高二数学月考卷02（新高考地区专用，数列+导数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以.故选：C 2．数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为数列满足，， 所以，，，故选：C. 3．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B．2 C． D．17 【答案】D 【解析】等比数列设公比为，因为，所以， 所以，计算得， 所以.故选：D. 4．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，即可得， 因此．故选：A 5．已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由等差数列的性质和前项和公式得.故选：D. 6．若是函数的极值点，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或2 【答案】B 【解析】， 由题意可知或， 当时，， 令，解得或，函数在和上单调递增， 令，解得，函数在上单调递减， 所以是函数的极值点符合题意； 当时，， 所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 综上所述，.故选：B. 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【解析】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天.故选：. 8．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则， ，令， 求导得，令， 求导得，而，，， 于是，即，函数在上单调递增，则， 因此函数在上单调递增，有，即， 所以.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于，因为为常函数，则，故正确； 对于，若，所以，故错误； 对于，若，所以，故正确； 对于，若，所以，故正确.故选：ACD. 10．记为各项均为正数的数列的前项和，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是递增数列 D． 【答案】AB 【解析】由，得，解得或， 又，所以，故A正确； 所以，当时，， 两式作差得，即时，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故，易得其是递增数列，故B正确； 此时为定值，故C错误； 易得，故D错误，故选：AB. 11．已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．函数是奇函数 B． C．的导函数是偶函数 D． 【答案】BCD 【解析】对于B，由，得， ，则，即函数的最小正周期为4； 在中，令，则， 即，，B正确； 对于A， 在中，令，得， 则，于是，， 则为奇函数，A错误； 对于C，由求导得：，即，是偶函数，C正确； 对于D，由为奇函数，且，得，则， 由，得，， 因此， ，……，以此类推， 所以，D正确.故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】 【解析】． 13．设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 . 【答案】 【解析】等差数列中， ∵，∴，解得， 则， 因为，所以当取最大值时，. 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若对任意实数，，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令，则， 由题意可得当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数， 故在上单调递减，则不等式 可化为， 即，即， 则有，即，即， 即，解得. 因此，不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)讨论方程（）解的个数. 【解析】（1）的定义域为， ， 由，可得，由，可得或， ∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由（1）可知函数在，上单调递增；函数在上单调递减， ∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：， 又∵，，∴， 可得函数的大致图象， ∴当时，有0个解； 当或时，有1个解； 当时，有3个解； 当时，有2个解. 16．（15分）已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【解析】（1）当时，. 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）， 所以 . 因为，所以， 又数列是递增数列，所以， 所以. 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围． 【解析】（1），所以， 则曲线在点处的切线方程为：． （2）设切点，则切线方程为， 又切线过点，所以，即， 由题意，上述关于方程有三个不同的实数解， 设，则有三个不同的零点， 而，令，得或， 当时，，则在和上单调递增， 当，，则在上单调递减， 若有三个不同的零点，则，解得， 所以实数b的取值范围为． 18．（17分）设等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． ①设，求； ②在数列中是否存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由． 【解析】（1）解法一：由可得， 上述两个等式作差可得，即， 因为数列是等比数列，则当时，，解得， 所以，数列是以3为首项，以4为公比的等比数列，故． 解法二：由得， ． ∵是等比数列， ∴公比，，得．故．经检验成立 （2）①由题意可得，则， 所以，，则， 上述两个等式作差得， 因此，； ②假设在数列中存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列， 则，即， 因为m、k、p成等差数列，则，不妨设， 整理可得，即，即， 即，即， 因为，则，故假设不成立， 或由，由知上式不能取等， 因此，在数列中不存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列． 19．（17分）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 【解析】（1）证明：由，得， 则在区间上单调递减. 又，当且，，即的值域为， 所以，令可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列. （2）（i）恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，，则，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递减， 所以，即，所以在区间上单调递增， 可得，故. （ii）证明：由（i）得，故， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知函数     2 13 1 ln 2 f x f x x x     ，则  1f  （ ） A．1 B．2 C． 1 2 D． 1 2  2．数列 na 满足 1 5a  ， 1 3 1, , 2 n n n n n a a a a a      为奇数 为偶数 ，则 4a （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知 nS 为等比数列 na 的前n项和，若 2 3 14 4a a a  ，则 8 4 S S （ ） A． 17 B．2 C． 2 D．17 4．设曲线 2e axy  在点  0,1 处的切线与直线2 1 0x y   垂直．求 a的值（ ） A． 1 4  B． 1 4 C．1 D． 1 5．已知两个等差数列   ,n na b 的前n项和分别为 nS 和 nT ，且 3 1 5 2 n n S n T n    ，则 6 6 a b 的值为（ ） A． 13 15 B． 19 28 C． 13 14 D． 34 53 6．若 1x  是函数      3 2 21 1 3 3 x a xf ax a x      的极值点，则a的值为（ ） A． 2 B．3 C． 2 或 3 D． 3 或 2 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是 说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的 两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A．