培优专题 平面直角坐标系（知识盘点+13题型+2易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

培优专题 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系(如图所示). 2.横轴 水平的数轴称为轴或横轴,习惯上取向有为正方向. 3. 纵轴 竖直的数轴称为轴或纵轴,习惯上取向上为正方向. 4.原点 两坐标轴的交点 称为平面直角坐标系的原点. 5. 象限 建立平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(如图所示),每个部分称为象限,分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 【归纳】构成平面直角坐标系的三要素:(1)有两条数轴;(2)两数轴互相垂直;(3)两数轴有公共原点 6.建立平面直角坐标系的基本步骤 (1)选原点:根据条件,选择合适的点作为原点.(2)作两轴过原点在互相垂直的方向上分别作出轴和轴.(3)定坐标系:确定轴和轴的正方向和单位长度,并分别标上,. 注意 (1)一般情况下,两条坐标轴的单位长度是一致的，在有些问题中，两条坐标轴的单位长度可以不同,但同一条坐标轴的单位长度必须一致。(2)坐标轴上的点不属于任何象限;坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上。(3)各象限的名称是一种规定,不能随意更改。 （22-23七年级下·山东临沂·期中）在第四象限内，到轴距离为3，到轴距离为4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 点与坐标 1．由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，如图所示，过点分别作轴， 轴，垂足分别为，点在轴上对应的数是3，点在轴上对应的数是2，那么3叫作点的横坐标，2叫作点的纵坐标,点的坐标记作(3,2). 注意 （1）在写点的坐标时，规定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用追号隔开。数对与表示不同的点的坐标． （2）坐标平面内的任意一点都有唯一的有序实数对（即这个点的坐标）与之对应；反过来，对于任意一对有序实数，坐标平面内都有唯一的点与之对应． 2．由坐标描点 若点的坐标为，则先从横轴找到数对应的点，并过该点画轴的垂线，再从纵轴找到数对应的点，并过该点画轴的垂线，两垂线的交点即点的位置． 【提示】在平面直角坐标系中,平面内的任一位置都可以用坐标刻画出来,也可以根据坐标找到点在坐标系中相应的位置.通过平面直角坐标系,把平面中的点和坐标结合起来,实现了数与形的有机统一. （22-23七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，则线段的长为 ． 点的坐标的符号特点 点的位置 点(a,b)的横、纵坐标的符号 图例 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴上 轴上 原点 【归纳】（1）轴上的点的纵坐标为0，轴上的点的坐标一般记为 ．轴上的点的樻坐标为0，轴上的点的坐标一般记为 ． 原点既在轴上，又在轴上，原点记为． （2）与轴平行的直线上的点的纵（横）坐标相同． （3）一，三象限角平分线上的点的横，纵坐标相等，二，四象原角平分线上的点的横，纵坐标互为相反数． 用坐标描述简单几何图形 一般地,可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形.在用坐标描述简单几何图形时,只需用坐标描述这些图形上关键点的位置.建立的平面直角坐标系不同,图形上点的坐标也不同 在平面直角坐标系中,由简单几何图形的一些关键点的坐标,可以确定这些关键点的位置,进而确定这个简单几何图形。 注意 为了能方便地写出图形上点的坐标,在建立平面直角坐标系时,要考虑图形的形状特征。 （23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 用坐标表示地理位置 通过建立适当的平面直角坐标系,刻画平面区域内某些地点位置的步骤如下： (1) 建立平面直角坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定轴、轴的正方向; (2) 根据具体问题,确定单位长度； (3) 在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称. 【提示】(1)建立平面直角坐标系的方法不是唯一的.建立平面直角坐标系的方法不同,各个点的坐标也不相同,解题的繁简程度就不同,所以建立坐标系时,要以方便、简单、美观为原则.(2)建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般选择所要绘制的区域内较居中的位置,或与其他已知位置都有联系的位置,要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则.(3)坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向,这样可以使东西南北方向与地理位置一致.(4)根据实际问题选择适当的比例尺. （23-24七年级下·河北保定·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（   ） A．北国影院3号厅2排 B．兴华路中段 C．东经，北纬 D．南偏东 用“表示方向的角+距离”表示物体的相对位置 在航海和地理测绘中,经常用表示方向的角和距离来表示平面内物体的相对位置。 【提示】(1)描述方向时,通常以正北或正南为基准,以向东或向西偏离的角度来表示,写成北偏东(西)或南偏东(西)的形式来描述方向. (2) 表示平面内点的方向时,和地图上的方向一致,即按“上北下南,左西右东”来划分。 注意 用表示方向的角和距离来刻画平面内物体的相对位置时，通常先写角度,后写距离;写角度时,通常先写南北,后写东西.若选择的参照点不同，则同一物体的位置的表述内容不同，即方向和距离也会不同. （23-24七年级下·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．    用坐标表示平移 1． 平面直角坐标系中图形平移时点的坐标的变化规律（其中） 平移前点的坐标 平移方向、距离 平移后点的坐标 规律 向左平移个单位长度 将点左右平移,纵坐标不变:上下平移,横坐标不变将点向右(或向上)平移几个单位长度,横坐标(或纵坐标)就增加几;向左(或向下)平移几个单位长度,横坐标(或纵坐标)就减少几点的平移与其坐标变化的规律可简记为“上加下减,右加左减” 向有平移个单位长度 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 2． 由点的坐标变化得到图形平移的情况 (1) 一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移个单位长度(2)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状、大小。 3． 一个图形沿两条坐标轴平移 一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到。 （22-23七年级下·重庆江津·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是、、．如果将向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到． (1)请在单位长度为1的网格中画出，直接写出、的坐标，并求的面积； (2)在x轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半． 求点到坐标轴的距离 例1（23-24七年级下·海南三亚·阶段练习）点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列说法不正确的是（    ） A．若中，则P点在x轴上 B．点到y轴的距离为2 C．点在第二象限 D．