数学（青岛卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B A B B C B C A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10． 11． 12． 13． 14． 15．/0.6 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16. 【详解】如图，先作线段，再作，再作的角平分线，与的交点为，则△ABC即为所求作的三角形 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） 【详解】解：（1）， 由①得，，----------------（1分） 由②得，，----------------（2分） 故不等式组的解集为：；----------------（4分） （2） ．----------------（9分） 18．（本小题满分6分） 【详解】（1）解：由题意知，抽取样本的方式最合理的是③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生．故选：③．----------------（2分） （2） 解：由题意得，． ----------------（3分） 积分为的人数为（人）． 补全频数分布直方图如图所示． 七年级名学生积分频数分布直方图----------------（4分） （3）解：这一组对应的扇形的圆心角度数是．----------------（6分） 19．（本小题满分6分） 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为；----------------（2分） （2）解：画树状图下： ----------------（4分） 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， ----------------（5分） 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为．----------------（6分） 20．（本小题满分6分） 【详解】（1）解：，， ， ， ；----------------（2分） （2）解：， ，----------------（3分） 延长，交于点， 则：四边形是矩形， ，， ，----------------（4分） ∵∠ABG=12°，∠ABM=147° ， ， ， ，----------------（5分） ； 答：线段的长度为．----------------（6分） 21．（本小题满分8分） 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得，----------------（1分） 解得，----------------（2分） ∴与之间的函数关系式为；----------------（3分） （2）解：根据题意得， 解得，（舍），----------------（4分） 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元；----------------（5分） （3）解：由题意得， ∴，----------------（6分） ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． ----------------（8分） 22．（本小题满分8分） 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：， ∴． 故答案为：．----------------（2分） （2）设① 将等式两边同时乘3，得：②---------------（3分） 将②式减去①式，得 ∴，即----------------（4分） （3）∵，、是线段和的中点， ∴， 同理可得 …… ---------------（5分） ∴ ---------------（6分） 设① ∴②---------------（7分） 将①式减去②式，得 ∴----------------（8分） 23．（本小题满分8分） 【详解】（1）证明：连接，， ∵E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，---------------（2分） ∵四边形是菱形， ∴， ∴，---------------（3分） ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形；---------------（4分） （2）解：∵， ∴，---------------（5分） ∵四边形是菱形， ∴，---------------（6分） ∵， ∴，---------------（7分） ∴， ∴， ∴．---------------（8分） 24．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：将点A，B，C代入二次函数解析式， 可得，解得， ∴二次函数表达式为；---------------（2分） （2）如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接， 设直线得解析式为，将B，C坐标代入， 可得，解得， 所以直线得解析式为，---------------（3分） 设，则， ∵ ，---------------（4分） ∵， ∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为；---------------（5分） （3）解：存在，---------------（6分） 由题意可得：， 设以对角线分类， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：，即， 解得：（舍弃）或， 所以点M的坐标为；---------------（7分） 当为对角线时，同理可得： ，即， 解得：（舍弃）或， 所以点M的坐标为；---------------（8分） 当为对角线时，同理可得： ，即， 解得：或， 所以点M的坐标为或．---------------（9分） 综上，点M的坐标为或或．---------------（10分） 25．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：如图， 在中，，， ∴， ∵D、E分别是的中点， ，，且，---------------（1分） 由题意得：，， ①时， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，， 即， 解得；---------------（3分） ②如图，当时，则， ∴， ∴， ∴，---------------（4分） ∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似；---------------（5分） （2）解：假设存在时刻t，使， 则此时，---------------（6分） 如图，作于M． 同理，， ∴，即， ∴，，---------------（7分） ∴ ， ， ∴， 整理得， 解得，（舍去）．---------------（8分） ∴，， ∴，， ∴，---------------（9分） ∵， ∴， ∴此时t的值为，．---------------（10分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10._________________ 11. ___________________ 12.__________________ 13.__________________ 14.___________________ 15．_________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）解不等式组：； （2）化简：． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （本小题满分6分） (1) ____________ (2) (3) 19．（本小题满分6分） (1) ____________ (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（本小题满分6分） 21.（本小题满分8分） (1) ___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机所使用的芯片越来越先进，在芯片上某种电子元件大约只占将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，即可． 【详解】解： 故选：B． 2．下列汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，理解轴对称图形和中心对称图形的定义是正确解决本题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 3．