精品解析：河南省漯河市郾城区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度上期期末教学质量检测试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的． 1. 下列图案中，不符合中心对称图形特征的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据中心对称图形的概念逐个选项判断即可． 【详解】解：A.此图旋转不能够和自身重合，所以不是中心对称图形，故该选项符合题意； B. 此图旋转能和自身重合，所以是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 此图旋转能够和自身重合，所以是中心对称图形，故该选项不符合题意； D. 此图旋转能够和自身重合，所以是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 在三角形外任取一点，是这个三角形的内心 B. 任意一个三角形的内角和是 C. 一名篮球运动员在罚球线上投篮，未投进 D. 掷一枚硬币，反面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．还涉及三角形的内角和定理，三角形的外心的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【详解】解：A、在三角形外任取一点，是这个三角形的内心，是不可能事件，因为三角形的内心为内切圆的圆心，则在三角形内部，故不符合题意； B、任意一个三角形的内角和是，是必然事件，正确，符合题意； C、一名篮球运动员在罚球线上投篮，未投进，是随机事件，故不符合题意； D、掷一枚硬币，反面朝上，是随机事件，故不符合题意， 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式是解答本题的关键．直接运用一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 4. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正弦值，勾股定理，掌握正弦的定义是解题的关键．由题意可设，则，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴设， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 6. 如图，在中，点D是的中点，点P为边上一个动点，在下列条件中，不能使与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，准确掌握和熟练的应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据图形可得，结合相似三角形的判定依据，只需从两个三角形中再找另一组角相等或者是这组相等角的夹边成比例，可得三角形相似来解决问题． 【详解】解：A、∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故不符合题意； B、∵，， ∴，故不符合题意； C、∵，， ∴，故不符合题意； D、两边对应成比例，但是夹角不相等，故不能证明相似，符合题意， 故选：D． 7. 如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质．根据圆周角的性质可知，再根据圆内接四边形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；①利用抛物线与轴有个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断；再根据④知抛物线与x轴的另一个交点为即可判断⑤． 【详解】解：①抛物线与轴有个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， , ，所以③正确； ④二次函数的图象过，， 方程的解是，，故④正确； ⑤由④知二次函数的图象过， 当时，，故⑤错误． 故选：A． 9. 如图，正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．本题应分两种情况讨论，一种是和是对应点，和是对应点时，位似中心就是与的交点；二种是和是对应点，和是对应点，位似中心就是与的交点，根据两种情况分别求出交点即可． 【详解】解：∵正方形和正方形中和点的坐标分别为，， ∴、、、、， ①当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ∴，解得， ∴此函数的解析式为，与的交点坐标是； ②当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，故此一次函数的解析式为①， 同理，设所在直线的解析式为， ，解得， 故此直线的解析式为②， 联立①②得， 解得，故与的交点坐标是， ∴两个正方形的位似中心的坐标是或， 故选：D． 10. 如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点定A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数． 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移m个单位后经过点，则m的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象平移规律，熟记图象平移规律是解题关键．可总结为“左加右减、上加下减”． 先得到平移后的函数解析式为，代入，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意得，平移后的函数解析式为， 代入得：， 解得：， 故答案为：4． 13. 如图，过反比例函数图象上的点A作x轴的垂线，垂足为B，点分别为的中点，四边形的面积为3，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，由相似三角形的性质求得三角形的面积是解题的关键．根据题意得是的中位线，易证，相似三角形的性质可求得的面积，由反比例函数比例系数的几何意义即可求和k的值． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为3， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 由反比例函数比例系数的几何意义得：， 由题意知：， ∴； 故答案为：． 14. 如图，为的直径，分别与相切于点，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D，若，则线段的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，作于H， ∵直径于H，，为的切线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 【答案】4≤t≤6 【解析】 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围． 【详解】连接AP， 由题意得， t要最大，就是点A到上的一点的距离最大 在AD延长线上， 的最大值是APAD+PD=5+1=6 的最小值是APAD-PD=5-1=4 故t的取值范围为： 4≤t≤6 故答案为：4≤t≤6． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16. 根据要求解答： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值计算和解一元二次方程，熟记各特殊角的三角函数值和灵活选取适当的方法解方程是解题的关键． （）利用因式分解法求解即可； （）先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知抛物线． （1）用配方法求该抛物线的顶点坐标； （2）填空： ①点和在抛物线上，则线段的长为_______； ②当时，则y的取值范围是______________． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，运用分类讨论的思想求解． （1）把抛物线解析式转化为顶点式即可求解； （2）①令求出的值，即可求出线段的长；②由（1）知抛物线的顶点坐标，再将代入解析式求出相应的函数值，即可得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：， 整理得， 即， ∴， 则该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①令，则， 解得：， 即线段的长为：； ②由（1）抛物线的顶点坐标为，且开口向上，则当时，该抛物线有最小值， 当时，， 当时，， ∴时，y的取值范围是． 18. 如图，双曲线与直线交于两点．点和点在双曲线上，点C为x轴上一点． （1）填空： ①_______，_______，_______； ②当时，x的取值范围是______________； （2）若的面积为12，求此时C点的坐标． 【答案】（1）①，，；②或 （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键． （1）①把点和点代入，求出与的值即可，再将点代入反比例函数即可求出k的值； ②根据A与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可； （2）根据，求出的长，再分点C在x轴正半轴和负半轴两种情况，进而得到此时点的坐标． 