若在x轴上，则 【变式1-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 判断点所在的象限 例2（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（21-22七年级下·河北保定·期末）已知点Р的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点Р为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式2-2】（21-22七年级下·山东滨州·期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 已知点所在的象限求参数 例3（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若在y轴上，则P到x轴的距离是（　　） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23七年级下·四川泸州·期末）若点在轴上，则点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 点坐标规律探索 例4（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的友谊点，已知点的友谊点为点，点的友谊点为点，点的友谊点为点依此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第99次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 已知图形的平移求点的坐标 例5（23-24七年级下·全国·单元测试）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点变换为点，点分别是的对应点． (1)请画出平移后的三角形（不写画法），并直接写出点 的坐标：（  ）、（   ） (2)若三角形 内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是（  ） 【变式5-1】（23-24七年级下·全国·期中）如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是． (1)求三角形的面积； (2)如果将三角形向上平移1个单位长度，得到三角形，再向右平移2个单位长度，得到三角形，试求出点的坐标； (3)三角形与三角形的大小、形状有什么关系？ 【变式5-2】（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知，，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题： (1)在图上画出； (2)写出点，的坐标； (3)求出的面积． 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例6（23-24八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出、、的坐标． 【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 由平移方式确定点的坐标 例7（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的坐标分别为，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)画出将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的，并写出、、的坐标． 【变式7-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1) ______；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【变式7-2】（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把三角形平移后，三角形内任意点对应点为． (1)在图中，画出平移后的图形； (2)在三角形平移到三角形的过程中，线段扫过的面积为______； (3)在图中，用无刻度的直尺作图：在轴正半轴上找一点，使的面积为；（保留作图痕迹） 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例8（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【变式8-1】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的． (1)分别写出点、、的坐标； (2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标． 【变式8-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的三个顶点的坐标分别为，，，中任意一点经过平移变换后对应点为，将三角形作同样的平移变换得到． (1)画出平移后的，并写出点 的坐标为_______； (2)连接，，则四边形的面积为_________； (3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使的面积等于的面积，并直接写出点Q的坐标为________． 【变式8-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）与在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______； (2)说明由经过怎样的平移得到？_______． (3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______； (4)求的面积． 已知平移后的坐标求原坐标 例9（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________； (2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． (3)求出三角形的面积． 【变式9-2】（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形 (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值； (3)求三角形面积； (4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ． 平移综合题（几何变换） 例10（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【变式10-1】（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【变式10-2】（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-3】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 坐标系中的对称 例11（24-25八年级上·浙江·期末）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【变式11-2】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【变式11-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 坐标系中的旋转 例12（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 【变式12-1】（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的； (3)求出（2）的面积是多少． 【变式12-2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 中点坐标 例13（2024八年级上·全国·专题练习）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为，如图． (1)在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为___________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点，，的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，…，则点的坐标为___________． 【变式13-1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为 ． 【变式13-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐是 ． 【变式13-3】（24-25八年级上·全国·期末）直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点，O为坐标原点，则的面积为 ． 2．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知三角形ABC的顶点在格点上，在建立平面直角坐标系后，A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)在坐标系内平移使点A的对应点的坐标为，直接写出点、的坐标； (4)若是内部任意一点，请直接写出这点在内部对应点的坐标：______． 1．（21-22七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是轴上一动点，则，两点间的距离的最小值为 ． 1．（2011七年级下·河南周口·专题练习）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川达州·期中）平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位长度至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位长度至点，…以此规律跳动下去，点第2025次跳动至点，则点的坐标是 ． 6．（23-24七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)画出，并求的面积； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标． 7．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点，，，三角形经过平移得到三角形，三角形中任意一点平移后的对应点为．    (1)请在图中作出三角形； (2)写出点的坐标． 8．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，，将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形． (1)直接写出平行四边形四个顶点的坐标． (2)求平行四边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系(如图所示). 2.横轴 水平的数轴称为轴或横轴,习惯上取向有为正方向. 3. 纵轴 竖直的数轴称为轴或纵轴,习惯上取向上为正方向. 4.原点 两坐标轴的交点 称为平面直角坐标系的原点. 5. 象限 建立平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(如图所示),每个部分称为象限,分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 【归纳】构成平面直角坐标系的三要素:(1)有两条数轴;(2)两数轴互相垂直;(3)两数轴有公共原点 6.建立平面直角坐标系的基本步骤 (1)选原点:根据条件,选择合适的点作为原点.(2)作两轴过原点在互相垂直的方向上分别作出轴和轴.(3)定坐标系:确定轴和轴的正方向和单位长度,并分别标上,. 注意 (1)一般情况下,两条坐标轴的单位长度是一致的，在有些问题中，两条坐标轴的单位长度可以不同,但同一条坐标轴的单位长度必须一致。(2)坐标轴上的点不属于任何象限;坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上。(3)各象限的名称是一种规定,不能随意更改。 （22-23七年级下·山东临沂·期中）在第四象限内，到轴距离为3，到轴距离为4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标． 【详解】解：∵点P在第四象限内， ∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴点P的横坐标是4，纵坐标是，即点P的坐标为． 故选：A． 点与坐标 1．由点找坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，如图所示，过点分别作轴， 轴，垂足分别为，点在轴上对应的数是3，点在轴上对应的数是2，那么3叫作点的横坐标，2叫作点的纵坐标,点的坐标记作(3,2). 注意 （1）在写点的坐标时，规定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用追号隔开。数对与表示不同的点的坐标． （2）坐标平面内的任意一点都有唯一的有序实数对（即这个点的坐标）与之对应；反过来，对于任意一对有序实数，坐标平面内都有唯一的点与之对应． 2．由坐标描点 若点的坐标为，则先从横轴找到数对应的点，并过该点画轴的垂线，再从纵轴找到数对应的点，并过该点画轴的垂线，两垂线的交点即点的位置． 【提示】在平面直角坐标系中,平面内的任一位置都可以用坐标刻画出来,也可以根据坐标找到点在坐标系中相应的位置.通过平面直角坐标系,把平面中的点和坐标结合起来,实现了数与形的有机统一. （22-23七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，则线段的长为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键． 先根据线段与x轴平行得出点B的纵坐标为2，再由点B到y轴的距离为3可得出其横坐标，进而得出结论． 【详解】解：线段与x轴平行，且点， 点B的纵坐标为2， 点B到y轴的距离为3， 点B的横坐标为3或， 或， 或． 故答案为：8或 点的坐标的符号特点 点的位置 点(a,b)的横、纵坐标的符号 图例 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴上 轴上 原点 【归纳】（1）轴上的点的纵坐标为0，轴上的点的坐标一般记为 ．轴上的点的樻坐标为0，轴上的点的坐标一般记为 ． 原点既在轴上，又在轴上，原点记为． （2）与轴平行的直线上的点的纵（横）坐标相同． （3）一，三象限角平分线上的点的横，纵坐标相等，二，四象原角平分线上的点的横，纵坐标互为相反数． 用坐标描述简单几何图形 一般地,可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形.在用坐标描述简单几何图形时,只需用坐标描述这些图形上关键点的位置.建立的平面直角坐标系不同,图形上点的坐标也不同 在平面直角坐标系中,由简单几何图形的一些关键点的坐标,可以确定这些关键点的位置,进而确定这个简单几何图形。 注意 为了能方便地写出图形上点的坐标,在建立平面直角坐标系时,要考虑图形的形状特征。 （23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查的是坐标与图形的综合应用； （1）由轴可得，再解方程即可； （2）先求解，可得，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）设点P的坐标为，求解，可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵轴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 用坐标表示地理位置 通过建立适当的平面直角坐标系,刻画平面区域内某些地点位置的步骤如下： (1) 建立平面直角坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定轴、轴的正方向; (2) 根据具体问题,确定单位长度； (3) 在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称. 【提示】(1)建立平面直角坐标系的方法不是唯一的.建立平面直角坐标系的方法不同,各个点的坐标也不相同,解题的繁简程度就不同,所以建立坐标系时,要以方便、简单、美观为原则.