培优专题 概率（知识盘点+5题型+1易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

培优专题 概率 随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． （2024春•宝应县期中）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． （2024秋•盐城期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 　 　． 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． （2024秋•泰兴市期末）某事件发生的概率是，则下列推断正确的是　　 A．做100次这种实验，事件必发生3次 B．做100次这种实验，事件不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件平均每100次发生3次 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． （2024秋•江阴市校级期末）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为　　 A． B． C． D． 确定事件与随机事件 例1（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列词语描述的事件为随机事件的是（   ） A．冬去春来 B．水中捞月 C．缘木求鱼 D．不期而遇 【变式1-1】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．“通常加热到，水沸腾”是随机事件 B．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 C．抛掷一枚硬币次，一定有次正面向上 D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件 【变式1-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 【变式1-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）“据天气预报，南京明天的最高气温是摄氏度”这一事件是 （填随机事件、必然事件或不可能事件）． 判断事件发生的可能性的大小 例2（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．守株待兔 B．瓜熟蒂落 C．水涨船高 D．旭日东升 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏常州·期末）一个不透明的袋子中，有1个红球，2个白球和3个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是（　　） A．黑球 B．红球 C．白球 D．蓝球 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（    ） A．该事件是确定事件 B．该事件发生的可能性很小 C．该事件发生与不发生的可能性一样大 D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 求某事件的频率 例3在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） 【变式3-1】在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则估计袋子中的红球有 个． 【变式3-2】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． 由频率估计概率 例4“扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有两项，“半程马拉松”和“迷你马拉松”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 851 频率 0.750 0.780 0.810 0.855 0.852 0.851 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ．（精确到0.01） 【变式4-1】小明同一条件下进行射门训练，结果如下表： 射门次数n 20 50 100 200 500 踢进球门频数m 13 35 58 104 255 踢进球门频率 0.65 0.70 0.58 0.52 0.52 根据表中数据，估计小明射门一次进球的概率为 ．（精确到0.1） 【变式4-2】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【变式4-3】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 用频率估计概率的综合应用 例5大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【变式5-1】某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 该射手击中靶心的概率的估计值是 (精确到0.01)． 【变式5-2】某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【变式5-3】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 【变式5-4】第一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4,估计袋中红球的个数. 【例1】袋子里有3个红球、2个白球，不放回地连续抽两次。求第一次抽到红球且第二次抽到白球的概率。 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）不透明的袋子中有4个红球和3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件为不可能事件的是（    ） A．摸到的有红球 B．摸到的有绿球 C．摸到的全是红球 D．摸到的全是绿球 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．太阳从东方升起 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．通常加热到时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观，下列成语中描述的事件是不可能事件的是（     ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．百步穿杨 D．空中楼阁 5．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．转动抽奖转盘一次，中奖 C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6 D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球 6．（23-24八年级下·江苏南通·期末）不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，则布袋中红球的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）一个袋中装有2个红球、4个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出 球的可能性最大． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期中）从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是 ． 11．（22-23八年级下·江苏常州·期末）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为 （结果精确到0.1）． 12．在一个不透明的袋子里，装有除颜色外其余匀相同的3个白色球和若干个黄色球，摇匀后，从这个袋子里随机摸出一个球，放回摇匀再摸出一个球，经过大量重复实验，摸到黄球的频率在0.4左右，则袋子内有黄色球 个． 13．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）某学校为了解在校生的体能素质情况，从全体八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀，B级：良好，C级：及格，D级：不及格），其中B级占30%．解答下列问题： (1)除去题中文本和统计图中所给信息外，请再写出两条信息，并简要说明理由； 信息1： ； 理由： ； 信息2： ； 理由： ； (2)如果从该校八年级学生中随机抽取一位学生，你预测抽到哪个等级的学生可能性最大 ． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 概率 随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． （2024春•宝应县期中）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 【答案】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上，是随机事件，不符合题意； 、投掷飞镖一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； 、从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球，是必然事件，符合题意； 、玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． （2024秋•盐城期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 　 　． 【答案】． 【分析】根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【解答】解：在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， 从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 【点评】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键． 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． （2024秋•泰兴市期末）某事件发生的概率是，则下列推断正确的是　　 A．做100次这种实验，事件必发生3次 B．做100次这种实验，事件不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件平均每100次发生3次 【答案】 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：某事件发生的概率是，大量重复做这种实验，事件平均每100次发生3次， 故选：． 【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． （2024秋•江阴市校级期末）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先假设不规则图案面积为 ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【解答】解：假设不规则图案面积为 ， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4， 综上有：， 解得． 