15.4（3）正方形的性质与判定（8大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 15.4 特殊的平行四边形的性质与判定 15.4（3）正方形的性质与判定 知识点一 正方形的性质 ★1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形式轴对称图形，有四条对称轴； ★2、正方形的面积计算 ①边长的平方；②对角线平方的一半； ★3、正方形特有的性质： ①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等四边形中，正方形的面积最大. 知识点二 正方形的判定 ★1、正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 题型一 利用正方形的性质求角度 解题技巧提炼 正方形中求角度的问题要善于抓住正方形中的特殊角度90°、45°以及四边相等的性质. 1．（2024秋•文山市期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（　　） A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5° 2．（2024秋•连州市期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（　　） A．75° B．60° C．50° D．45° 3．（2024秋•新城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 4．（2024秋•保定期末）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB等于（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 5．（2024春•新罗区校级期中）如图，以正方形ABCD的边AB为边作等边△ABE，连接DE，则∠AED的度数为　 ． 6．（2024秋•太原期中）如图，点E．F分别是正方形ABCD内部、外部一点，四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，则∠CBE的度数等于 　 　． 7．（2024秋•沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝15°，则∠EDF的度数为　 　． 题型二 利用正方形的性质求线段长 解题技巧提炼 由于正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以对于正方形的对角线及边这两个元素中知道其中一个的长度，都能根据勾股定理求出另一个.在计算中要利用等腰直角三角形的相关知识. 1．（2024秋•简阳市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，则ED的长度为（　　） A．4 B． C． D． 2．（2024秋•淄川区期末）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为 　 　． 4．（2024秋•碑林区校级期末）如图，如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连接BP、CP，若∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，则点P到直线AD的距离为 　 　． 5．（2024秋•莱西市期末）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝4，则AE的长为 　 　． 6．（2024秋•文山市期中）如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若AE＝2，求CG的长． 7．（2024秋•榆社县期中）综合与实践 问题情境：如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE． （1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由； （2）若AB＝10，CF＝2，求DE的长． 题型三 利用正方形的性质求周长或面积 解题技巧提炼 正方形的周长：边长×4. 正方形的面积：（1）边长的平方；（2）对角线乘积的一半； 1．（2024秋•永安市期中）正方形的周长为8cm，则它的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 2．（2024•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024春•南岗区校级月考）正方形一条对角线长为2，则周长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 4．（2024秋•遂川县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE＝2，AF＝6，AE∥CF，则△ABE的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 5．（2024秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（　　） A．34 B．36 C．40 D．100 6．（2024秋•福清市期末）已知，如图所示四边形ABCD是由Rt△ABE，Rt△CDG，Rt△BCF和Rt△ADH围成的，中间的空白部分四边形EFGH恰好是正方形，若△BCF和△ADH是两个全等的等腰直角三角形，且BF＝a，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B．2a2 C． D． 7．（2024秋•路北区校级期末）如图，小明同学将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是　 　． 题型四 利用正方形的性质进行证明 解题技巧提炼 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证明边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条 边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件. 1．（2024秋•碑林区期末）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，连接CE，CF，求证：CE＝CF． 2．（2024秋•永丰县校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，且不与点A，D重合，点H在边AB上，且不与点A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．若BP＝CH，求证：BP⊥CH． 3．（2024秋•双牌县期末）如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接CE，AG． 求证：CE＝AG． 4．（2024秋•昆都仑区期末）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 5．（2024秋•观山湖区校级月考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线BD上的两点，且DE＝BF．连接AE，CE，AF，CF． （1）证明：△ADE≌△CBF； （2）若，BF＝2，求四边形AECF的周长． 6．（2024秋•绥化期末）正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F． （1）说明OE＝OF的道理； （2）在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE＝OF”还成立吗？请说明理由． 7．（2024•海口模拟）如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF． （1）求证：△ABG≌△ADF； （2）求证：AG⊥AF； （3）当EF＝BE+DF时： ①求m的值； ②若F是CD的中点，求BE的长． 题型五 正方形判定的条件 解题技巧提炼 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 1．（2024秋•城关区期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 2．（2024秋•太原期末）若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形 B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形 D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形 3．（2024秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD 4．（2024秋•即墨区期末）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 5．（2024秋•东明县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•工业园区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使菱形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是 　 　． 7．（2023秋•渭源县期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　 　．（仅填序号） 8．（2024秋•城关区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE，那么： ①△ABE≌△CDF； ②四边形AECF是平行四边形； ③当AB＝AD时，四边形AECF是菱形； ④当M、N分别是BC、AD中点时，四边形AMCN是正方形． 则下列结论中正确的有 　 　． 题型六 正方形的判定的证明 解题技巧提炼 判定一个四边形是正方形时，往往先判定它是矩形（或菱形），再补充一个想对应的一个或两个其它有关边、角、对角线的条件，即可证明. 1．