(2)建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般选择所要绘制的区域内较居中的位置,或与其他已知位置都有联系的位置,要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则.(3)坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向,这样可以使东西南北方向与地理位置一致.(4)根据实际问题选择适当的比例尺. （23-24七年级下·河北保定·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（   ） A．北国影院3号厅2排 B．兴华路中段 C．东经，北纬 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、北国影城3号厅2排，不能确定具体位置，不符合题意； B、兴华路中段，不能确定具体位置，不符合题意； C、东经，北纬，能确定具体位置，符合题意； D、南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：C． 用“表示方向的角+距离”表示物体的相对位置 在航海和地理测绘中,经常用表示方向的角和距离来表示平面内物体的相对位置。 【提示】(1)描述方向时,通常以正北或正南为基准,以向东或向西偏离的角度来表示,写成北偏东(西)或南偏东(西)的形式来描述方向. (2) 表示平面内点的方向时,和地图上的方向一致,即按“上北下南,左西右东”来划分。 注意 用表示方向的角和距离来刻画平面内物体的相对位置时，通常先写角度,后写距离;写角度时,通常先写南北,后写东西.若选择的参照点不同，则同一物体的位置的表述内容不同，即方向和距离也会不同. （23-24七年级下·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．    【答案】070066 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2、3、4位数字表示时间，第5、6位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可． 【详解】解：∵南偏西方向的时刻是， ∴南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为070066． 故答案为：070066． 用坐标表示平移 1． 平面直角坐标系中图形平移时点的坐标的变化规律（其中） 平移前点的坐标 平移方向、距离 平移后点的坐标 规律 向左平移个单位长度 将点左右平移,纵坐标不变:上下平移,横坐标不变将点向右(或向上)平移几个单位长度,横坐标(或纵坐标)就增加几;向左(或向下)平移几个单位长度,横坐标(或纵坐标)就减少几点的平移与其坐标变化的规律可简记为“上加下减,右加左减” 向有平移个单位长度 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 2． 由点的坐标变化得到图形平移的情况 (1) 一般地,在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移个单位长度(2)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状、大小。 3． 一个图形沿两条坐标轴平移 一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到。 （22-23七年级下·重庆江津·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是、、．如果将向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到． (1)请在单位长度为1的网格中画出，直接写出、的坐标，并求的面积； (2)在x轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为，点的坐标为，的面积为2 (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查图形的平移，以及三角形面积的计算： （1）根据平移的规律画出，把放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可． （2）运用三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 点的坐标为，点的坐标为， 的面积为 （2）解：存在，设点的坐标为， 所以，， 解得，， ∴点的坐标为或 求点到坐标轴的距离 例1（23-24七年级下·海南三亚·阶段练习）点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确利用坐标性质得出的值是解题关键． 直接利用第二象限点的坐标性质结合轴的距离为5，得出，解题即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 又∵到轴的距离为5， ∴，即， 解得：， 故选C． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列说法不正确的是（    ） A．若中，则P点在x轴上 B．点到y轴的距离为2 C．点在第二象限 D．若在x轴上，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 若中，则P点在x轴上或轴上，故该选项不正确，不符合题意； B. 点到y轴的距离为2，故该选项正确，符合题意； C. 点在第二象限，故该选项正确，符合题意； D. 若在x轴上，则，故该选项正确，符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后分情况求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 时，， 时，， 所以，点P的坐标为或． 故选：A． 判断点所在的象限 例2（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：当时，，则， ∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第一象限． 故选：A． 【变式2-1】（21-22七年级下·河北保定·期末）已知点Р的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点Р为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于的方程，然后求得的值，进而确定Ｍ的坐标，最后确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点” ∴3（m-1）=2（3m+2）+5，解得m=-4 ∴ ∴点M在第三象限． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点，根据“和谐点”的定义列出关于的方程是解答本题的关键． 【变式2-2】（21-22七年级下·山东滨州·期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线ABx轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b<0，然后判断点M的横坐标与纵坐标的正负即可解答． 【详解】解：∵直线ABx轴， ∴2a+2=4，解得：a=1， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴b<0， ∴b-a=b-1<0，a-2=1-2=-1<0， .点M在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，根据直线ABx轴可得点A，B的纵坐标相等是解答本题的关键． 已知点所在的象限求参数 例3（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若在y轴上，则P到x轴的距离是（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，求得是解题的关键．根据轴上的点的横坐标为得出，进而得出纵坐标即可求解． 【详解】解：∵在轴上， ∴， ∴， ∴， 则到轴的距离是， 故选：C． 【变式3-1】（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在x轴上，则，解出，再代入中，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上 ∴ ∴ 则 点A的坐标为 故选：C． 【变式3-2】（22-23七年级下·四川泸州·期末）若点在轴上，则点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】本题考查了直角坐标系内点的坐标特征，正确理解坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．根据点A在x上，求出m的值，得到点B的坐标，即可判断． 【详解】解：点在轴上， ， ，即， 点在第三象限， 故选：B． 点坐标规律探索 例4（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，由题意易知半圆的弧长为，然后可得点每秒走个半圆，即可求解． 【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点每秒走个半圆． 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动， 运动时间为1秒时，点的坐标为； 运动时间为2秒时，点的坐标为； 运动时间为3秒时，点的坐标为； 运动时间为4秒时，点的坐标为； 运动时间为5秒时，点的坐标为； 运动时间为6秒时，点的坐标为 点的横坐标等于运动时间，纵坐标以四个数为一个循环组循环． 第2025秒时，点的坐标是， 故选C． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的友谊点，已知点的友谊点为点，点的友谊点为点，点的友谊点为点依此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，发现点坐标的变化规律是解题的关键． 根据友谊点的定义依次求出的坐标，可得每4个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为、、、，然后据此规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的友谊点为点，即； 同理可得，，，，， ……， 以此类推，可知每4个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为，，，， ∵， ∴点的坐标为． 故选：A． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第99次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的规律探究，观察可知，点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环，据此进行求解即可． 【详解】解：观察可知：点的横坐标为，纵坐标以四个数为一个循环节进行循环， ∵， ∴经过第99次运动后，动点的横坐标为，纵坐标为2，即； 故选C． 【变式4-4】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键． 利用点的终结点的定义分别写出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，从而得出每4次变换为一个循环，然后利用即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点的坐标为，则： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 每4次变换为一个循环， 而， 点的坐标与点的坐标相同，为， 故答案为：． 已知图形的平移求点的坐标 例5（23-24七年级下·全国·单元测试）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点变换为点，点分别是的对应点． (1)请画出平移后的三角形（不写画法），并直接写出点 的坐标：（  ）、（   ） (2)若三角形 内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是（  ） 【答案】(1)作图见解析，、； (2)． 【分析】（）根据平移的性质作出图形，再根据图形写成点的坐标即可； （）由点的坐标得出平移变化方式，据此即可求解； 本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，，， 故答案为：、； （2）解：∵点平移后的对应点为， ∴横坐标减，纵坐标减， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24七年级下·全国·期中）如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是． (1)求三角形的面积； (2)如果将三角形向上平移1个单位长度，得到三角形，再向右平移2个单位长度，得到三角形，试求出点的坐标； (3)三角形与三角形的大小、形状有什么关系？ 【答案】(1) (2)图见解析； (3)大小相等，形状相同． 【分析】此题考查了平移的作图与平移的性质、坐标与图形等知识，准确作图是解题的关键． （1）利用网格的特点和三角形面积公式进行解答即可； （2）按照平移方式找到对应点，顺次连接即可得到所求图形，写出点的坐标即可； （3）根据平移的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，三角形的面积； （2）如图，三角形和三角形即为所求，点的坐标分别为； （3）根据平移的性质可知，三角形与三角形的大小相等，形状相同． 【变式5-2】（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知，，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题： (1)在图上画出； (2)写出点，的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)12 【分析】本题考查了坐标平面内图形的平移作图，求格点三角形的面积，熟练掌握坐标平面内图形的平移作图是解题的关键． （1）根据平移的性质，找出点A，点B，点C经过平移后的对应点，，，连结，，，即得所求图形； （2）由（1）画出的图形可知点，的坐标； （3）根据三角形的面积公式计算，即得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，； （3）解：的面积为：． 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 例6（23-24八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式6-1】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化．根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】解：∵点， ∴先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点的坐标是， 即， 故选：C． 【变式6-2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出、、的坐标． 【答案】画图见解析，，， 【分析】本题主经考查了网格作图．熟练掌握平移作图，平移坐标变换，是解决问题的关键． 把点A、B、C分别向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点、、，连接，，，即得，坐标分别为：，，． 【详解】解：把点A、B、C分别向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点、、，连接，，，得到， 即为所求作， 、、的坐标分别为：，，． 【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ，， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ，， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 由平移方式确定点的坐标 例7（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的坐标分别为，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)画出将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的，并写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—平移变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据的坐标进行描点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质找出点、、，再顺次连接即可，写出、、的坐标即可； 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： ，， 【变式7-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1) ______；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【答案】(1)1， (2) (3)； (4) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程． （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为，可求出根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B， 点，即， 将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C， 点，即， 故答案为：； （3）解：设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴． （4）解：, 理由：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把三角形平移后，三角形内任意点对应点为． (1)在图中，画出平移后的图形； (2)在三角形平移到三角形的过程中，线段扫过的面积为______； (3)在图中，用无刻度的直尺作图：在轴正半轴上找一点，使的面积为；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】本题考查图形平移，熟知图形不变性的性质是解题的关键． （1）根据点平移之后的坐标，确定平移的方向和距离，作图即可求解； （2）根据题意，求平行四边形和的面积即可求解； （3）根据题意，可知将向右平移个单位长度，与轴交于，点即为所求； 【详解】（1）根据三角形内任意点对应点为可知， 的对应点为，的对应点为，的对应点为，根据坐标做出； （2）线段扫过的面积为； （3）将向右平移个单位长度，与轴交于， 如图所示： 此时三角形面积为， 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 例8（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)3，1 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答； （2）找到点A，B，C的对应点，即可解答； （3）根据“上加下减，左减右加”的平移规律，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n． 【详解】（1）解： 如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴； （3）解：∵为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点， ∴， ∴． 故答案为：3，1． 【变式8-1】（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的． (1)分别写出点、、的坐标； (2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)三角形 先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即得到三角形 (3) 【分析】本题考查了坐标与平移变化，准确识图是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可； （2）根据图形，从点、的变化写出平移规律； （3）根据平移规律写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由点到点，横坐标减，纵坐标减， 则向左平移个单位，向下平移个单位得到； （3）解：由向左平移个单位，向下平移个单位， 得点的坐标为． 【变式8-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图， 的三个顶点的坐标分别为，，，中任意一点经过平移变换后对应点为，将三角形作同样的平移变换得到． (1)画出平移后的，并写出点 的坐标为_______； (2)连接，，则四边形的面积为_________； (3)请仅用无刻度的直尺在y轴正半轴上找点Q，使的面积等于的面积，并直接写出点Q的坐标为________． 【答案】(1)见解析，点 的坐标为 (2) (3)见解析，点Q的坐标为 【分析】本题考查作图−复杂作图，点坐标的平移，平行四边形的面积，坐标与图形变化等知识． （1）根据平移的性质作图即可，然后写出点的坐标； （2）利用割补法求平行四边形的面积即可； （3）取格点点D，然后连接交y轴于点，点即为所作． 【详解】（1）解：即为所作； 点 的坐标为； （2）解：四边形的面积为； （3）如图，点Q即为所作； 点Q的坐标为． 【变式8-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）与在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标： _______； _______；_______； (2)说明由经过怎样的平移得到？_______． (3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______； (4)求的面积． 【答案】(1)，， (2)先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 (3) (4)2 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移变换等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键． （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）根据对应点、的变化写出平移方式即可； （3）根据平移规律写出点的坐标即可； （4）利用割补法计算的面积即可． 【详解】（1）解：根据在平面直角坐标系中的位置， 可知，，． 故答案为：，，； （2）根据与在平面直角坐标系中的位置， 可知先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可得到． 故答案为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度； （3）若点是内部一点， 则平移后内的对应点的坐标为． 故答案为：； （4）的面积． 已知平移后的坐标求原坐标 例9（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得． 【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上， 即， 则点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征． 【变式9-1】（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________； (2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． (3)求出三角形的面积． 