15.4（2）菱形的性质与判定（8大题型提分练）数学新教材北京版八年级下册

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 15.4 特殊的平行四边形的性质与判定 15.4（1）菱形的性质与判定 知识点一 菱形的性质 ◆1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ◆2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 知识点二 菱形的判定 ●●菱形的判定方法： ◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型一 利用菱形的性质求角度 解题技巧提炼 在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答. 1．（2024•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 2．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　） A．2α B．45°+α C． D． 4．（2024秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 6．（2024春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　． 7．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 解题技巧提炼 由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个. 1．（2024秋•成都期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OD＝3，CD＝5．则AC的长为（　　） A．4 B．8 C． D．12 2．（2024秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（2024秋•禅城区期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16cm、12cm，则它的两条对边的距离应为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．4.8cm 4．（2024秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　） A． B．8 C．4 D． 5．（2025•汕头模拟）如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 7．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　． 8．（2024•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为　 　． 题型三 利用菱形的性质求周长或面积 解题技巧提炼 因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4； 菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的. 1．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 2．（2024秋•包头期末）菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 3．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B． C．6 D．4 4．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 5．（2024秋•清城区期末）如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD．若AB＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 6．（2024秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 7．（2024春•宽城县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 题型四 利用菱形的性质进行证明 解题技巧提炼 菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起 . 1．（2024•榆阳区校级一模）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，，连接AM，AN． 求证：△ABM≌△ADN． 2．（2024秋•汉中期末）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC． 3．（2024秋•湖北期末）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，求证：BE＝BF． 4．（2025•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD为菱形，点E为CD边上一点，连接BE，点F为AD延长线上一点，连接CF，若∠DEB＝∠FCB，求证：BE＝CF． 5．（2024秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN． 6．（2024•邗江区校级三模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连结AF，CE，AC． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若四边形AFCE是菱形，判断△ABC的形状，并说明理由． 7．（2024秋•安徽月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点P为对角线AC上任一点，过点P作EF∥BC分别交AB、CD于点E、F，过点P作GH∥AB分别交AD、BC于点G、H，AH、CE交于点Q，连接PQ． （1）求证：△AEC≌△BHA； （2）求证：∠AQP＝60°． 题型五 菱形判定的条件 解题技巧提炼 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 1．（2024秋•武侯区校级期末）如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件： 使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 2．（2024秋•温县期中）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 3．（2024秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 4．（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程： ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵____， ∴四边形ABCD是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB 5．（2024•罗湖区校级开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 6．（2024•铁锋区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使平行四边形ABCD是菱形． 7．（2024•灵山县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 8．（2024春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 　 　，使四边形AEDF是菱形． 题型六 菱形的判定的证明 解题技巧提炼 证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直. 1．（2024秋•新城区期末）如图，已知四边形ABEF为平行四边形，点C为BE的中点，连接AC并延长交FE的延长线于点D，若DE＝2CE，求证：四边形ABEF为菱形． 2．（2024秋•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形． 3．（2024秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形． 4．（2024秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 5．（2024•市南区校级开学）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 6．（2024春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由． 7．（2024•市南区校级一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由． 题型七 菱形的性质与判定的综合应用 解题技巧提炼 菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系. 1．（2024秋•牟平区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，AD＝2CD．下列结论：①DC⊥AC；②BC＝4OF；③四边形AECF是菱形；④S△BOES△ADC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024春•乾县期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得AC两点之间的距离为12cm，BD两点之间的距离为16cm，则这两张纸条的宽为（　　） A．19.2cm B．10cm C．9.6cm D．4.8cm 3．（2024春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论： ①OGAB； ②四边形ABDE是菱形； ③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等． 其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2025•天心区开学）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE＝2，∠BAD＝120°，求AE的长． 5．（2024秋•渝中区校级期末）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数． 6．（2024春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长． 7．（2024秋•遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 题型八 菱形与矩形的综合应用 解题技巧提炼 综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 1．