（2024秋•秦都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，AD＝BC．过点D作DE⊥AB且DE＝BD，连接CE．求证：四边形BCED是正方形． 2．（2024秋•太原期末）如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形． 3．（2024秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为其内一点，且AD，BD分别平分∠BAC，∠ABC．若DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则四边形DECF是正方形吗？请说明理由． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形． 5．（2024春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：△ABF≌△DAE． （2）求证：四边形ABCD是正方形． 6．（2024秋•中宁县期中）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F． （1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形． 7．（2024春•清原县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　 　形； ②当△ABC满足条件 　 　时，四边形AFBD是正方形． 题型七 正方形的性质与判定的综合应用 解题技巧提炼 正方形的判定可以确定正方形的存在，再利用正方的性质，可以得出线段或角的对应关系从而解决问题. 1．（2023春•汕头校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　） A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4 2．（2024春•浦北县校级月考）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论结论正确的是（　　） A．矩形DEFG是正方形 B．2CE+CGAD C．CG＝CD D．CE＝CF 3．（2024春•宁阳县校级月考）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论： ①四边形ADFE是平行四边形； ②当∠BAC＝130°时，四边形ADFE是矩形； ③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形； ④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形． 其中正确结论有 　 　（填上所有正确结论的序号）． 4．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 5．（2024春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且 AE＝BF＝CM＝DN （1）求证：四边形EFMN是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长． 6．（2024秋•青羊区期末）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离． 7．（2024春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF． （1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由； （2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度； （3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由． 题型八 正方形中的最短问题 解题技巧提炼 在解决正方形中的最短问题时，利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短线段和. 1．（2024•苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•莲湖区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一动点．则PE+PD的最小值是（　　） A． B． C．3 D．3 4．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•旺苍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDFE，当AE取得最小值时，BD的长为　 　． 6．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且CE＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值为 　 　． 7．（2025•碑林区校级一模）如图，在正方形ABCD中，，点E为边AD上一点，连接BE，点G在BE上，以GE为边作等边△EFG，点F落在CD上，M为GF中点，连接CM，则CM的最小值为 　 ． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 15.4 特殊的平行四边形的性质与判定 15.4（3）正方形的性质与判定 知识点一 正方形的性质 ★1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形式轴对称图形，有四条对称轴； ★2、正方形的面积计算 ①边长的平方；②对角线平方的一半； ★3、正方形特有的性质： ①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等四边形中，正方形的面积最大. 知识点二 正方形的判定 ★1、正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 题型一 利用正方形的性质求角度 解题技巧提炼 正方形中求角度的问题要善于抓住正方形中的特殊角度90°、45°以及四边相等的性质. 1．（2024秋•文山市期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（　　） A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5° 【分析】由AB＝CB，∠ABC＝90°，得∠BAC＝∠BCA＝45°，由AE＝AC，得∠E＝∠ACE＝67.5°，则∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵AE＝AC， ∴∠E＝∠ACE， ∵∠E+∠ACE＝180°﹣45°＝135°， ∴2∠ACE＝135°， ∴∠ACE＝67.5°， ∴∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠BCE的度数是22.5°， 故选：D． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由AE＝AC求得∠ACE＝67.5°是解题的关键． 2．（2024秋•连州市期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（　　） A．75° B．60° C．50° D．45° 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明△ABE≌△ADF，进而得出△CEF为等腰直角三角形，即可求出∠CEF． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质．全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 3．（2024秋•新城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD＝∠ECD，根据正方形的对角线性质以及∠BCE＝70°可求∠BEC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求∠ECD的度数，最终可求出∠EAD的度数． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD， ∵DE＝DE， ∴△AED≌△CED（SAS）， ∴∠EAD＝∠ECD， 又∵∠BCE＝70°， ∴∠BEC＝65°， ∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD， 即65°＝45°+∠ECD， ∴∠ECD＝20°， ∴∠EAD＝20°． 故选：C． 【点评】本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助三角形外角与内角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化． 4．（2024秋•保定期末）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB等于（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据题意直接证明Rt△ADF≌Rt△ABE，进而得CE＝CF，可知∠FEC＝45°，结合等边三角形的条件，即可求得∠AEB． 【解答】解：连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AF＝AE，∠AEF＝60°， 在Rt△ADF和Rt△ABE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）， ∴DF＝BE， ∴CE＝CF， ∵∠C＝90°， ∴∠FEC＝45°， 又∠AEF＝60°， ∴∠AEB＝180°﹣∠AEF﹣∠FEC＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键． 5．（2024春•新罗区校级期中）如图，以正方形ABCD的边AB为边作等边△ABE，连接DE，则∠AED的度数为　 ． 