故选：． 【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 确定事件与随机事件 例1（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列词语描述的事件为随机事件的是（   ） A．冬去春来 B．水中捞月 C．缘木求鱼 D．不期而遇 【答案】D 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：A、冬去春来是必然事件，故不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； C、缘木求鱼是不可能事件，故不符合题意； D、不期而遇是随机事件，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．“通常加热到，水沸腾”是随机事件 B．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 C．抛掷一枚硬币次，一定有次正面向上 D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A．“通常加热到，水沸腾”是必然事件，原选项错误，不符合题意； B．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，是随机事件，原选项正确，符合题意； C．抛掷一枚硬币次，不一定有次正面向上，原选项错误，不符合题意； D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，原选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 【答案】2 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件的概念即可得出答案． 【详解】∵事件为随机事件． ∴“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵， ∴m的值是2； 故答案为：2． 【变式1-3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）“据天气预报，南京明天的最高气温是摄氏度”这一事件是 （填随机事件、必然事件或不可能事件）． 【答案】随机事件 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：“据天气预报，南京明天的最高气温是摄氏度”这一事件是随机事件． 故答案为：随机事件． 判断事件发生的可能性的大小 例2（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．守株待兔 B．瓜熟蒂落 C．水涨船高 D．旭日东升 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，符合题意； B．瓜熟蒂落是必然事件，不符合题意； C．水涨船高是必然事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏常州·期末）一个不透明的袋子中，有1个红球，2个白球和3个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是（　　） A．黑球 B．红球 C．白球 D．蓝球 【答案】A 【分析】本题考查了判断时间发生可能性的大小．根据个数最多的球，摸出其可能性最大． 【详解】解：在袋子中，黑球个数最多， 所以从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是黑球， 故选：A 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（    ） A．该事件是确定事件 B．该事件发生的可能性很小 C．该事件发生与不发生的可能性一样大 D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生． 【详解】解：一个事件发生的概率是0.99，只说明发生的可能性很大，但不一定发生． 故选：D． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【答案】 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解题意，并分类分析是解题的关键． 根据事件，进行分类分析，即可得解． 【详解】解：①袋中有个白球，没有红球，摸到白球属于必然事件； ②袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ③袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ④袋中有个红球，没有白球，摸到白球属于不可能事件． 故答案为． 求某事件的频率 例3在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） 【答案】0.60 【分析】计算出平均值即可解答 【详解】解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； 故答案为0.60； 【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于求出平均值 【变式3-1】在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则估计袋子中的红球有 个． 【答案】6 【分析】设袋子中的红球有n个，根据频率公式列方程求解即可 【详解】解：设袋子中的红球有n个， 根据题意的：， 解得：n=6， 经检验，n=6是所列方程的解， 故袋子中的红球有6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查频率，熟练掌握频率计算公式是解答的关键． 【变式3-2】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． 【答案】（1）123；0.404；（2）0.4；（3）0.6；（4）15． 【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右； （3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得； （4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可． 【详解】解：（1），； （2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4； （3）由题意得：摸到白球的概率为0.4， 则摸到红球的概率是； （4）设红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，x=15是所列分式方程的解， 则口袋中红球有15只； 故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1． 由频率估计概率 例4“扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有两项，“半程马拉松”和“迷你马拉松”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 851 频率 0.750 0.780 0.810 0.855 0.852 0.851 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】0.85 【分析】随着调查次数增加，多次实验的频率稳定在概率附近，即可得出答案． 【详解】根据表格可知多次实验后频率稳定在0.85附近，所以概率是0.85． 故答案为：0.85． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握多次实验得出的频率稳定在概率附近是解题的关键． 【变式4-1】小明同一条件下进行射门训练，结果如下表： 射门次数n 20 50 100 200 500 踢进球门频数m 13 35 58 104 255 踢进球门频率 0.65 0.70 0.58 0.52 0.52 根据表中数据，估计小明射门一次进球的概率为 ．（精确到0.1） 【答案】0.5 【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由踢球进门的频率 分别为：0.65、0.7、0.58、0.52、0.53、0.5 可知频率都在 0.52上下波动， 所以估计这个运动员射门一次，射进门的概率为 0.52， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率的意义是解题的关键． 【变式4-2】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)0.59，116 (2)0.6 (3)除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； （2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【变式4-3】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用频率估计概率的综合应用 例5大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【答案】2.4 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 【变式5-1】某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 该射手击中靶心的概率的估计值是 (精确到0.01)． 【答案】0.90． 【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由击中靶心频率都在0.90上下波动， ∴该射手击中靶心的概率的估计值是0.90． 故答案为：0.90． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 【变式5-2】某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)0.101，0.102 (2)0.1 (3)在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适． 【分析】（1）利用频数计算方法去掉频数即可； （2）大量重复试验中频率稳定值即为概率； （3）设每千克大约定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列出关于x的方程，解之即可． 【详解】（1）解：a=40.36÷400≈0.101， b=51.05÷500≈0.102， 故答案为：0.101，0.102； （2）解：柑橘完好的概率约为0.1， 故答案为：0.1； （3）解：设每千克大约定价为x元， 根据题意得10000（1-0.1）x-10000×1.8=5400， 解得x=2.6， 答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． 【变式5-3】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10． 【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果； （2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果； （3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可． 