【小问1详解】 解：①直线过点和点， ，， ； ， 将点代入反比例函数，则， 解得：； 故答案为：6，3，； ②由①知， 观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值， 即使得的的取值范围是或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 当点为轴正半轴上的一点时，此时点的坐标为； 当点为轴负半轴上的一点时，此时点的坐标为； 综上，的面积为12时，C点的坐标为或． 19. 嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜． （1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______． （2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查简单的概率计算，树状图法或列表法求解概： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到嘉嘉获胜的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有五个空格，每个空格被掷到的概率相同，且只有掷到最中间的那个空格嘉嘉才能获胜， ∴嘉嘉获胜的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中掷完两次棋子后嘉嘉获胜的结果有，，，，共4种， ∴嘉嘉获胜的概率为． 20. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把． （1）求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式． （2）当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）每把团扇的售价定为32元时，每月的销售利润最大，最大利润为1680元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意，构造二次函数，运用函数的性质解决问题即可． (1) 根据总销售量等于基础销售量减去销售减少量，列式计算即可． (2) 根据总利润等于单件的利润乘以销售件数，列出等式即可． 【小问1详解】 根据题意，基础销售量为210件，提价销售减少量为，根据题意，得． 【小问2详解】 根据题意，得． ， 当时，w随x的增大而增大． ， 当时，w取得最大值，为． 答：当每把团扇的售价定为32元时，每月的销售利润最大，最大利润为1680元． 22. 综合与实践：某校数学活动小组要测量校园内一棵树的高度，小王同学带领小组成员进行此项实践活动，活动过程如下： 【自制工具】 如图①，自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角． 【实地资量】 如图②，小王同学站在离树一定距离的平地上，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，测量后得出仰角．小王继续往前走，如图③，从水平地面的点向前走4米到达点，测量后得出仰角，眼睛到地面的距离． 【问题解决】计算树的高度，结果精确到（参考数据：） 【答案】树高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，先证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， 答：树高度约为． 23. 如图1，在边长为6的正方形中，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． （1）如图2，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则的值为_______．（直接写出结果，不必写出解答过程） （2）如图3，当点E运动到边的中点时，求的值． （3）请在备用图上利用尺规找到的三等分点（保留作图痕迹，不写作法），当点E运动到边的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合折叠的性质和正方形的性质易求，即可求解； （2）过点F作交于点M，交于点N，证明，推出，即可解答； （3）在下方作出射线，在射线上分别截取，连接，再作出，即可；同理（2）即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质得：则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作交于点M，交于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ， ， ∵点E是的中点，， ∴， 设， 则， ， ∴， 解得：， ， ∴； 【小问3详解】 解：作图如下： 当点E与点P重合时，则， 同理得：， ， 设， 则， ， ∴， 解得：， ， ∴； 当点E与点Q重合时，则， ， 设， 则， ， ∴， 解得：， ， ∴； 综上，当点E运动到边的三等分点时，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质，正切函数，折叠的性质等知识，作出辅助线构造相似三角形解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上期期末教学质量检测试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的． 1. 下列图案中，不符合中心对称图形特征的图案是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 在三角形外任取一点，是这个三角形的内心 B. 任意一个三角形的内角和是 C. 一名篮球运动员在罚球线上投篮，未投进 D. 掷一枚硬币，反面朝上 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D是的中点，点P为边上一个动点，在下列条件中，不能使与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 9. 如图，正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是( ) A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值是_______． 12. 将抛物线向上平移m个单位后经过点，则m的值为_______． 13. 如图，过反比例函数图象上的点A作x轴的垂线，垂足为B，点分别为的中点，四边形的面积为3，则k的值为_______． 14. 如图，为的直径，分别与相切于点，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D，若，则线段的长为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16. 根据要求解答： （1）解方程：； （2）计算：． 17. 已知抛物线． （1）用配方法求该抛物线的顶点坐标； （2）填空： ①点和在抛物线上，则线段的长为_______； ②当时，则y的取值范围是______________． 18. 如图，双曲线与直线交于两点．点和点在双曲线上，点C为x轴上一点． （1）填空： ①_______，_______，_______； ②当时，x的取值范围是______________； （2）若的面积为12，求此时C点的坐标． 19. 嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，两人在距棋盘5米外随机投掷，棋子落在已有棋子方格中或掷到棋盘外需重掷，若掷到空格中，则占据该空格，当三颗相同的棋子连成一条线时获胜． （1）第一局棋盘棋子如图1所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷完本次棋子后，嘉嘉获胜的概率为______． （2）第二局棋盘棋子如图2所示（空格为A，B，C，D），嘉嘉获得连续两次掷棋子机会，求掷完两次棋子后嘉嘉获胜的概率． 20. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 21. 中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把． （1）求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式． （2）当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？ 22. 综合与实践：某校数学活动小组要测量校园内一棵树的高度，小王同学带领小组成员进行此项实践活动，活动过程如下： 【自制工具】 如图①，自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角． 【实地资量】 如图②，小王同学站在离树一定距离的平地上，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，测量后得出仰角．小王继续往前走，如图③，从水平地面的点向前走4米到达点，测量后得出仰角，眼睛到地面的距离． 【问题解决】计算树的高度，结果精确到（参考数据：） 23. 如图1，在边长为6的正方形中，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． （1）如图2，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则的值为_______．（直接写出结果，不必写出解答过程） （2）如图3，当点E运动到边的中点时，求的值． （3）请在备用图上利用尺规找到的三等分点（保留作图痕迹，不写作法），当点E运动到边的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $