精品解析：辽宁省大连市西岗区2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末质量检测八年级数学 （本试卷共23道题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 3. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、乘、除和性质逐项化简即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意 C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法．根据运算法则逐项计算，即可判断出正确答案． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算错误，不合题意； ，故D选项计算正确，符合题意； 故选D． 6. 若，则下列化简一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分子分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此即可得出答案． 【详解】解：选项A、B、C均不符合分式的基本性质，无法直接化简，只有选项D符合这一性质，分子分母同时除以2，分式的值不变，因此可以化简为， 故答案为：D． 7. 如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 8. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故选：B． 9. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵点与点对称，点与点对称，且的坐标分别为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故选A． 10. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，由题意，可知，拼成的长方形的长为，宽为，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知：拼成的长方形的面积是； 故选D． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 如图，在Rt中，的平分线交于点，则点到边的距离是___________．     【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得到点到边的距离等于的长即可得出结果． 【详解】解：∵的平分线交于点， ∴点到边的距离为6，点到边的距离等于点到边的距离， 即：点到边的距离是6； 故答案为：6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于直线的对称点，连接，易得与直线的交点即为点，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，则， ∵轴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，整式的运算： （1）先进行除法和完全平方运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 化简求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 如图，． （1）作边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求的度数． 【答案】（1） 如图， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）按照作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，进而得到，由等边对等角和三角形内角和定理，得到，利用角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ． ． ， ． ， ． ． 19. 在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． （1）判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； （2）已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】（1）是 （2） ，理由如下： ． 为“妙数”， ， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）利用完全平方公式，将转换为：，根据新定义，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴20是“妙数”； 故答案为：是； 【小问2详解】 略 20. 两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【答案】型机器人每小时搬运原料，型机器人每小时搬运原料 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设型机器人每小时搬运原料，根据型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料 去分母得． 解得． 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． ； 答：型机器人每小时搬运原料，型机器人每小时搬运原料． 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图1是2025年1月份的月历，我们用如图2所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置上的数相乘，再将位置上的数相乘，再相减，例如：，不难发现，这两个代数式计算结果都等于___________．（请完成填空） （2）设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）在2025年某月历中，用正方形框框住如图3阴影部分9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为，求的值． 【答案】（1）35 （2） 设“”字型框架中位置上的数为， 则在位置上的数为，在位置上的数为，在位置上的数为，在位置上的数为， ∵先将位置上的数相乘，再将位置上的数相乘，再相减， ∴ ． （3）17 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法与减法法则计算例子中的两个式子的结果即可得； （2）先分别求出在位置上的数，再列式，计算整式的乘法与加减法即可得； （3）先求出最小的数为，最大的数为，从而可得，再利用平方根解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， 所以这两个代数式计算结果都等于35， 故答案为：35． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为， ∵最小的数和最大的数的乘积为225， ∴， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 答：的值为17． 22. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第84页《实验与探究》有这样一段话： 在一个三角形中，等边所对的角等；反过来，等角所对的边等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？ 为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，李老师给出如下问题：（1）如图1，在中，，求证：． ①如图2，小涛认为：作的平分线，因为，所以在上截取，连接，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． ②如图3，小亮认为：因为，所以在边上截取，连接，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． （1）请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． 【类比分析】通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． （2）如图1，在中，．求证：． 【知识应用】（3）如图4，在中，平分交于点．求证：． 【答案】 （1）选择① 在和中 ． ． ， ． 选择② ， ． ， ， ． （2）方法一：， 过点作，交于点， ． ， ． ． 方法二： ， 作的垂直平分线，交于点，连接， ． ， ． ． （3）方法一：在上取点，使，连接． 在和中 ． ，． ， ． ． ． ． ． ； 方法二：延长至点，使，连接， 在和中 ． ，． ， ． ． ． ． ． ， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据小涛和小亮的思路进行作答即可； （2）方法一：过点作，交于点，根据等角对等边，结合三角形的三边关系即可得证； 方法二：作的垂直平分线，交于点，连接，根据中垂线的性质，结合三角形的三边关系即可得证； （3）方法一：在上取点，使，连接，证明，得到，，根据，推出，进而得到，利用三角形的外角的性质即可得出结论； 方法二：延长至点，使，连接，证明，得到，，推出，进而得到，再根据三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，中垂线的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 23. 如图，在中，，点分别在边上，连接，使． （1）求证：； （2）如图，在上取点，使，连接并延长至点，使，延长交延长线于点．求证：； （3）如图，在的条件下，连接，若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ，， ， ， ； （2） 方法一： 证明：在上取点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 方法二： 证明：延长，在的延长线上取一点使， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 方法三： 证明：过点作于点，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ； 方法四： 证明：延长，在的延长线上取一点，使， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）． 【解析】 【分析】根据等边对等角可知、，根据三角形内角和可知，，所以可知，因为，等量代换可证结论成立； 方法一、在上取点，使，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形外角的性质可证，等量代换可得，根据同角的补角可证，从而可得，利用对顶角相等可证，根据同角的补角相等可证，根据等角对等边可证，等量代换可证结论成立； 方法二、延长，在的延长线上取一点使，根据三角形外角的性质可证，根据同角的补角相等可证，根据四边形内角和定理可得，从而可证，可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证结论成立； 方法三、过点作于点，过点作，交延长线于点，根据可证，根据全等三角形的性质可得：，根据三角形外角的性质可证，根据同角的补角相等可得，根据四边形内角和定理可证，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 方法四、延长，在的延长线上取一点，使，根据等边对等角可证，根据三角形外角的性质可证，根据同角的补角相等可证，根据四边形内角和为，可得，根据可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 方法一、在上取点，使，连接，根据三角形外角的性质可证，利用可证，根据全等等三角形的性质可得，，根据三角形外角的性质可证，从而可证是等边三角形，过点作于点，可求，因为，利用三角形的面积公式可求的面积； 方法二、延长交于点，利用三角形外角的性质可证，过点作于点，过点作于点，利用可证，根据全等三角形的性质可得，，再利用可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，利用等边三角形的性质可知，因为，利用三角形的面积公式可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一： 证明：在上取点，使，连接， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ； 方法二： 证明：延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， 过点作于点，过点作于点， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测八年级数学 （本试卷共23道题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若，则下列化简一定正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 10. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 分解因式：x2y-4y=____． 13. 计算：___________． 14. 如图，在Rt中，的平分线交于点，则点到边的距离是___________．     15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）． （2） 17. 化简求值：．其中． 18. 如图，． （1）作边的垂直平分线，直线交边于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求的度数． 19. 在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． （1）判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； （2）已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 20. 两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图1是2025年1月份的月历，我们用如图2所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置上的数相乘，再将位置上的数相乘，再相减，例如：，不难发现，这两个代数式计算结果都等于___________．（请完成填空） （2）设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）在2025年某月历中，用正方形框框住如图3阴影部分9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为，求的值． 22. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第84页《实验与探究》有这样一段话： 在一个三角形中，等边所对的角等；反过来，等角所对的边等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？ 为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，李老师给出如下问题：（1）如图1，在中，，求证：． ①如图2，小涛认为：作的平分线，因为，所以在上截取，连接，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． ②如图3，小亮认为：因为，所以在边上截取，连接，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． （1）请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． 【类比分析】通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． （2）如图1，在中，．求证：． 【知识应用】（3）如图4，在中，平分交于点．求证：． 23. 如图，在中，，点分别在边上，连接，使． （1）求证：； （2）如图，在上取点，使，连接并延长至点，使，延长交延长线于点．求证：； （3）如图，在的条件下，连接，若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $