高一数学月考卷02（新高考地区专用，三角函数+三角恒等变换+向量）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C A B D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， ........................5分 （2）， ，则， ，所以， 故， ........................13分 16．（15分） 【解析】（1）因为， 所以， ；....................7分 （2）因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以．....................15分 17．（15分） 【解析】（1）．由正弦定理得， 故，所以， 得到，化简可得， ，．………….(7分) （2）由正弦定理得，解得， 因为，所以，所以是锐角， 故，而，解得， 所以， 因为，所以， 而，可得．………….(15分) 18．（17分） 【解析】（1）由题意可得， 令， 解得，则对称中心为.......................5分 （2）由，则， 由，则，可得， 所以 ........................10分 （3）由，则， 由，则，解得，即， 由正弦定理可得，则，， 的周长 ， 由题意可得，解得， 则，所以， 故.............................................................17分 19．（17分） 【解析】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于， 故费马点在三角形内，满足，且，如图： 过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．.............................5分 （2）（i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ．..............................10分 （ii）由（i）知，所以点在内部，且， 设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为．..............................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：三角函数+三角恒等变换+平面向量+解三角形。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．sin1575  （ ） A． 2 2 B． 1 2 C． 1 2  D． 2 2  2．已知 ABC 的面积为 π 3, , 13 3 A BC  ，则 2 2AB AC （ ） A．13 B．14 C．17 D．15 3．已知 2b a   ，若 a  与b  的夹角为120，则 a 在b  上的投影向量为（ ） A． b  B． 1 2 b  C． 1 4 b  D． 1 2 b  4．已知 1 sin 3 π 3       ，则 5π cos 2 3       （ ） A． 7 9  B． 7 9 C． 2 2 3 D． 2 2 3  5．已知非零向量a b  ､ 满足 a b a b      ，则 a b  与 a  的夹角的余弦值是（ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 1 2  D． 3 2  6． 21,ee   是平面内不共线两向量，已知 1 2AB e ke     ， 1 22CB e e     ， 1 23CD e e     ，若 A，B，D三点共线， 则 k的值是（ ） A．3 B． 3 C． 2 D．2 7． ABC 的面积为 S.若 cos cos sinb C c B a A  ，  2 2 21 4 S b a c   ，则角 B等于（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 8．将函数   sinf x x 的图象先向右平移 π 3 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的  1 0   倍，纵坐标不变，得到函数  g x 的图象，若函数  g x 在 π 3π, 2 2       上没有零点，则的取值范围是（ ） A． 2 8 , 3 9      B． 2 2 8 0, , 9 3 9           C． 2 8 0, ,1 3 9          D．  0,1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知向量  2,1a  ，  , 1b x x   ，则下列结论正确的是（ ） A．若a b  ，则 1 3 x   B．若a b  ∥ ，则 2x   C．若 1x  ，则 2a b   D．若 1x  ，则 a  与b  的夹角为锐角 10．在 ABC 中，角 A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，下列结论一定成立的有（ ） A．  sin sinA B C  B．若 A B ，则sin sinA B C．若 ABC 为锐角三角形，则 2 2 2sin sin sinA B C  D．若 cos cos cos 2 2 2 a b c A B C   ，则 ABC 是等边三角形 11．已知函数     πsin 0 0 2 f x A x A            ， ， 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A．  f x 的图像关于点 π ,0 6      对称 B．  f x 的图像关于直线 5π 12 x   对称 C．将函数 π 2sin 2 6 y x       的图像向左平移 π 2 个单位长度得到函数  f x 的图像 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … D．若方程  f x m 在 π ,0 2      x 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是  2, 3   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．函数 2sin 2cos 2y x x   在 π π , 6 2 x      上的值域为 . 13．已知海岛 B在海岛A 的北偏东75的方向上，且两岛的直线距离为30n mile . 一艘海盗船以30 n mile/h 的速度沿着北偏东15方向从海岛 B出发，同时海警船以30 3n mile/h的速度从海岛A 进行追赶，经过 t小 时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 14．在 ABC 中， P在 ABC 的三边上运动，MN 是 ABC 外接圆的直径，若 2AB  ， 3BC  ， 4AC  ， 则 PM PN   的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）（1）已知 是第三象限角，且 tan 是方程 2 2 0x x   的一个实根，求      2 2 2sin π cos 2π 3π sin sin 2               的值； （2）已知 1 sin cos 2    ，且  0, π  ，求 1 1 sin cos   的值． 16．（15 分）如图，在 ABC 中， 2 5 AD AB   ，点E为 AC中点，点 F 为 BC上的三等分点，且靠近点C， 设 ,CA a CB b     ． (1)用 ,a b  表示 ,EF CD   ； (2)如果 60 , 2  ACB AC ，且CD EF ，求 CD  ． 17．（15 分） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 π sin cos 6 b A a B       ． (1)求 B； (2)设 2, 7a b  ，延长 AC到点D使 2AC CD ，求 BCD△ 的面积． 18．（17 分）已知    2 21,2 3 , sin cos ,sin cosa b x x x x    ，函数  f x a b   ． (1)求函数  f x 的解析式及对称中心； (2)若 π 2 3 , 12 2 3 f        且 5π π 6   ，求sin 的值． (3)在锐角 ABC 中，角 A，B，C分别为 a，b，c三边所对的角，若  3, 1b f B  ，求 ABC 周长的取 值范围． 19．