实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴上的点与式子符号的确定，掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴特点可得，，，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，， ∴A、，正确，不符合题意； B、，原选项错误，符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：B ． 4．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将△ABC向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 5．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由可得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算、不等式的性质 【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，先由二次根式混合运算法则计算得到，再由无理数估算得到，最后由不等式性质即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算、无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，且， ，即的值应在4和5之间， 故选：B． 7．如图，点E在正方形的边上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】连接，旋转得到，三线合一得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理构造方程进行求解，是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求扇形面积、圆周角定理、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线，再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． 又∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①正确． 由题意，当时，y取最大值为， ∴对于任意实数m，都有． ∴，故②错误． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故③错误． ∵抛物线与x轴交于点， ∴． 又∵， ∴． ∴，故④正确． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一交点为． ∴抛物线为． ∴方程的根可以看作直线与抛物线的交点的横坐标． ∵在x轴上方， ∴若为方程的两个根，则，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10． ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 12．如图，是甲、乙两人次射击成绩（环数）的条形统计图，如果甲又连续射击了次，且环数均为环，那么 （填“”、“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由条形统计图推断结论、求方差、求加权平均数 【分析】本题考查了方差，条形统计图，根据条形统计图和题意得出甲、乙的成绩，再分别求出它们的方差即可判断求解，掌握方差的计算方法是解题的关键． 【详解】解：甲的成绩为：8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10， ∴， ∴， 乙的成绩为：，8,8,8,9,9,9,9,10,10,10 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正多边形的内角问题、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正多边形的性质，矩形的性质，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点F作于G， 根据正八边形可得， 由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ， 同理， ， 故答案为：． 14．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 15．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ． 【答案】/0.6 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定理求证 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：连接， P为弧上一点，且最大， ，， ， 与圆相切于点，与圆相切于点， ，， ， ， ， ， 设，，则， ， ，， ， ， ， ， ． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图) 【分析】先作线段，再作，再作的角平分线，与的交点为，则△ABC即为所求作的三角形 【详解】如图，先作线段，再作，再作的角平分线，与的交点为，则△ABC即为所求作的三角形 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】分式加减乘除混合运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是分式的混合运算及解一元一次不等式组． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果． 【详解】解：（1）， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：； （2） ． 18．（本小题满分6分）3月14日是国际数学日，也称“日”．2024年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）； 七年级名学生积分频数分布直方图    七年级名学生积分扇形统计图      根据以上信息，完成下列问题． (1)下列抽取样本的方式中，最合理的是_____________（填写序号）； ①从七年级的学生中抽取名男生； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． (2)求的值，并补全频数分布直方图； (3)求这一组对应的扇形的圆心角度数． 【答案】(1)③ (2)，图见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、调查收集数据的过程与方法 【分析】本题考频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、抽样调查的可靠性，能够读懂统计图表，掌握抽样调查的可靠性是解答本题的关键． （1）根据抽样调查的可靠性可得答案． （2）用的频数除以扇形统计图中的百分比，可得的值；用的值分别减去其他各组的频数，可得积分为的频数，补全频数分布直方图即可． （3）用乘以积分为的人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，抽取样本的方式最合理的是③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生．故选：③． （2）解：由题意得，． 积分为的人数为（人）． 补全频数分布直方图如图所示． 七年级名学生积分频数分布直方图 （3）解：这一组对应的扇形的圆心角度数是． 19．（本小题满分6分）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的寓意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：．“福星蛇墩墩”，．“禄星蛇墩墩”，．“寿星蛇墩墩”，．“喜星蛇墩墩”，．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为； （2）解：画树状图下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为． 20．（本小题满分6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为为（参考数据：；） (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 则：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 21．