（2024秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F． （1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由； （2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长． 2．（2024秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC． （1）求证：四边形BEFD是矩形； （2）求四边形BEFD的周长为多少． 3．（2024春•瑶海区期末）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，DF＝BE，连接AF、CE． （1）求证：∠AFD＝∠CEB； （2）点H、G分别是AF、CE上的点，若AH＝CG，∠AEH+∠AFD＝90°，试判断四边形HEGF是什么图形，并证明你的结论． 4．（2024春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E． （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）当∠ABD＝60°，AD＝4时，求ED的长． 5．（2024春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积． 6．（2024春•琅琊区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）①对角线AC，BD满足　 　时，四边形DEBF是矩形； ②对角线AC，BD满足　 时，四边形DEBF是菱形． 7．（2024春•靖西市期末）如图，在▱ABCD中，DB⊥CB． （1）延长CB到E，使BE＝CB，连接AE，求证：四边形AEBD是矩形； （2）若点F，G分别是AB，CD的中点，连接DF、BG，试判断四边形DFBG是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 15.4 特殊的平行四边形的性质与判定 15.4（1）菱形的性质与判定 知识点一 菱形的性质 ◆1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ◆2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； 知识点二 菱形的判定 ●●菱形的判定方法： ◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 题型一 利用菱形的性质求角度 解题技巧提炼 在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答. 1．（2024•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论． 【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°， ∵AE＝1，AE⊥BC， ∴AEAB， ∴∠B＝30°， ∴∠DAB＝150°， ∴∠DAB：∠B＝5：1； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键． 2．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得∠ADC＝60°，根据菱形的性质可得∠ADB的度数． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， 在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用互余解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAO∠BAD， ∴∠DFO+∠FDO＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠FDO+∠ABO＝90°， ∴∠DFO＝∠ABO， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DFO＝90°﹣∠BAO＝90°， 故选：C． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答． 4．（2024秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 【分析】连接BD、BF，由菱形的性质得AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝43°，再证AF＝DF，则∠FAD＝∠FDA＝43°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD、BF， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝94°， ∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD∠BAD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°， ∴∠FAD＝43°， 又∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝43°， ∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°， 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【分析】连接AC，根据菱形的性质证得AC⊥BD，∠ABE＝∠CBE＝∠ADE，AB＝CB，进而得到∠EAD＝90°，证明△ABE≌△CBE（SAS），得到AE＝EC＝EF，由等腰三角形的性质得到∠EFA＝∠EAD＝90°，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE∠ABC，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（90°）﹣（90°）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE． 6．（2024春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 　 　． 【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O， ∴AC，BD互相垂直平分， ∵∠ABC＝∠ADC＝100°， ∴， 当点P如下图P点所在位置时： ∵PB＝PD， ∴∠PBD＝∠PDB＝20°， ∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°； 当点P如下图P′点所在位置时： ∵P'B＝P'D， ∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°， ∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°； 综上：∠PDC的度数为30°或70°， 故答案为：30°或70°． 【点评】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论． 7．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 【分析】先连接AC，证明△ABE≌△ACF，然后推出AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出∠CEF的度数． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝∠EAF＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°， ∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC， ∴∠BAE＝∠FAC， 在△ABE与△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝∠D＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， 又∠AEC＝∠B+∠BAE＝84°， ∴∠CEF＝84°﹣60°＝24°． 【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 题型二 利用菱形的性质求线段长 解题技巧提炼 由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个. 1．（2024秋•成都期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OD＝3，CD＝5．则AC的长为（　　） A．4 B．8 C． D．12 【分析】利用菱形的性质得到AC＝2OC，BD⊥AC，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2OC，BD⊥AC； 在直角三角形OCD中，由勾股定理得：， ∴AC＝2OC＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键要明确：菱形的对角线垂直平分． 2．（2024秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】由菱形的性质可得AB＝5，AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD，由勾股定理可求BO的长，即可求解． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD， ∴BO4， ∴BD＝8 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 3．（2024秋•禅城区期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16cm、12cm，则它的两条对边的距离应为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．4.8cm 【分析】设最外层菱形为菱形ABCD，它的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16cm，BD＝12cm，由AC⊥BD，得∠AEB＝90°，而AE＝CE＝8cm，BE＝DE＝6cm，所以AB10cm，设菱形ABCD两条对边的距离h cm，则10h16×12，解方程求出h的值即得到问题的答案． 【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16cm，BD＝12cm， ∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∵AE＝CEAC＝8cm，BE＝DEBD＝6cm， ∴AB10（cm）， 设菱形ABCD两条对边的距离h cm， ∵S菱形ABCD＝AB•hAC•BD， ∴10h16×12， 解得h＝9.6， ∴它的两条对边的距离应为9.6cm， 故选：A． 【点评】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键． 