【答案】(1)图见解析，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解； （3）先求出所在的长方形的面积，然后减去四周的三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， 平移后的，如图所示： 点的坐标是； （2）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为； （3）解： 【变式9-2】（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形 (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值； (3)求三角形面积； (4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据三角形平移的方向和单位长度分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变，构建方程组即可解决问题； （3）利用分割法求出三角形的面积即可； （4）设点，则，然后利用建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，如图， ∴，，， 连接、、， ∴三角形即为所作； （2）平移后点的对应点， ∵， ∴， 解：， ∴，； （3）， ∴三角形面积为； （4）设点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—平移变换，点坐标平移的规律，两点间距离，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积． 平移综合题（几何变换） 例10（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 【变式10-1】（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 【变式10-2】（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）解：点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，， 如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 【变式10-3】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识； （1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可； （2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 点C在x轴的负半轴， ， 故答案为：，； （2）点P在x轴上，设， ， 由题意得：， 解得：或， 或； （3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，， 证明：设交于J，   ， ， ， ； ②如图，点M在H上方且在直线上方时， 同理可得． ③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，    作， ， ， ， ． 坐标系中的对称 例11（24-25八年级上·浙江·期末）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．根据关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，即可解题． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 【变式11-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式11-2】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    【变式11-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，图形平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中图形平移的性质，进行解答，即可． （1）根据，的坐标，，确定平面直角坐标系的原点，即可． （2）由（1）平面直角坐标系可得点的坐标，根据点关于对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到点，，的坐标，依次连接，即可； （3）根据平移的规律，左减右加，上加下减，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：∵点，， ∴关于轴对称的的坐标，，，，依次连接， ∴即为所求． （3）解：∵，，， ∴先向右平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， ∴． 坐标系中的旋转 例12（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键； 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式12-1】（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的； (3)求出（2）的面积是多少． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1) 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可． (2) 根据旋转的全等性作图即可． (3) 利用分割法计算面积即可． 本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，，． ∴，画图如下： 则即为所求，且． （2）解：根据旋转的全等性作图如下： 则即为所求． （3）解：根据题意，得 ． 【变式12-2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题主要考查作图-旋转变换、旋转的性质、中心对称的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可解答； （2）如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的，然后得到点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求．由图可得：． （2）解：如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的， ∴这个点的坐标为． 故答案为：． 中点坐标 例13（2024八年级上·全国·专题练习）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为，如图． (1)在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为___________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点，，的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，…，则点的坐标为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查点的坐标规律的探索， （1 ）根据对称中心的坐标公式代入计算即可 （2 ）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题． 找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，， ∴的坐标为，即， 故答案为：； （2）由题意可知：，， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， …… ∴六次一个循环， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式13-1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段中点的坐标计算，正确理解线段中点的坐标计算是解题的关键．利用线段中点的计算公式计算，即得答案． 【详解】解：是线段的中点， ， 解得， ． 故答案为：10． 【变式13-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若以、、三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．