BC，交CD于点G，垂足为F． （1）求证：DG＝DB； （2）若EF平分∠CEB，试探索线段CF与EG之间的数量关系，并给予证明． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理得出AE＝EC，根据等边对等角得出∠ACE＝∠A＝22.5°，得出∠CED＝45°，从而得出△CDE是等腰直角三角形，得出ED＝CD，然后根据ASA求得△GED≌△BCD，即可证得DB＝DG． （2）由（1）三角形全等可知EG＝BC，根据ASA求得△ECF≌△EBF，即可证得CF＝BF，从而证得CFEG． 【解答】证明：∵EM垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∴∠ACE＝∠A＝22.5°， ∴∠CED＝45°， ∵CD⊥AB， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴ED＝CD， ∵EF⊥BC，CD⊥AB， ∴∠GED＝∠BCD， 在△GED和△BCD中， ， ∴△GED≌△BCD（ASA）， ∴DB＝DG． （2）由（1）可知△GED≌△BCD， EG＝BC， 在△ECF和△EBF中， ， ∴△ECF≌△EBF（ASA）， ∴CF＝BF， ∴CFBC， ∴CFEG 学科网（北京）股份有限公司 $$