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD＝AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°， 在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°， ∴∠AED（180°﹣150°）＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键． 6．（2024秋•太原期中）如图，点E．F分别是正方形ABCD内部、外部一点，四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，则∠CBE的度数等于 　 　． 【分析】先由四边形ABCD是正方形，AB＝AD＝BC，∠ABC＝90°，再由四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，得AD＝AE，BC＝BE，则AB＝AE＝BC，所以∠ABE＝60°，则∠CBE＝30°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠ABC＝90°， ∴四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形， ∵AD＝AE，BC＝BE， ∴AB＝AE＝BC， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】此题重点考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明△ABE是等边三角形是解题的关键． 7．（2024秋•沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝15°，则∠EDF的度数为　 　． 【分析】设AC交BD于O，由正方形的性质得AC⊥BC，CD＝CB，∠BCD＝90°，OB＝OD，则OC＝OD＝OB，∠DOF＝∠COE＝90°，所以∠OBC＝∠OCB＝45°，由EF∥BC，得∠OEF＝∠OFE＝45°，所以∠OCE＝∠OFE﹣∠CEF＝30°，OF＝OE，即可证明△DOF≌△COE，得∠EDF＝∠OCE＝30°． 【解答】解：设AC交BD于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BC，CD＝CB，∠BCD＝90°，OB＝OD， ∴OC＝OD＝OBBC，∠DOF＝∠COE＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵EF∥BC，∠CEF＝15° ∴∠OEF＝∠OBC＝∠OCB＝∠OFE＝45°， ∴∠OCE＝∠OFE﹣∠CEF＝45°﹣15°＝30°，OF＝OE， 在△DOF和△COE中， ， ∴△DOF≌△COE（SAS）， ∴∠ODF＝∠OCE＝30°，即∠EDF＝30°， 故答案为：30°． 【点评】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质等知识，求得∠OCE＝∠OFE﹣∠CEF＝30°并且证明△DOF≌△COE是解题的关键． 题型二 利用正方形的性质求线段长 解题技巧提炼 由于正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以对于正方形的对角线及边这两个元素中知道其中一个的长度，都能根据勾股定理求出另一个.在计算中要利用等腰直角三角形的相关知识. 1．（2024秋•简阳市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，则ED的长度为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】过E作EF⊥CD于F，由正方形ABCD的边长为6，可得CD＝6，ACCD＝6，∠ACD＝45°，而AE＝2CE，故CEAC＝2，根据△EFC是等腰直角三角形，求出EF＝CF2，DF＝CD﹣CF＝4，再用勾股定理可得答案． 【解答】解：过E作EF⊥CD于F，如图： ∵正方形ABCD的边长为6， ∴CD＝6，ACCD＝6，∠ACD＝45°， ∵AE＝2CE， ∴CEAC62， ∵EF⊥CD，∠ACD＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝CF2， ∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4， 在Rt△DEF中， DE2； 故选：D． 【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握正方形性质及等腰直角三角形三边的关系． 2．（2024秋•淄川区期末）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先利用ASA证明△BEO≌△CFO，故得BE＝FC，进而得出AE＝BF，在Rt△BEF中利用勾股定理即可解得EF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD， 又∵OE⊥OF， ∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF， ∴∠EOB＝∠COF， ∴△BEO≌△CFO（ASA）， ∴BE＝CF＝3， 又∵AB＝BC， ∴AE＝BF＝4， ∴Rt△BEF中，EF5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 3．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为 　 　． 【分析】通过证明△ABE≌△DAF，得AE＝DF，AF＝BE，进而求出EF． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∵BE⊥l，DF⊥l， ∴∠AFD＝∠AEB＝90°， ∴∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°， ∴∠FDA＝∠EAB， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）， 即AE＝DF＝4，AF＝BE＝2， ∴EF＝AE+AF＝4+2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理等知识，解本题的关键是证明△ABE≌△DAF． 4．（2024秋•碑林区校级期末）如图，如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连接BP、CP，若∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6，则点P到直线AD的距离为 　 　． 【分析】先根据已知条件，利用勾股定理求出BC从而得到AD，设点P到BC的距离为h，然后根据Rt△BCP的面积，求出点P到BC的距离，从而求出点P到AD的距离即可． 【解答】解：∵∠BPC＝90°，BP＝8，CP＝6， ∴， ∴CD＝BC＝10， 设点P到BC的距离为h， ∵△BCP的面积， ∴， 48＝10h， h＝4.8， ∴点P到直线AD的距离为：10﹣4.8＝5.2， 故答案为：5.2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握利用面积法解决问题． 5．（2024秋•莱西市期末）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝4，则AE的长为 　 　． 【分析】过点E作EM⊥AD交BC于点N，交AD于点M，则MN＝4，再证明△BCG≌△NEC，得出NE＝BC＝4，再利用勾股定理即可解答． 【解答】解：过点E作EM⊥AD交BC于点N，交AD于点M，则MN＝4， ∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， ∴CG＝CE，∠B＝90°＝∠CNE，∠GCE＝90°， ∴∠GCB＝∠CEN， ∴△BCG≌△NEC（ASA）， ∴NE＝BC＝4，CN＝BGAB＝2， ∴ME＝8，AM＝BN＝2， ∴AE2， 故答案为：2． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 6．（2024秋•文山市期中）如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若AE＝2，求CG的长． 【分析】根据SAS证明△ABE≌△CBG即可． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴AB＝BC，BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠CBG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（SAS）， ∴AE＝CG＝2． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CBG是解题的关键． 7．（2024秋•榆社县期中）综合与实践 问题情境：如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE． （1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由； （2）若AB＝10，CF＝2，求DE的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得∠CE′B＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，由矩形的判定可得四边形BE'FE是矩形，由旋转可知BE＝BE′，四边形BE'FE是正方形； （2）由勾股定理可求BE的长，由“AAS”可证△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝6，DH＝AE＝8，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形， 理由如下：∵△CBE′是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴∠CE′B＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，AB＝BC，AE＝CE'， 又∵∠BEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 由旋转可知BE＝BE′， ∴四边形BE'FE是正方形； （2）∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝BE'＝E'F， ∵BC2＝E'B2+E'C2， ∴100＝E'B2+（E'B+2）2， ∴E'B＝6， ∴E'F＝BE＝6， ∴CE'＝6+2＝8＝AE， 如图，过点D作DH⊥AE于H， ∴∠DHA＝90°＝∠AEB， ∴∠DAH+∠EAB＝∠DAH+∠ADH＝90°， ∴∠ADH＝∠BAE， 又∵AD＝AB， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE＝6，DH＝AE＝8， ∴HE＝2， ∴DE2． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型三 利用正方形的性质求周长或面积 解题技巧提炼 正方形的周长：边长×4. 正方形的面积：（1）边长的平方；（2）对角线乘积的一半； 1．（2024秋•永安市期中）正方形的周长为8cm，则它的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【分析】设正方形的边长为acm，4a＝8，则a＝2，即可求得该正方形的面积为4cm2． 【解答】解：设正方形的边长为acm， ∵正方形的周长为8cm， ∴4a＝8， ∴a＝2， ∴S＝a2＝22＝4（cm2）， ∴它的面积为4cm2， 故选：B． 【点评】此题重点考查正方形的四条边都相等、正方形的面积公式等知识，根据正方形的周长为8cm求出它的边长是解题的关键． 2．（2024•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3， ∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了正方形的性质． 3．（2024春•南岗区校级月考）正方形一条对角线长为2，则周长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【分析】根据对角线长求出边长，即可求出周长． 【解答】解：设正方形的边长为a， ∵对角线长为2， ∴2a2＝（2）2， 解得：a＝2或﹣2（不符合题意，舍去）， ∴正方形的周长为8， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 4．（2024秋•遂川县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE＝2，AF＝6，AE∥CF，则△ABE的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【分析】先根据正方形的性质可得：AD∥BC，AB＝BC，∠B＝90°，证明四边形AECF是平行四边形，可得CE＝AF＝6，由此计算AB＝BC＝8，最后由直角三角形的面积公式可得结论． 【解答】解：∵四边形是ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝BC，∠B＝90°， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴CE＝AF＝6， ∵BE＝2， ∴BC＝BE+CE＝2+6＝8， ∴AB＝8， ∵∠B＝90°， ∴△ABE的面积•AB•BE8×2＝8． 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质知识，熟练掌握相关知识是解答的关键． 5．（2024秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（　　） A．34 B．36 C．40 D．100 【分析】利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积，进行计算即可． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6， ∴BE＝AH＝DG＝CF＝8﹣6＝2， ∴四边形EFGH的面积为：； 故选C． 【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，正确的识图，利用割补法求面积是解题的关键． 6．（2024秋•福清市期末）已知，如图所示四边形ABCD是由Rt△ABE，Rt△CDG，Rt△BCF和Rt△ADH围成的，中间的空白部分四边形EFGH恰好是正方形，若△BCF和△ADH是两个全等的等腰直角三角形，且BF＝a，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B．2a2 C． D． 【分析】设EF＝m，则FG＝GH＝EH＝EF＝m，因为AH＝DH＝CF＝BF＝a，所以BE＝DG＝a+m，AE＝CG＝a﹣m，则S四边形ABCD＝2a2+2（a+m）（a﹣m）+m2＝2a2，于是得到问题的答案． 【解答】解：设EF＝m， ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG＝GH＝EH＝EF＝m， ∵△BCF和△ADH是两个全等的等腰直角三角形，且BF＝a， ∴AH＝DH＝CF＝BF＝a， ∴BE＝DG＝a+m，AE＝CG＝a﹣m， ∵∠CFB＝∠AHD＝∠AEB＝∠CGD＝90°， ∴S四边形ABCD＝2a2+2（a+m）（a﹣m）+m2＝2a2， 故选：B． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、三角形的面积公式等知识，正确地用代数式表示四边形ABCD的面积是解题的关键． 7．（2024秋•路北区校级期末）如图，小明同学将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是　 　． 【分析】利用ASA判断出△ABE≌△ADF，得到四边形AECF的面积与正方形ABCD面积相等，结论可求． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AB． ∴∠DAF+∠BAF＝90°． ∵∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠BAF＝90°． ∴∠EAB＝∠DAF． 在Rt△EAB和Rt△FAD中， ． ∴Rt△EAB≌Rt△FAD（ASA）． ∴S△EAB＝S△FAD． ∵S四边形AECF＝S四边形ABCF+S△ABE ∴S四边形AECF＝S四边形ABCF+S△ADF＝S正方形ABCD＝52＝25（cm2）． 故答案为：25cm2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质．利用面积割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 题型四 利用正方形的性质进行证明 解题技巧提炼 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证明边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条 边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件. 1．（2024秋•碑林区期末）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，连接CE，CF，求证：CE＝CF． 【分析】根据正方形性质得，AB＝CB＝CD＝AB，∠B＝∠D＝90°，再根据E，F分别是边AB，AD的中点得BE＝DF，由此可依据“SAS”判定△CBE和△CDF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝CD＝AB，∠B＝∠D＝90°， ∵E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点， ∴BEAB，DFAD， ∴BE＝DF， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（SAS）， ∴CE＝CF． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 2．（2024秋•永丰县校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，且不与点A，D重合，点H在边AB上，且不与点A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．若BP＝CH，求证：BP⊥CH． 【分析】由“HL”可证Rt△ABP≌Rt△BCH，可得∠BCH＝∠ABP，由余角的性质可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°， 在Rt△ABP和Rt△BCH中， ， ∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL）， ∴∠BCH＝∠ABP， ∵∠ABP+∠CBP＝90°＝∠BCH+∠CBP， ∴∠CEB＝90°， ∴BP⊥CH． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024秋•双牌县期末）如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接CE，AG． 求证：CE＝AG． 【分析】由正方形的性质得出AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，得出∠ABG＝∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可； 【解答】证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE， ∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG， ∴∠ABG＝∠CBE， 在△ABG和△CBE中， ， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG＝CE． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．