零点问题讲义-2025届高三数学二轮专题突破　

零点问题 [考情分析]　在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考查形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则难度较大. 考点一　利用导数判断函数零点个数 例1　(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x(a>0). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=2时，若函数g(x)=f'(x)-x+ex-1，求函数g(x)的零点个数. [规律方法]　三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 跟踪演练1　(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=eax-x. (1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论f(x)的零点个数. 考点二　 由零点个数求参数范围 例2　(2024·北京丰台模拟)已知函数f(x)=a2x+2a-2ln x(a≠0). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围. [规律方法]　已知零点求参数的取值范围 (1)结合图象与单调性，分析函数的极值点； (2)依据零点确定极值的范围； (3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 跟踪演练2　已知函数f(x)=ex-1+e-x+1，g(x)=a(x2-2x)(a<0). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点，求a的取值范围. 答案精析 例1　解　(1)f'(x)=x-(a+1)+ = =，x>0，a>0， 当0<a<1时，当x∈(0，a)∪(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，a)，(1，+∞)上单调递增； 当x∈(a，1)时，f'(x)<0，f(x)在(a，1)上单调递减. 当a>1时，当x∈(0，1)∪(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)，(a，+∞)上单调递增； 当x∈(1，a)时，f'(x)<0，f(x)在(1，a)上单调递减. 当a=1时，f'(x)≥0， f(x)在(0，+∞)上单调递增. (2)当a=2时， f(x)=x2-3x+2ln x，x>0， 所以f'(x)=x-3+，x>0， 所以g(x)=ex-1-3+，x>0， 所以g'(x)=ex-1-，显然g'(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 因为g'(1)=-1<0， g'(2)=e->0， 所以存在唯一x0∈(1，2)， 使得g'(x0)=0， 当x∈(0，x0)时，g'(x)<0， 当x∈(x0，+∞)时，g'(x)>0， 所以g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，其中x0∈(1，2)， 又g(1)=0，g(x0)<g(1)=0， g(2)=e-2>0， 所以g(x)在(0，x0)上有唯一零点x=1，在(x0，2)上有唯一零点， 因此g(x)的零点个数为2. 跟踪演练1　解　(1)若a=2， 则f(x)=e2x-x，f'(x)=2e2x-1. 又f(1)=e2-1，切点为(1，e2-1)， 曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f'(1)=2e2-1， 故所求切线方程为y-(e2-1)= (2e2-1)(x-1)， 即y=(2e2-1)x-e2. (2)由题意得f'(x)=aeax-1. 当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上单调递减， 又f(0)=1>0，f(1)=ea-1≤0， 此时f(x)有一个零点. 当a>0时， 令f'(x)<0得x<-， 令f'(x)>0得x>-， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增. 故f(x)的最小值为f=. 当a=时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点. 当a>时，f(x)的最小值大于0， 此时f(x)没有零点. 当0<a<时，f(x)的最小值小于0， f(-1)=e-a+1>0， 当x→+∞时，f(x)→+∞， 此时f(x)有两个零点. 综上，当a≤0或a=时，f(x)有一个零点； 当0<a<时，f(x)有两个零点； 当a>时，f(x)没有零点. 例2　解　(1)当a=1时， f(x)=x+2-2ln x，x>0， 则f'(x)=1+-， 所以f'(1)=0，f(1)=3， 故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=3. (2)f'(x)=a2+- = =(a≠0，x>0)， 当a>0时，则a+2>0， 令f'(x)>0，则x>， 令f'(x)<0，则0<x<， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减，故当x=时， f(x)取极小值也是最小值， 则f(x)min=f=a2·+ 2a-2ln=3+4ln a， 又当x→+∞时，f(x)→+∞， 且当x→0时，f(x)→+∞， 故要使函数f(x)有两个零点，只需要f(x)min=3+4ln a<0， 解得0<a<； 当a<0时，则a-1<0， 令f'(x)>0，则x>， 令f'(x)<0，则0<x<， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减，故当x=时， f(x)取极小值也是最小值， 则f(x)min=f=a2·+ 2a-2ln =-2ln =-4ln 2+2ln a2， 又当x→+∞时，f(x)→+∞， 且当x→0时，f(x)→+∞， 故要使函数f(x)有两个零点，只需要f(x)min=-4ln 2+2ln a2<0， 解得-2<a<0； 综上，0<a<或-2<a<0，故a的取值范围是(-2，0)∪(0，). 跟踪演练2　解　(1)由f(x)=ex-1+e-x+1， 可得f'(x)=ex-1-e-x+1=， 令f'(x)=0，解得x=1， 当x<1时，f'(x)<0， f(x)在(-∞，1)上单调递减； 当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增， 故函数f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是(1，+∞). (2)由h(x)=0，得f(x)=g(x)， 因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数， 因为g(x)=a(x2-2x)(a<0)，所以g(x)的图象关于直线x=1对称， 且单调递增区间是(-∞，1)，单调递减区间是(1，+∞)，所以当x=1时， g(x)取最大值g(1)=-a， 由(1)可知，函数f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是(1，+∞). 当x=1时，f(x)取最小值f(1)=2， 又f(1-x)=f(1+x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故当-a>2，即a<-2时，函数h(x)有两个零点，故a的取值范围是(-∞，-2). 学科网（北京）股份有限公司 $$