（17 分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内 求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC 的 三个内角均小于120时，使得 120AOB BOC COA      的点O即为费马点；当 ABC 有一个内角大于 或等于120时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若 ABC 是边长为 4 的等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和； (2) ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且 sina b A ，点 P为 ABC 的费马点． （i）若 2 3ac  ，求PA PB PB PC PC PA           ； （ii）求 2 PA PC PB  的最小值． 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：三角函数+三角恒等变换+平面向量+解三角形。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故选：A． 2．已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 【答案】C 【解析】因为的面积为， 所以的面积，所以， 由余弦定理得，所以.故选：C. 3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题在上的投影向量为.故选：C. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 5．已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，故，故， 所以， 故，故选：B 6．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由已知，由A，B，D三点共线， 故存在实数，使，即， 即，解得．故选：D． 7．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知，由正弦定理边角互化可知， ，化简可得， 在中，所以，则，所以得， 由， 可得，，所以， 所以.故选：C 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点， 所以，解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 【答案】AD 【解析】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确.故选：AD 10．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（    ） A． B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则是等边三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，因为在中，则，故A正确； 对B，根据大角对大边，则推出，再根据正弦定理有，故B正确； 对C，若为锐角三角形，则锐角，则由余弦定理有， 则，即，再根据正弦定理进行边化角得，故C错误； 对于D，中，若，则， 则根据二倍角的正弦公式有， 由，得，所以，， 所以是等边三角形，故D选项正确．故选：ABD. 11．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由题图可得，，故，所以， 又，即，所以，， 又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确； 对于B：当时，为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数： 的图像，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是，故D正确．故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的值域为 . 【答案】 【解析】 令，又，则， 函数可化为：， 由二次函数的性质可得：当时，，当时，. 所以函数在上的值域为. 13．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【解析】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 14．在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设外接圆圆心为，半径为， 由余弦定理有，所以， 由正弦定理有，即， ， 设到三边，，的距离分别为， 则，， . 所以的最小值为，最大值为， 即的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 【解析】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， . （2）， ，则， ，所以， 故， . 16．（15分）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 【解析】（1）因为， 所以， ； （2）因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 17．（15分）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，延长到点使，求的面积． 【解析】（1）．由正弦定理得， 故，所以， 得到，化简可得， ，． （2）由正弦定理得，解得， 因为，所以，所以是锐角， 故，而，解得， 所以， 因为，所以， 而，可得． 18．（17分）已知，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若且，求的值． (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由题意可得， 令，解得，则对称中心为. （2）由，则， 由，则，可得， 所以. （3）由，则， 由，则，解得，即， 由正弦定理可得，则，， 的周长 ， 由题意可得，解得， 则，所以， 故. 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【解析】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于， 故费马点在三角形内，满足，且，如图： 过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且， 设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：三角函数+三角恒等变换+平面向量+解三角形。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ） A．3 B． C． D．2 7．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 10．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（    ） A． B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则是等边三角形 11．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的值域为 . 13．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 14．在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 16．（15分）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 17．（15分）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，延长到点使，求的面积． 18．（17分）已知，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若且，求的值． (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，求周长的取值范围． 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 / 6 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：三角函数+三角恒等变换+平面向量+解三角形。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．sin1575  （ ） A． 