3 天 B．4 天 C．5 天 D．6 天 8．设 0.02e 1a   ， 0.012(e 1)b   ， sin 0.01 tan 0.01c   ，则（ ） A．c a b  B．a b c  C．c b a  D．b a c  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列结论正确的是（ ） A．若 ln 3y  ，则 0y  B．若 1 y x  ，则 1 2 y x   C．若 y x ，则 1 2 y x   D．若 exy x ，则 ( 1)exy x   10．记 nS 为各项均为正数的数列 na 的前n项和，且 11 n n S a a   ，则（ ） A． 1 2a  B． na 是递增数列 C． 1n n a a      是递增数列 D． 12 1nnS   11．已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足 1) 3) 2024( ( )(f x f x f    ， ( ) ( 2)f x f x   ，且 1 1 ( ) 2 4 f  ，则（ ） A．函数 ( 1)f x  是奇函数 B． (2) 0f  C． ( )f x 的导函数 ( )f x 是偶函数 D． 2024 1 1 ( ) 506 2k kf k     第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ( )f x 是定义在R 上的可导函数，若 0 (2) (2 ) 1 lim 2 2x f f x x       ，则  2f   . 13．设 nS 为等差数列 na 的前n项和，若公差 0d  ，且 10 20S S ，则当 nS 取最大值时，n的值为 . 14．已知函数  f x 及其导函数  f x 的定义域均为R ，若对任意实数 x，     2f x f x x   ，且当 0x  时， 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … …   1 0f x x    ，则不等式     23 2 2 3 2 x f x f x x     的解集为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知函数   2 2e xf x x . (1)求函数  f x 的单调区间； (2)讨论方程  f x m （mR）解的个数. 16．（15 分）已知数列 na 的前 n项和为 23 2  n n n S ，  * 1 1 n n n b n a a   N ，且数列 nb 的前n项和为 nT . (1)求数列 na 的通项公式； (2)求证： 1 1 4 3n T  . 17．（15 分）已知函数 3( )f x x x  ． (1)求曲线  y f x 在点  1,0M 处的切线方程； (2)如果过点  1,b 可作曲线 ( )y f x 的三条切线，求实数 b的取值范围． 18．（17 分）设等比数列 na 的前 n项和为 nS ，已知  *1 3 3n na S n   N ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)在 na 与 1na  之间插入 n个数，使这 2n  个数组成一个公差为 nd 的等差数列． ①设  * 1 2 3 1 1 1 1 n n T n d d d d      N ，求 nT ； ②在数列 nd 中是否存在三项 md 、 kd 、 pd （其中 m、k、p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样 的三项；若不存在，说明理由． 19．（17 分）若 *n N ，都存在唯一的实数 nc ，使得  nf c n ，则称函数  f x 存在“源数列” nc .已知    ln , 0,1f x x x x   . (1)证明：  f x 存在源数列； (2)（i）若   0f x x    恒成立，求的取值范围； （ii）记  f x 的源数列为 nc ，证明： nc 的前n项和 5 3n S  . 1 / 5 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知函数     2 13 1 ln 2 f x f x x x     ，则  1f  （ ） A．1 B．2 C． 1 2 D． 1 2  2．数列 na 满足 1 5a  ， 1 3 1, , 2 n n n n n a a a a a      为奇数 为偶数 ，则 4a （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知 nS 为等比数列 na 的前n项和，若 2 3 14 4a a a  ，则 8 4 S S （ ） A． 17 B．2 C． 2 D．17 4．设曲线 2e axy  在点  0,1 处的切线与直线2 1 0x y   垂直．求 a的值（ ） A． 1 4  B． 1 4 C．1 D． 1 5．已知两个等差数列   ,n na b 的前n项和分别为 nS 和 nT ，且 3 1 5 2 n n S n T n    ，则 6 6 a b 的值为（ ） A． 13 15 B． 19 28 C． 13 14 D． 34 53 6．若 1x  是函数      3 2 21 1 3 3 x a xf ax a x      的极值点，则a的值为（ ） A． 2 B．3 C． 2 或 3 D． 3 或 2 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是 2 / 5 说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的 两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ） A．3 天 B．4 天 C．5 天 D．6 天 8．设 0.02e 1a   ， 0.012(e 1)b   ， sin 0.01 tan 0.01c   ，则（ ） A．c a b  B．a b c  C．c b a  D．b a c  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列结论正确的是（ ） A．若 ln 3y  ，则 0y  B．若 1 y x  ，则 1 2 y x   C．若 y x ，则 1 2 y x   D．若 exy x ，则 ( 1)exy x   10．记 nS 为各项均为正数的数列 na 的前n项和，且 11 n n S a a   ，则（ ） A． 1 2a  B． na 是递增数列 C． 1n n a a      是递增数列 D． 12 1nnS   11．已知定义在R 上的函数 ( )f x 满足 1) 3) 2024( ( )(f x f x f    ， ( ) ( 2)f x f x   ，且 1 1 ( ) 2 4 f  ，则（ ） A．函数 ( 1)f x  是奇函数 B． (2) 0f  C． ( )f x 的导函数 ( )f x 是偶函数 D． 2024 1 1 ( ) 506 2k kf k     第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ( )f x 是定义在R 上的可导函数，若 0 (2) (2 ) 1 lim 2 2x f f x x       ，则  2f   . 13．设 nS 为等差数列 na 的前n项和，若公差 0d  ，且 10 20S S ，则当 nS 取最大值时，n的值为 . 14．已知函数  f x 及其导函数  f x 的定义域均为R ，若对任意实数 x，     2f x f x x   ，且当 0x  时，   1 0f x x    ，则不等式     23 2 2 3 2 x f x f x x     的解集为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知函数   2 2e xf x x . (1)求函数  f x 的单调区间； (2)讨论方程  f x m （mR）解的个数. 3 / 5 16．（15 分）已知数列 na 的前 n项和为 23 2  n n n S ，  * 1 1 n n n b n a a   N ，且数列 nb 的前n项和为 nT . (1)求数列 na 的通项公式； (2)求证： 1 1 4 3n T  . 17．（15 分）已知函数 3( )f x x x  ． (1)求曲线  y f x 在点  1,0M 处的切线方程； (2)如果过点  1,b 可作曲线 ( )y f x 的三条切线，求实数 b的取值范围． 4 / 5 18．