（2024秋•昆都仑区期末）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【分析】（1）根据正方形性质得AD＝DC，∠ADC＝90°，再根据AE⊥DG，CF⊥DG得∠AED＝∠DFC＝90°，证明∠DAE＝∠CDF，进而可依据“AAS”判定△AEE和△DFC全等； （2）根据△AEE和△DFC全等得AE＝DF，ED＝FC，然后再根据DF＝ED+EF＝FC+EF即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵AE⊥DG，CF⊥DG， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△AEE和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）； （2）∵△AED≌△DFC， ∴AE＝DF，ED＝FC， ∵DF＝ED+EF＝FC+EF． ∴AE＝FC+EF． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质还解决问题的关键． 5．（2024秋•观山湖区校级月考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线BD上的两点，且DE＝BF．连接AE，CE，AF，CF． （1）证明：△ADE≌△CBF； （2）若，BF＝2，求四边形AECF的周长． 【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠ADE＝∠CBF＝45°，再由SAS可证△ADE≌△CBF； （2）由正方形性质及勾股定理可求得BD＝AC＝8，DO＝BO＝4．再证明四边形AECF为菱形，因为DE＝BF＝2，所以可得OE＝2，在Rt△AOE中用勾股定理求得AE＝2，进而四边形AECF的周长为4DE，即可求得答案． 【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠ADE＝∠CBF＝45°， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：∵AB＝AD， ∴BD8， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4， 又∵DE＝BF＝2， ∴OB﹣BF＝OD﹣DE， 即OE＝OF＝4﹣2＝2， 故四边形AECF为平行四边形． ∵∠DOC＝90°， ∴四边形AECF是菱形， ∴AE2． ∴4DE， 故四边形AECF的周长为8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键． 6．（2024秋•绥化期末）正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F． （1）说明OE＝OF的道理； （2）在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE＝OF”还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE＝OF； （2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中， ∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°， ∴∠OBE+∠BEO＝90°， ∵AG⊥EB， ∴∠AGE＝90°， ∴∠GAE+∠AEG＝90°， ∴∠OBE＝∠OAF， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（ASA）， ∴OE＝OF； （2）解：OE＝OF仍然成立． 理由如下： 在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°， ∴∠FAO+∠F＝90°， ∵AG⊥EB， ∴∠AGE＝90°， ∴∠GAE+∠E＝90°， ∴∠E＝∠F， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OF． 所以结论仍然成立． 【点评】此题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是得到△AOF≌△BOE． 7．（2024•海口模拟）如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF． （1）求证：△ABG≌△ADF； （2）求证：AG⊥AF； （3）当EF＝BE+DF时： ①求m的值； ②若F是CD的中点，求BE的长． 【分析】（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．已知BG＝DF，所以得出△ABG≌△ADF， （2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB＝∠FAD，从而得到∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，得出结论AG⊥AF； （3）①：由△ABG≌△ADF，AG＝AF，BG＝DF．得到EF＝BE+DF，EF＝BE+BG＝EG．AE＝AE，得出△AEG≌△AEF．所以∠EAG＝∠EAF，∠EAF∠GAF＝45°，即m＝45； ②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的长为． 【解答】 解：（1）证明：在正方形ABCD中， AB＝AD＝BC＝CD＝2， ∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°． ∵BG＝DF， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）； （2）证明：∵△ABG≌△ADF， ∴∠GAB＝∠FAD， ∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF ＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°， ∴AG⊥AF； （3）①解：△ABG≌△ADF， ∴AG＝AF，BG＝DF． ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝BE+BG＝EG． ∵AE＝AE， 在△AEG和△AEF中． ， ∴△AEG≌△AEF（SSS）． ∴∠EAG＝∠EAF， ∴∠EAF∠GAF＝45°， 即m＝45； ②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1． 设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x． 在Rt△CEF中，CE 2+CF 2＝EF 2，即（ 2﹣x ） 2+1 2＝（ 1+x ） 2，得x． ∴BE的长为． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质，解题的关键是根据三角形全等求出相等的角与边． 题型五 正方形判定的条件 解题技巧提炼 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 1．（2024秋•城关区期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定即可一一判断． 【解答】解：A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形； B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形； C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形； 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（2024秋•太原期末）若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形 B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形 D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形 【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可得出结论． 【解答】解：当OA＝OD时，平行四边形ABCD是不一定是菱形，故选项A不符合题意； 当AB＝AD时，▱ABCD不一定为正方形，故选项B不符合题意； 当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形，故选项C符合题意； 当AC⊥BD时，▱ABCD为是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 3．（2024秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理． 4．（2024秋•即墨区期末）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答． 【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形， 故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 5．（2024秋•东明县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数． 【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA， ∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确； 若∠BAC＝90°， ∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确； 若AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 又DE∥CA， ∴∠EDA＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确； 若AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， 同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④错误， 则其中正确的个数有3个． 