2 2 B． 1 2 C． 1 2  D． 2 2  2．已知 ABC 的面积为 π 3, , 13 3 A BC  ，则 2 2AB AC （ ） A．13 B．14 C．17 D．15 3．已知 2b a   ，若 a  与b  的夹角为120，则 a 在b  上的投影向量为（ ） A． b  B． 1 2 b  C． 1 4 b  D． 1 2 b  4．已知 1 sin 3 π 3       ，则 5π cos 2 3       （ ） A． 7 9  B． 7 9 C． 2 2 3 D． 2 2 3  5．已知非零向量a b  ､ 满足 a b a b      ，则 a b  与 a  的夹角的余弦值是（ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 1 2  D． 3 2  6． 21,ee   是平面内不共线两向量，已知 1 2AB e ke     ， 1 22CB e e     ， 1 23CD e e     ，若 A，B，D三点共线， 则 k的值是（ ） A．3 B． 3 C． 2 D．2 2 / 6 7． ABC 的面积为 S.若 cos cos sinb C c B a A  ，  2 2 21 4 S b a c   ，则角 B等于（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 8．将函数   sinf x x 的图象先向右平移 π 3 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的  1 0   倍， 纵坐标不变，得到函数  g x 的图象，若函数  g x 在 π 3π, 2 2       上没有零点，则的取值范围是（ ） A． 2 8 , 3 9      B． 2 2 8 0, , 9 3 9           C． 2 8 0, ,1 3 9          D．  0,1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知向量  2,1a  ，  , 1b x x   ，则下列结论正确的是（ ） A．若a b  ，则 1 3 x   B．若a b  ∥ ，则 2x   C．若 1x  ，则 2a b   D．若 1x  ，则 a  与b  的夹角为锐角 10．在 ABC 中，角 A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，下列结论一定成立的有（ ） A．  sin sinA B C  B．若 A B ，则sin sinA B C．若 ABC 为锐角三角形，则 2 2 2sin sin sinA B C  D．若 cos cos cos 2 2 2 a b c A B C   ，则 ABC 是等边三角形 11．已知函数     πsin 0 0 2 f x A x A            ， ， 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A．  f x 的图像关于点 π ,0 6      对称 B．  f x 的图像关于直线 5π 12 x   对称 3 / 6 C．将函数 π 2sin 2 6 y x       的图像向左平移 π 2 个单位长度得到函数  f x 的图像 D．若方程  f x m 在 π ,0 2      x 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是  2, 3   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．函数 2sin 2cos 2y x x   在 π π , 6 2 x      上的值域为 . 13．已知海岛 B在海岛A 的北偏东75的方向上，且两岛的直线距离为30n mile . 一艘海盗船以30 n mile/h 的 速度沿着北偏东15方向从海岛 B出发，同时海警船以30 3n mile/h的速度从海岛A 进行追赶，经过 t小时后 两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 14．在 ABC 中， P在 ABC 的三边上运动，MN 是 ABC 外接圆的直径，若 2AB  ， 3BC  ， 4AC  ， 则 PM PN   的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）（1）已知 是第三象限角，且 tan 是方程 2 2 0x x   的一个实根，求      2 2 2sin π cos 2π 3π sin sin 2               的值； （2）已知 1 sin cos 2    ，且  0, π  ，求 1 1 sin cos   的值． 4 / 6 16．（15 分）如图，在 ABC 中， 2 5 AD AB   ，点E为 AC中点，点F 为 BC上的三等分点，且靠近点C， 设 ,CA a CB b     ． (1)用 ,a b  表示 ,EF CD   ； (2)如果 60 , 2  ACB AC ，且CD EF ，求 CD  ． 17．（15 分） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 π sin cos 6 b A a B       ． (1)求 B； (2)设 2, 7a b  ，延长 AC到点D使 2AC CD ，求 BCD△ 的面积． 5 / 6 18．（17 分）已知    2 21,2 3 , sin cos ,sin cosa b x x x x    ，函数  f x a b   ． (1)求函数  f x 的解析式及对称中心； (2)若 π 2 3 , 12 2 3 f        且 5π π 6   ，求sin 的值． (3)在锐角 ABC 中，角 A，B，C分别为 a，b，c三边所对的角，若  3, 1b f B  ，求 ABC 周长的取值 范围． 6 / 6 19．（17 分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内 求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC 的 三个内角均小于120时，使得 120AOB BOC COA      的点O即为费马点；当 ABC 有一个内角大于 或等于120时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若 ABC 是边长为 4 的等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和； (2) ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且 sina b A ，点 P为 ABC 的费马点． （i）若 2 3ac  ，求PA PB PB PC PC PA           ； （ii）求 2 PA PC PB  的最小值． 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：三角函数+三角恒等变换+平面向量+解三角形。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ） A．3 B． C． D．2 7．的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 10．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（    ） A． B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则是等边三角形 11．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的值域为 . 13．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 14．在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值； （2）已知，且，求的值． 16．（15分）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 17．（15分）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，延长到点使，求的面积． 18．（17分）已知，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若且，求的值． (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，求周长的取值范围． 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$