【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时， 摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球有：个， 故答案为：； （3）原来白球的数量为：50-30=20， 摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同， ∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30， 若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20， ∴要使摸到黑球的可能性大小为50%， 则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个， 故答案为：10；10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【变式5-4】第一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4,估计袋中红球的个数. 【答案】估计袋中红球8个． 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 【详解】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：（个． 答：估计袋中红球8个． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 【例1】袋子里有3个红球、2个白球，不放回地连续抽两次。求第一次抽到红球且第二次抽到白球的概率。 【解析】1. 第一次抽红球的概率：。 2. 第一次抽红球后，袋中剩下2红、2白，第二次抽白球的概率：。 3. 总概率：。 【反思总结】题目出现“连续抽取”“不放回”时，分步计算并逐次减少总数。 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）不透明的袋子中有4个红球和3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件为不可能事件的是（    ） A．摸到的有红球 B．摸到的有绿球 C．摸到的全是红球 D．摸到的全是绿球 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、摸到的有红球，是随机事件； B、摸到的有绿球，是随机事件； C、摸到的全是红球，是随机事件； D、摸到的全是绿球，是不可能事件； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．太阳从东方升起 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，不符合题意； B、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．通常加热到时，水沸腾 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件，不符合题意； B、通常加热到时，水沸腾，属于必然事件，符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，不符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心    ，属于随机事件，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观，下列成语中描述的事件是不可能事件的是（     ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．百步穿杨 D．空中楼阁 【答案】D 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】A. “守株待兔”是随机事件，不合题意； B. “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意； C. “百步穿杨”，是随机事件，不合题意； D. “空中楼阁”是不可能事件，符合题意； 故选：D． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．转动抽奖转盘一次，中奖 C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6 D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球 【答案】D 【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可． 【详解】解：A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； B. 转动抽奖转盘一次，中奖，是随机事件，不符合题意； C. 在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6，是随机事件，不符合题意； D. 一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球，是必然事件，符合题意， 故选：D． 6．（23-24八年级下·江苏南通·期末）不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，则布袋中红球的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件的分类办法分析即可得解． 【详解】解∶ ∵不透明布袋中装有形状、大小、质地等完全相同的3个球，从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件， ∴布袋里全是红球， ∴布袋中红球的个数是3， 故选∶A． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查概率公式．比较出事件发生的可能性的大小即可． 【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为， ②“向上一面的点数是3的倍数”的可能性为， ③“向上一面的点数不小于”的可能性为， ， 故其中发生的可能性最小的事件是②， 故答案为：②． 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）一个袋中装有2个红球、4个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出 球的可能性最大． 【答案】白 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，根据概率公式分别计算出摸出红球、黑球、白球的可能性，再进行比较即可． 【详解】解：根据题意，一个袋中装有2个红球、4个黑球、5个白球，共11个； 根据概率的计算公式有：摸到红球的可能性为；摸到黑球的可能性为；摸到白球的可能性为． 比较可得：从袋中任意摸出一个球，那么摸出白球的可能性最大． 故答案为：白． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期中）从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】从袋子中任意摸出1个或2个球，其中摸到红球是随机事件， 当时，摸到红球是必然事件， 则n的最小值是3， 故答案为：3． 11．（22-23八年级下·江苏常州·期末）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为 （结果精确到0.1）． 【答案】0.2 【分析】观察数据表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近，可把它作为概率的近似值． 【详解】解：由表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近， 因此，估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为0.2； 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查了频率与概率，理解当频数增加时，频率稳定在某个值，这个值可以作为事件发生的概率，这是解题的关键． 12．在一个不透明的袋子里，装有除颜色外其余匀相同的3个白色球和若干个黄色球，摇匀后，从这个袋子里随机摸出一个球，放回摇匀再摸出一个球，经过大量重复实验，摸到黄球的频率在0.4左右，则袋子内有黄色球 个． 【答案】2 【分析】经过大量重复实验，摸到黄球的频率在0.4左右，估计袋中的黄球占总数的，列方程求解即可． 【详解】解：设袋子内有黄色球x个， 由题意得，， 解得，x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解， 所以原方程的解为x＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查频率的意义和计算方法，理解频率的意义是正确解答的前提，掌握频率的计算方法是解决问题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）某学校为了解在校生的体能素质情况，从全体八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀，B级：良好，C级：及格，D级：不及格），其中B级占30%．解答下列问题： (1)除去题中文本和统计图中所给信息外，请再写出两条信息，并简要说明理由； 信息1： ； 理由： ； 信息2： ； 理由： ； (2)如果从该校八年级学生中随机抽取一位学生，你预测抽到哪个等级的学生可能性最大 ． 【答案】(1)信息1： 总人数40人；理由见解析；信息2：C级人数为14人；理由见解析； (2)C级 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）信息1：根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数； 信息2：用总人数分别减去A级，B级，D级得到C级人数； （2）分别求出A级，C级，D级各级人数在总人数中的百分比和B级所占百分比进行比较即可． 【详解】（1）信息1：本次抽样测试的学生人数是40； 本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：40； 信息2：C级人数为14人， C级的人数为：（人）； 故答案为：14； （2）由（1）可知A级可能性为： ， C级可能性为： ； D级可能性为： ， ∴ ∴抽到C级的学生可能性最大． 故答案为：C级. 14．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式． （1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可； （2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为， ∴得到“手机”的可能性最小， 故选：B． （2）解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性 ∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示： 如图所示， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$