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质． 6．（2024春•工业园区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使菱形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是 　 　． 【分析】根据“对角线相等的菱形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴菱形ABCD是正方形． 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 【点评】本题考查正方形的判定，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理． 7．（2023秋•渭源县期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　 　．（仅填序号） 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可． 【解答】解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形； 由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形； 由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形； 故答案为：②． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 8．（2024秋•城关区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE，那么： ①△ABE≌△CDF； ②四边形AECF是平行四边形； ③当AB＝AD时，四边形AECF是菱形； ④当M、N分别是BC、AD中点时，四边形AMCN是正方形． 则下列结论中正确的有 　 　． 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠CDA， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AM⊥BC，CN⊥AD， ∴∠BAE+∠ABC＝90°，∠DCF+∠CDA＝90°， ∴∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA），故①正确； ∴AE＝CF， ∵AM∥CN， ∴四边形AECF是平行四边形，故②正确； 连接AC，如图： 当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即AC⊥EF， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是菱形，故③正确； ∵AM⊥BC，CN⊥AD，AD∥BC， ∴∠AMC＝∠MCN＝∠CNA＝90°， ∴四边形AMCN是矩形， 当M、N分别是BC、AD中点时，不能证明两边相等，如图： 故④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查菱形，矩形，正方形判定，涉及平行四边形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理． 题型六 正方形的判定的证明 解题技巧提炼 判定一个四边形是正方形时，往往先判定它是矩形（或菱形），再补充一个想对应的一个或两个其它有关边、角、对角线的条件，即可证明. 1．（2024秋•秦都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，AD＝BC．过点D作DE⊥AB且DE＝BD，连接CE．求证：四边形BCED是正方形． 【分析】由AD＝BD，且AD＝BC，得BD＝BC，由∠ABC＝90°，DE⊥AB且DE＝BD，推导出DE∥BC，且DE＝BC，则四边形BCED是平行四边形，即可由∠B＝90°，DE＝BD，证明四边形BCED是正方形． 【解答】证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵AD＝BC， ∴BD＝BC， ∵∠ABC＝90°，DE⊥AB且DE＝BD， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°，DE＝BC， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形BCED是矩形， ∵DE＝BD， ∴四边形BCED是正方形． 【点评】此题重点考查正方形的判定，推导出DE∥BC，且DE＝BC是解题的关键． 2．（2024秋•太原期末）如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形． 【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝∠CDA＝90°，证出AE＝DE，由正方形的判定可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∵AE，DE平分∠BAD 与∠CDA， ∴，， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°， ∴▱AEDF是正方形． 【点评】此题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 3．（2024秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为其内一点，且AD，BD分别平分∠BAC，∠ABC．若DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则四边形DECF是正方形吗？请说明理由． 【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG＝DF，同理得到DE＝DG，等量代换得到DE＝DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【解答】解：四边形DECF是正方形． 理由：如图， 过D作DG⊥AB，交AB于点G， ∵∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG； ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC， ∴DE＝DG， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF为正方形． 【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形． 【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是菱形； ∵OE＝OA＝OF， ∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC， ∴菱形AECF是正方形． 【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础. 5．（2024春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：△ABF≌△DAE． （2）求证：四边形ABCD是正方形． 【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ABF≌△DAE（AAS）； （2）由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）； （2）∵△ABF≌△DAE， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 6．（2024秋•中宁县期中）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F． （1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论； （2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形． 【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据∠1＝∠2，∠ADE＝∠2，证明∠1＝∠ADE，则AE＝DE，即可根据菱形的定义证明四边形AEDF是菱形； （2）当∠BAC＝90°时，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可以证明四边形AEDF是正方形． 【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形， 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴DE∥AF，DF∥AE， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∵∠ADE＝∠2， ∴∠1＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴四边形AEDF是菱形． （2）当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形， 理由：由（1）得四边形AEDF是菱形， ∴当∠BAC＝90°，四边形AEDF是正方形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明∠1＝∠ADE是解题的关键． 7．（2024春•清原县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　 　形； ②当△ABC满足条件 　 　时，四边形AFBD是正方形． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证； ②添加条件为∠BAC＝90°，AB＝AC，由∠BAC＝90°，根据①得到四边形AFBD为菱形，再由AB＝AC，利用等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形； 故答案为：菱形； ②当△ABC满足条件∠BAC＝90°，AB＝AC时，四边形AFBD是正方形，理由为： 由①知当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∵四边形AFBD是菱形，∠ADB＝90° ∴四边形AFBD为正方形． 