（17 分）设等比数列 na 的前 n项和为 nS ，已知  *1 3 3n na S n   N ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)在 na 与 1na  之间插入 n个数，使这 2n  个数组成一个公差为 nd 的等差数列． ①设  * 1 2 3 1 1 1 1 n n T n d d d d      N ，求 nT ； ②在数列 nd 中是否存在三项 md 、 kd 、 pd （其中 m、k、p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样 的三项；若不存在，说明理由． 5 / 5 19．（17 分）若 *n N ，都存在唯一的实数 nc ，使得  nf c n ，则称函数  f x 存在“源数列” nc .已知    ln , 0,1f x x x x   . (1)证明：  f x 存在源数列； (2)（i）若   0f x x    恒成立，求的取值范围； （ii）记  f x 的源数列为 nc ，证明： nc 的前n项和 5 3n S  . 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D A D B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AB BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．15 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）的定义域为， ， 由，可得，由，可得或， ∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是........................5分 （2）由（1）可知函数在，上单调递增；函数在上单调递减， ∴在时函数取极大值：；在时函数取极小值：， 又∵，，∴， 可得函数的大致图象， ∴当时，有0个解； 当或时，有1个解； 当时，有3个解； 当时，有2个解. .......................13分 16．（15分） 【解析】（1）当时，. 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为；....................5分 （2）， 所以 . 因为，所以， 又数列是递增数列，所以， 所以.....................15分 17．（15分） 【解析】（1），所以， 则曲线在点处的切线方程为：．.................5分 （2）设切点，则切线方程为， 又切线过点，所以，即， 由题意，上述关于方程有三个不同的实数解， 设，则有三个不同的零点， 而，令，得或， 当时，，则在和上单调递增， 当，，则在上单调递减， 若有三个不同的零点，则，解得， 所以实数b的取值范围为．.................15分 18．（17分） 【解析】（1）解法一：由可得， 上述两个等式作差可得，即， 因为数列是等比数列，则当时，，解得， 所以，数列是以3为首项，以4为公比的等比数列，故．.................5分 解法二：由得， ． ∵是等比数列， ∴公比，，得．故．经检验成立.................5分 （2）①由题意可得，则， 所以，，则， 上述两个等式作差得， 因此，； ②假设在数列中存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列， 则，即， 因为m、k、p成等差数列，则，不妨设， 整理可得，即，即， 即，即， 因为，则，故假设不成立， 或由，由知上式不能取等， 因此，在数列中不存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列．.................17分 19．（17分） 【解析】（1）证明：由，得， 则在区间上单调递减. 又，当且，，即的值域为， 所以，令可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列. .................5分 （2）（i）恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，，则，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递减， 所以，即，所以在区间上单调递增， 可得，故..................12分 （ii）证明：由（i）得，故， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和..................17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B．2 C． D．17 4．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 5．已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若是函数的极值点，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或2 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 8．设，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．记为各项均为正数的数列的前项和，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是递增数列 D． 11．已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．函数是奇函数 B． C．的导函数是偶函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 13．设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 . 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若对任意实数，，且当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)讨论方程（）解的个数. 16．（15分）已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围． 18．（17分）设等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． ①设，求； ②在数列中是否存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由． 19．（17分）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B．2 C． D．17 4．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 5．已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若是函数的极值点，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或2 7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 8．设，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．记为各项均为正数的数列的前项和，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是递增数列 D． 11．已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．函数是奇函数 B． C．的导函数是偶函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 13．设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 . 14．已知函数及其导函数的定义域均为，若对任意实数，，且当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)讨论方程（）解的个数. 16．（15分）已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围． 18．（17分）设等比数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． ①设，求； ②在数列中是否存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由． 19．（17分）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$