熟练掌握平行四边形的性质，结合坐标画出图形是解题的关键； 根据平行四边形两组对边分别平行可得第四个顶点的坐标． 【详解】解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得点有三种情况， 若以为对角线构建平行四边形则第四个顶点坐标为， 若以为对角线构建平行四边形，则第四个顶点坐标为， 若以为对角线构建平行四边形，则第四个顶点坐标为， 综上所述，第四个顶点坐标为或或； 故答案为：或或 【变式13-3】（24-25八年级上·全国·期末）直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点，O为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了坐标与图形及坐标中点公式，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形及坐标中点公式，先求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点， ， ， 的面积， 故答案为：12， 2．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知三角形ABC的顶点在格点上，在建立平面直角坐标系后，A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)在坐标系内平移使点A的对应点的坐标为，直接写出点、的坐标； (4)若是内部任意一点，请直接写出这点在内部对应点的坐标：______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的坐标为，C的坐标为 (4) 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图，掌握图形平移不变性的性质是解答本题的关键． （1）根据A，B，C三点的坐标画出图形即可； （2）利用割补法求解即可； （3）首先根据题意求出平移方式，然后根据平移的性质求解即可； （4）根据（3）中求出的平移方式求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）三角形的面积； （3）∵A的坐标为，平移后点A的对应点的坐标为， ∴平移方式为向左平移一个单位，向上平移3个单位 ∵点B的坐标为，C的坐标为 ∴点的坐标为，C的坐标为； （4）由（3）可得平移方式为向左平移一个单位，向上平移3个单位 ∴在内部对应点的坐标为． 1．（21-22七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是轴上一动点，则，两点间的距离的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据垂线段最短求出点B的坐标，从而得到AB的最小值． 【详解】解：当AB⊥x轴时，AB最短， 此时点B的坐标为（-1，0），AB=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，掌握垂线段最短是解题的关键． 1．（2011七年级下·河南周口·专题练习）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由纵坐标为0可得：，进而求解m的值，则问题得解． 【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得： ，解得：， ， 点； 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中的平移等知识点，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标平移规律是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的坐标平移规律（左减右加，上加下减）进行解答即可． 【详解】解：根据平面直角坐标系中点的坐标平移规律（左减右加，上加下减）可得，把棋子“帅”向右平移3个单位，向上平移3个单位即可得到棋子“马”的位置， 棋子“马”所在的点的坐标为：， 即：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川达州·期中）平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角坐标系的知识，设出B点的坐标，根据轴，可确定B点横坐标，根据可确定B点的纵坐标． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点，N， ∴线段MN的中点 ∵点恰好位于轴上，且到轴的距离是3， ∴ 解得：或 ∴或 综上所述，的值等于或 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位长度至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位长度至点，…以此规律跳动下去，点第2025次跳动至点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律探索，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据给出的图形可得：点的坐标为，点的坐标为，最后得出答案即可． 【详解】解：观察题中图形可知，点，，，… 依次类推，可得点的坐标为； 点，，，… 依次类推，可得点的坐标为， ， 点的坐标是． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)画出，并求的面积； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)15 (2)作图见解析， 【分析】本题考查的是作图平移变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据各点在坐标系中的位置描出各点，并顺次连接即可； （2）根据图形平移的性质画出平移后的，并写出点的坐标即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）如图，即为所求，； 7．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点，，，三角形经过平移得到三角形，三角形中任意一点平移后的对应点为．    (1)请在图中作出三角形； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移： （1）由和可得平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移1个单位长度，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据（1）所求可得答案． 【详解】（1）解：∵三角形经过平移得到三角形，三角形中任意一点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移1个单位长度， ∵，，， ∴，，， 如图所示，即为所求：    （2）解：由（1）可知． 8．（23-24七年级下·湖北宜昌·期中）如图平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，，将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形． (1)直接写出平行四边形四个顶点的坐标． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1) , (2) 【分析】本题考查了坐标系中点、图形的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减. （1）将各点的横坐标减去，纵坐标不变，即可得出答案； （2）求出平行四边形的面积即可； 【详解】（1）∵平行四边形的四个顶点坐标分别, 将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形， ∴平行四边形四个顶点的坐标分别为 , ， （2）∵平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积平行四边形的面积. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$