故答案为：∠BAC＝90°，AB＝AC． 【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 题型七 正方形的性质与判定的综合应用 解题技巧提炼 正方形的判定可以确定正方形的存在，再利用正方的性质，可以得出线段或角的对应关系从而解决问题. 1．（2023春•汕头校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　） A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4 【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长DG至F，使GF＝BE，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的长． 【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE， ∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形， ∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG， ∵AD＝3， ∴DG＝4﹣3＝1， ∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG， ∴△EBC≌△FGC（SAS）， ∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG， ∵∠DCE＝45°， ∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°， ∴∠DCE＝∠DCF， ∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC， ∴△ECD≌△FCD（SAS）， ∴ED＝DF， 设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1， ∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x， Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2， ∴（5﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， ∴DE＝3.4． 故选：B． 【点评】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．（2024春•浦北县校级月考）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论结论正确的是（　　） A．矩形DEFG是正方形 B．2CE+CGAD C．CG＝CD D．CE＝CF 【分析】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，推出矩形DEFG为正方形；故A正确；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），得到AE＝CG，求得AC＝AE+CE＝CE+CGAD，故B错误；当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故D错误． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形；故A正确； ∴AC＝AE+CE＝CE+CGAD，故B错误； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故D错误， 不能得出△DCE与△GCF全等，CD不一定等于CG，故C错误； 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（2024春•宁阳县校级月考）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论： ①四边形ADFE是平行四边形； ②当∠BAC＝130°时，四边形ADFE是矩形； ③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形； ④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形． 其中正确结论有 　 　（填上所有正确结论的序号）． 【分析】证明△EFB≌△ACB和△CDF≌△CAB即可判断①；当∠BAC＝130°时，求出∠EAD＝110°即可判断②；由AB＝AC得到AE＝AD即可判断③；由∠BAC＝150°得到∠EAD＝90°，得到ADFE是矩形，再结合③即可判断④． 【解答】解：①∵△ACD、△ABE、△CBF是等边三角形， ∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC，AC＝AD， ∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF， ∴△EFB≌△ACB（SAS）， ∴EF＝AC， ∴EF＝AC＝AD， 同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE， 由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形 ADFE是平行四边形，故结论①正确； ②当∠BAC＝130°时， ∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣130°﹣60°＝110°， 由①知四边形ADFE是平行四边形， ∴平行四边形ADFE不是矩形，故结论②错误； ③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形 AEFD是平行四边形， ∴当AB＝AC时，AE＝AD， ∴平行四边形ADFE是菱形，故结论③正确； ④当∠BAC＝150°时， ∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°， ∵ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE是矩形， 又由③知四边形ADFE是菱形， ∴四边形ADFE是正方形，故结论④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键． 4．（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC得平行四边形ABCD为菱形，再根据AB⊥BC即可得出结论； （2）连接AC，根据CF⊥AE于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，据此可得四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形， 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形， （2）连接AC，如图所示： ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线， ∴AC＝CE＝8， ∵四边形ABCD为正方形， ∵AD＝BC，∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴AD2AC264， ∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． 【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． 5．（2024春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且 AE＝BF＝CM＝DN （1）求证：四边形EFMN是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长． 【分析】（1）通过证明△AEN，△DNM，△MCF，△FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论； （2）根据AB＝7，AE＝3，可得AN＝BE＝AB﹣AE＝4，根据勾股定理可得EN＝5，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN， ∴AN＝DM＝CF＝BE． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）． ∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN． ∴四边形EFMN是菱形， ∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°， ∴∠ENA+∠DNM＝90°． ∴∠ENM＝90°． ∴四边形EFMN是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4， ∴EN5， ∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20． 【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 6．（2024秋•青羊区期末）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离． 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得BO＝DO＝CO＝AO＝6，进而得到OF＝2，由四边形ABCD是菱形得到EF＝4，AC⊥EF，菱形AFCE的面积＝24，由勾股定理求得AE＝2，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵BE＝DF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∴AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：∵正方形ABCD的面积为72， ∴AC•BD＝72， ∴4BO2＝72， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝6， ∴AC＝12， ∵BF＝4， ∴OF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积AC•EF＝24， 在Rt△AOE中，AE2， 设点F到线段AE的距离为h， ∴AE•h＝24， 即2h＝24， ∴h． 