16.3 命题与证明（五大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版七年级下册

16.3 命题与证明 题型一 判断是否是命题 1．（22-23八年级上·上海·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可． 【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意； D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 2．（21-22七年级下·重庆璧山·期中）下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 【答案】D 【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是． 【详解】解：A．内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意； B．对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意； C．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意； D．画—条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．正确理解命题的定义是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题主要考查角的比较与运算，还考查命题的知识点，不是很难．答题时首先知道命题是由题设和结论构成，然后判断． 【详解】解：锐角小于钝角，对顶角相等，三角形的内角和等于都是命题， 作的垂直平分线不是命题，没有结论， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选： D． 题型二 写出命题的题设与结论 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查了命题的改写，掌握改写过程中，适当增减词语，保证句子通顺而不改变愿意是解答本题的关键． 根据任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，由此得出答案． 【详解】解：把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等． 故答案为：如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等． 2．（22-23八年级下·湖南永州·开学考试）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应边相等， ∴命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论． 3．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等 【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两个三角形全等，那么它们的周长相等， 故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键． 4．（22-23七年级下·广西南宁·期中）将命题“邻补角互补”写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是邻补角，那么它们互补 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们互补， 故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们互补． 题型三 判断命题真假 1．（2024八年级上·上海·专题练习）“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题的定义，真、假命题的定义．命题是判断一件事情的语句，而判断是对事物有所断定的思维形式，一般可以加上“是”或者“不是”．命题有真有假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据命题以及真假命题的定义进行判断． 【详解】“同旁内角互补”，该命题是假命题； 故答案为：假． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案． 【详解】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意； ②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意； ③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意； ④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意； 综上分析：假命题的有①②③④． 故答案为：①②③④． 4．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 题型四 写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 2．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形全等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 4．（23-24八年级上·上海·单元测试）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题 【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 题型五 反例的应用 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题，判断一个命题是假命题，只要举的反例满足：符合命题的条件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题；根据四个选项中的k值进行判断即可． 【详解】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例； B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例； 选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例； 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：是负数， 只有A选项符合要求，，但是， 故选：A． 3．（21-22七年级下·河北邢台·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断． 【详解】解：A、a＝3，b＝2满足a＞b，a2＞b2，不能作为反例，故不符合题意； B、a＝﹣1，b＝﹣2满足a＞b，但a2＜b2，能作为反例，故符合题意； C、a＝﹣2，b＝﹣1不满足a＞b，不能作为反例，故不符合题意； D、a＝2，b＝﹣1满足a＞b，a2＞b2，不能作为反例，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题和反例，熟练掌握反例的意义是解题的关键． 4．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可． 【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意； B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意； C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意； D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题．熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，是解题的关键． 1．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 命题与证明 题型一 判断是否是命题 1．（22-23八年级上·上海·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 2．（21-22七年级下·重庆璧山·期中）下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 3．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 4．（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 题型二 写出命题的题设与结论 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 2．（22-23八年级下·湖南永州·开学考试）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 3．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ． 4．（22-23七年级下·广西南宁·期中）将命题“邻补角互补”写成“如果……，那么……”的形式 ． 题型三 判断命题真假 1．（2024八年级上·上海·专题练习）“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 4．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 题型四 写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 2．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 3．（2024八年级上·上海·专题练习）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是 ． 4．（23-24八年级上·上海·单元测试）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题 题型五 反例的应用 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·河北邢台·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 1．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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