（本小题满分8分）阳光玫瑰葡萄鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ (3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； (3)当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数实际应用) 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入即可求解； （）根据题意得， 然后解方程并检验即可； （）由题意得， 根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得， 解得，（舍）， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； （3）解：由题意得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 22．（本小题满分8分）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，线段的中点的性质，发现图形和数字得变化规律是解题的关键． （1）仿照阅读材料求解即可； （2）仿照阅读材料求解即可； （3）根据线段中点的性质得出，进而仿照阅读材料求解即可． 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：， ∴． 故答案为：． （2）设① 将等式两边同时乘3，得：② 将②式减去①式，得 ∴，即 （3）∵，、是线段和的中点， ∴， 同理可得 …… ∴ 设① ∴② 将①式减去②式，得 ∴ 23．（本小题满分8分）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，，根据E、F、G、H分别是边、、、的中点得到，，，，从而得到四边形是平行四边形，再根据菱形得到，即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合菱形性质得到，根据得到，即可得到，即可得到答案； 【详解】（1）证明：连接，， ∵E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质及矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解直角三角形，解题的关键是根据中位线得到线段的关系． 24．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值． (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有面积最大值，此时点M的坐标为． (3)存在，点M的坐标为或或 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，再求得直线得解析式为，设，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （3）由题意可得：，设，然后分、、为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：将点A，B，C代入二次函数解析式， 可得，解得， ∴二次函数表达式为； （2）如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接， 设直线得解析式为，将B，C坐标代入， 可得，解得， 所以直线得解析式为， 设，则， ∵ ， ∵， ∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为； （3）解：存在， 由题意可得：， 设以对角线分类， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：，即， 解得：（舍弃）或， 所以点M的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ，即， 解得：（舍弃）或， 所以点M的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ，即， 解得：或， 所以点M的坐标为或． 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的综合、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 25．（本小题满分10分）如图，在△ABC中，，，，D、E分别是的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？ (2)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为．若存在，求出此时t的值以及点E到的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似； (2)t的值为，． 【难度】0.4 【知识点】公式法解一元二次方程、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）利用勾股定理和三角形中位线定理求得，，，且，再分两种情况讨论，①，②当时，利用相似三角形的判定和性质列式计算即可求解； （2）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到的距离h利用△PQE的面积公式得到． 【详解】（1）解：如图， 在中，，， ∴， ∵D、E分别是的中点， ，，且， 由题意得：，， ①时， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，， 即， 解得； ②如图，当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似； （2）解：假设存在时刻t，使， 则此时， 如图，作于M． 同理，， ∴，即， ∴，， ∴ ， ， ∴， 整理得， 解得，（舍去）． ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴此时t的值为，． 【点睛】本题是相似形综合题．考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程等，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. _______________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 16． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）解不等式组： （2）化简： 18．（本小题满分6分） (1) ____________ (2) (3) 19．（本小题满分6分） (1) ____________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本小题满分6分） 21．（本小题满分8分） (1) ___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（本小题满分8分） 23．（本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机所使用的芯片越来越先进，在芯片上某种电子元件大约只占将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 3．实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将△ABC向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．如图，点E在正方形的边上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 8．如图，在△ABC中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10． ． 11．《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    12．如图，是甲、乙两人次射击成绩（环数）的条形统计图，如果甲又连续射击了次，且环数均为环，那么 （填“”、“”或“”） 13．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． 14．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 15．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）解不等式组：； （2）化简：． 18．（本小题满分6分）3月14日是国际数学日，也称“日”．2024年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）； 七年级名学生积分频数分布直方图    七年级名学生积分扇形统计图 根据以上信息，完成下列问题． (1)下列抽取样本的方式中，最合理的是_____________（填写序号）； ①从七年级的学生中抽取名男生； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． (2)求的值，并补全频数分布直方图； (3)求这一组对应的扇形的圆心角度数． 