同构函数问题 讲义-2025届高三数学二轮专题突破　

同构函数问题 [考情分析]　同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大. 考点一　地位同等同构型 例1　(2024·西安模拟)若e2a-eb>4a2-b2+1，则 (　　) A.4a2>b2 B.4a2<b2 C. D. [规律方法]　含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题. 跟踪演练1　(多选)若2a+log2a=4b+2log4b，则 (　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b D.a<b2 考点二　指对同构问题 考向1　指对同构与恒成立问题 例2　(2024·佳木斯模拟)已知aeax≥ln x对∀x≥3恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  考向2　指对同构与证明不等式 例3　(2024·威海模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+1. (1)求f(x)的极值； (2)证明：ln x+x+1≤xex. 考向3　指对同构与函数零点 例4　(2024·六安模拟)若关于x的方程m+eln m=+e(ln x-x)有解，则实数m的最大值为　　　　　.  [规律方法]　指对同构的常用形式 (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)=xex； ②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)=xln x； ③取对构造形式：a+ln a≤ln b+ln(b>1)，构造函数f(x)=x+ln x. (2)商型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：； ②同右构造形式：； ③取对构造形式：a-ln a≤ln b-ln(b>1)，构造函数f(x)=x-ln x. (3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x； ②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x. 跟踪演练2　(2024·抚顺模拟)设函数f(x)=. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x>e-1时，证明：f(x)<ln(x+2). 答案精析 例1　D 跟踪演练1　BC 例2　 例3　(1)解　由题意得f(x)=ln x-ax+1的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=-a=， 当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，令f'(x)<0，则x>，令f'(x)>0，则0<x<， 即f(x)在上单调递增，在上单调递减， 故x=为函数f(x)的极大值点，函数f(x)的极大值为f=-ln a，无极小值. (2)证明　方法一　(隐零点) 设g(x)=xex-ln x-x-1，x>0， 则g'(x)=(x+1)ex--1， 令h(x)=(x+1)ex--1，x>0， 则h'(x)=(x+2)ex+>0， 即h(x)在(0，+∞)上单调递增， h=-3<0， h(e)=(e+1)ee--1>0， 故∃x0∈， 使得h(x0)=0，即x0=1， 当x∈(0，x0)时，h(x)<0即g'(x)<0，g(x)在(0，x0)上单调递减， 当x∈(x0，+∞)时，h(x)>0 即g'(x)>0，g(x)在(x0，+∞)上单调递增， 故g(x)min=g(x0)=x0-ln-x0-1=0， 即g(x)≥0，即xex≥ln x+x+1， 则ln x+x+1≤xex. 方法二　(同构) ln x+x+1=ln x+ln ex+1 =ln(xex)+1， 要证ln x+x+1≤xex， 即证ln(xex)+1≤xex， 令t=xex，t>0， 即证ln t+1≤t， 令φ(t)=ln t+1-t，t>0， ∴φ'(t)=-1=， 当t∈(0，1)时，φ'(t)>0， 当t∈(1，+∞)时，φ'(t)<0， ∴φ(t)在(0，1)上单调递增， 在(1，+∞)上单调递减， ∴φ(t)≤φ(1)=0，∴ln t+1-t≤0， 即ln t+1≤t，即原不等式成立. 例4　 跟踪演练2　(1)解　由函数f(x)=， 可得f'(x)=-， 令f'(x)=0， 解得x=或x=. 当x∈时，f'(x)<0； 当x∈时， f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0. 故f(x)在和上单调递减， 在上单调递增. (2)证明　f(x)= =， 当x>e-1时，ln(x+2)>1， 要证<ln(x+2)， 即证>. 设h(x)=，则h'(x)=， 当x>1时，h'(x)>0， 则h(x)在(1，+∞)上单调递增， 且h(x+1)=， h(ln(x+2))=， 当x>e-1时，x+1>e，ln(x+2)>1， 故只需证明x+1>ln(x+2). 令g(x)=x-ln(x+1)，x∈(-1，+∞)，则g'(x)=， 当x∈(-1，0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)≥g(0)=0， 则x≥ln(x+1)在(-1，+∞)上成立， 故x+1>ln(x+2)， 即f(x)<ln(x+2)成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$