即点F到线段AE的距离为． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键． 7．（2024春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF． （1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由； （2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度； （3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质，得到∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，结合AE＝BF，证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）根据勾股定理可得AE＝10，然后根据三角形的面积即可解决问题； （3）证明△BAP≌△ADN（ASA），可得AN＝BP，AP＝DN，由AE＝BF，可得EN＝PF，根据点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），可得P、E不重合，所以PN≠PF，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）AE⊥BF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴AE⊥BF； （2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6， 根据勾股定理得：AE10， ∵S△ABEAB•BEAE•BP， ∴8×6＝10BP， ∴BP＝4.8， ∴BP的长度为4.8； （3）四边形FMNP不能成为正方形，理由如下： 由（1）知：AE⊥BF， ∴∠APF＝90°， ∵FM⊥DN，DN⊥AE， ∴∠FMN＝∠MNP＝90°， ∴四边形FMNP是矩形， ∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°， ∴∠BAP＝∠ADN， 在△BAP和△ADN中， ， ∴△BAP≌△ADN（ASA）， ∴AN＝BP，AP＝DN， ∵AE＝BF， ∴AE﹣AN＝BF﹣BP， ∴EN＝PF， ∵点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合）， ∴P、E不重合， ∴PN≠PF， ∴四边形FMNP不能成为正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ABP≌△ADN． 题型八 正方形中的最短问题 解题技巧提炼 在解决正方形中的最短问题时，利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短线段和. 1．（2024•苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】作点E关于边AB所在直线的对称点E'，连接FE'交AB于点P，此时PE+PF有最小值，利用正方形的性质得出∠E'AC＝90°，再利用勾股定理求解． 【解答】解：作点E关于边AB所在直线的对称点E'，连接FE'交AB于点P， 此时PE+PF有最小值， ∵在正方形ABCD中， ∴∠BAC＝∠E'AB＝45°， ∴∠E'AC＝90°， ∴， ∵点E，F分别是对角线AC的三等分点， ∴AE＝EF＝FC＝2＝AE'， ∴PE+PF的最小值． 故选：D． 【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解． 【解答】解：如图，连接AE交BD于M点， ∵A、C关于BD对称， ∴AE就是ME+MC的最小值， ∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4， ∵AB， ∴AE2， ∴ME+MC的最小值是2． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键． 3．（2024秋•莲湖区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一动点．则PE+PD的最小值是（　　） A． B． C．3 D．3 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PE+PD＝BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果． 【解答】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于AC对称， ∴P′D＝P′B， ∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度． ∵直角△CBE中，∠BCE＝90°，BC＝3，CECD＝1， ∴BE． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 4．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可． 【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F， ∵A与A'关于BC对称， ∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O， ∵正方形ABCD，点O为对角线的交点， ∴， ∵A与A'关于BC对称， ∴AB＝BA'＝4， ∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6， 在Rt△OFA'中，， 故选：D． 【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键． 5．（2025•旺苍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDFE，当AE取得最小值时，BD的长为　 　． 【分析】过点E作EH⊥AC于H，由四边形DEFB是正方形，得∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，可证明△BDC≌△DEH（AAS），即有EH＝CD，DH＝BC＝2，从而AH＝AC﹣DH﹣CD＝2﹣CD，而AE2＝2（CD﹣1）2+2，根据二次函数性质可得AE取得最小值时，CD＝1，即可得到答案． 【解答】解：过点E作EH⊥AC于H，如图所示： 由条件可知∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD， ∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°， ∴△BDC≌△DEH（AAS）， ∴EH＝CD，DH＝BC＝2， ∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣2﹣CD＝2﹣CD， ∵AE2＝AH2+EH2＝（2﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣1）2+2， ∵2＞0， ∴当CD＝1时，AE2最小，则AE也最小， 此时， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形中的动点问题，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数表图象与性质，用含CD的代数式表示AE2是解决问题的关键． 6．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且CE＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值为 　 　． 【分析】根据正方形性质可知点B与点D关于AC对称，可得PB＝PD，由三角形三边关系可得DE≤PD+PE，即DE≤PB+PE，求出DE长即是PB+PE最小值． 【解答】解：如图，连接PD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴PB＝PD， ∵DE≤PD+PE， ∴DE≤PB+PE， 即DE长是PB+PE最小值， ∵CE＝1，CD＝3，∠ECD＝90°， ∴， ∴PB+PE的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形性质，轴对称，勾股定理等知识点，解题的关键是正确作对称点，根据三角形三边关系即可得出结论． 7．（2025•碑林区校级一模）如图，在正方形ABCD中，，点E为边AD上一点，连接BE，点G在BE上，以GE为边作等边△EFG，点F落在CD上，M为GF中点，连接CM，则CM的最小值为 　 ． 【分析】连接EM，由等边△EFG，M为GF中点，可得EM⊥GF，即∠EMF＝90°，，又由正方形的性质得∠EDF＝90°，所以点E、D、F、M四点共圆，所以∠MDF＝∠MEF＝30°，所以点当点E在AD上运动，且点F落在CD上时，点M在DN上运动，且∠CDN＝30°，根据垂线段最短可得当 CM⊥DN 时，CM最小，利用直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴， 作∠CDN＝30°， ∵以GE为边作等边△EFG，点F落在CD上，M 为GF中点， ∴EM⊥GF， ∴∠EMF＝90°，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDF＝90°， ∴点E、D、F、M四点共圆，所以∠MDF＝∠MEF＝30°， ∴当点E在AD上运动时，点M在DN上运动，当CM⊥DN时，CM最小， ∵∠CDN＝30°， ∴CM最小值， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，判定出点M的运动路径是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$