19．（本小题满分6分）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的寓意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：．“福星蛇墩墩”，．“禄星蛇墩墩”，．“寿星蛇墩墩”，．“喜星蛇墩墩”，．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 20．（本小题满分6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为为（参考数据：；） (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 21．（本小题满分8分）阳光玫瑰葡萄鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ (3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 22．（本小题满分8分）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 23．（本小题满分8分）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 24．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值． (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 25．（本小题满分10分）如图，在△ABC中，，，，D、E分别是的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？ (2)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为．若存在，求出此时t的值以及点E到的距离；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学易金卷中考一模（山东青岛卷）双向细目表 考查范围：数与式、图形的变化、图形的性质、方程与不等式、函数、统计与概率 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 用科学记数法表示绝对值小于1的数 2 容易 轴对称图形的识别,中心对称图形的识别 3 较易 根据点在数轴的位置判断式子的正负 4 较易 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标,由平移方式确定点的坐标 5 适中 根据平行线的性质求角的度数,三角形内角和定理的应用,三角板中角度计算问题 6 适中 二次根式的混合运算,无理数的大小估算,不等式的性质 7 适中 根据正方形的性质求线段长,根据旋转的性质求解,线段垂直平分线的性质,用勾股定理解三角形 8 适中 求扇形面积,圆周角定理,等腰三角形的定义 9 适中 根据二次函数的图象判断式子符号,根据二次函数图象确定相应方程根的情况,二次函数图象与各项系数符号,抛物线与x轴的交点问题 二、填空题 10 较易 整式四则混合运算 11 较易 列分式方程 12 适中 由条形统计图推断结论,求加权平均数,求方差 13 适中 正多边形的内角问题,根据矩形的性质与判定求线段长,用勾股定理解三角形 14 适中 求反比例函数解析式,根据图形面积求比例系数（解析式） 15 适中 切线的性质和判定的综合应用,应用切线长定理求证,相似三角形的判定与性质综合,求角的正弦值 三、作图题 16 较易 作线段(尺规作图),尺规作一个角等于已知角,作角平分线(尺规作图) 四、解答题 17 较易 分式加减乘除混合运算,求不等式组的解集 18 较易 求扇形统计图的圆心角,条形统计图和扇形统计图信息关联,调查收集数据的过程与方法 19 较易 根据概率公式计算概率,列表法或树状图法求概率 20 适中 其他问题（解直角三角形的应用） 21 适中 营销问题(一元二次方程的应用),销售问题(实际问题与二次函数),其他问题(一次函数的实际应用) 22 适中 含乘方的有理数混合运算,线段中点的有关计算,图形类规律探索 23 适中 利用菱形的性质求线段长,与三角形中位线有关的证明,证明四边形是矩形,解直角三角形的相关计算 24 较难 面积问题(二次函数综合),特殊四边形(二次函数综合),待定系数法求二次函数解析式,利用平行四边形的性质求解 25 较难 公式法解一元二次方程,相似三角形——动点问题,用勾股定理解三角形,与三角形中位线有关的求解问题 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机所使用的芯片越来越先进，在芯片上某种电子元件大约只占将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 3．实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，，将△ABC向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．如图，点E在正方形的边上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 8．如图，在△ABC中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 10． ． 11．《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    12．如图，是甲、乙两人次射击成绩（环数）的条形统计图，如果甲又连续射击了次，且环数均为环，那么 （填“”、“”或“”） 第13题图 13．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． 14．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 15．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）解不等式组：； （2）化简：． 18．（本小题满分6分）3月14日是国际数学日，也称“日”．2024年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）； 七年级名学生积分频数分布直方图    七年级名学生积分扇形统计图 根据以上信息，完成下列问题． (1)下列抽取样本的方式中，最合理的是_____________（填写序号）； ①从七年级的学生中抽取名男生； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． (2)求的值，并补全频数分布直方图； (3)求这一组对应的扇形的圆心角度数． 19．（本小题满分6分）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的寓意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：．“福星蛇墩墩”，．“禄星蛇墩墩”，．“寿星蛇墩墩”，．“喜星蛇墩墩”，．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 20．（本小题满分6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为为（参考数据：；） (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 21．（本小题满分8分）阳光玫瑰葡萄鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ (3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 22．（本小题满分8分）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 23．（本小题满分8分）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 24．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值． (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 25．（本小题满分10分）如图，在△ABC中，，，，D、E分别是的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？ (2)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为．若存在，求出此时t的值以及点E到的距离；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$