4．（2024秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　） A． B．8 C．4 D． 【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝16， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴， ∵菱形ABCD的面积， ∴BD＝8， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得． 5．（2025•汕头模拟）如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据含30°直角三角形性质求得，由菱形的性质得出CD＝AD即可得出答案． 【解答】解：由题意可知，四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝CB，且AC平分∠BCD， ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△CDE中，∠CDE＝30°， ∴， 即， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 6．（2024秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 7．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　． 【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24， ∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12， ∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF， ∴AB×PEPF×AD＝12， ∴5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF＝4.8． 故答案为：4.8． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AB×PEPF×AD＝S△ABD是解题关键． 8．（2024•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为　 　． 【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位线定理得FHAB＝2，FH∥AB，然后证△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GHEH，进而由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°， ∵F为AE的中点，H为BE的中点， ∴EHBE，FH是△ABE的中位线， ∴FHAB＝2，FH∥AB， ∴FH∥AB∥CD， ∵BE⊥AB， ∴FH⊥BE，CD⊥BE， ∴∠FHE＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°， ∴CEBC＝2， ∴BE2， ∴EHBE， ∴FH＝CE， 在△FHG和△CEG中， ， ∴△FHG≌△CEG（AAS）， ∴EG＝GHEH， 在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型三 利用菱形的性质求周长或面积 解题技巧提炼 因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4； 菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的. 1．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长为： AB+BC+CD+AD ＝6+6+6+6 ＝24， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质． 2．（2024秋•包头期末）菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【分析】首先根据菱形的性质可得AOAC，BODB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，进而得到AO和BO的长，然后再利用勾股定理计算出AB长，再计算菱形的周长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AOAC，BODB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴AO＝4cm，BO＝3cm， ∴AB5cm， ∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm， 故选：B． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分，四边相等． 3．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B． C．6 D．4 【分析】根据菱形的性质得到，∠DAO＝30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵∠BAD＝60°， ∴∠DAO＝30°， ∴AD＝2OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2， ∴， ∴AD＝2， ∴菱形ABCD的周长为4AD＝8， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 4．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△COD为直角三角形． ∵OE＝4，点E为线段CD的中点， ∴CD＝2OE＝8． ∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD＝8． 5．（2024秋•清城区期末）如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD．若AB＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 【分析】过A作AH⊥BC于H，由菱形的性质得到AB＝BC＝4，判定△ABC是等边三角形，得到BHBC＝2，求出AHBH＝2，即可求出菱形ABCD的面积． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝4， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BHBC＝2， ∴AHBH＝2， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝4×28． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是由等边三角形的性质求出菱形的高AH的长． 6．（2024秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得BD与AC互相垂直平分，再根据AC平分∠DAB，BF平分∠CBE，可以证明AC∥FB，根据平行线间的距离处处相等可得S△CBG＝S△ABG，进而可得S△ACG＝S△ABC． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴OA＝OC＝24， ∴OB＝OD10， ∵DA∥CB， ∴∠DAB＝∠CBE， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CABDAB， ∵BF平分∠CBE， ∴∠FBECBE， ∴∠CAB＝∠FBE， ∴AC∥FB， ∴S△CBG＝S△ABG， ∴S△ACG＝S△ABCAC•OB48×10＝240， 则△ACG的面积为240． 故答案为：240． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 7．（2024春•宽城县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【分析】（1）连接AC，证明△BAM≌△CAN（ASA），推出AM＝AN可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形AMCN的面积不发生变化． 【解答】解：（1）△AMN是等边三角形， 证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（ASA）， ∴AM＝AN， ∵∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形； （2）四边形CMAN的面积不发生变化，理由如下： ∵△BAM≌△CAN， ∴S△BAM＝S△CAN， ∴四边形AMCN的面积＝S△ACD2， ∴四边形AMCN的面积不发生变化． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型四 利用菱形的性质进行证明 解题技巧提炼 菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起 . 1．（2024•榆阳区校级一模）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，，，连接AM，AN． 求证：△ABM≌△ADN． 【分析】根据菱形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，根据BMBC，DNDC，可得BM＝DN，利用SAS即可证明 【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D， ∵BMBC，DNDC， ∴BM＝DN， 在△ABM和△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（SAS）． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，通过菱形的性质得到BM＝DN是解题的关键． 2．（2024秋•汉中期末）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC． 【分析】由菱形的性质可得∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△AEC≌△AFC，可得结论． 【解答】证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AC＝AC，AE＝AF， ∴△AEC≌△AFC（SAS） ∴∠AEC＝∠AFC． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AEC≌△AFC是本题的关键． 3．（2024秋•湖北期末）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，求证：BE＝BF． 【分析】根据菱形对角线平分对角，角平分线上的点到角两边的距离相等解答． 【解答】解：连接BD， ∵∠ADB＝∠CDB，BE⊥AD，BF⊥CD． ∴BE＝BF． 【点评】本题考查菱形的性质．解题关键是熟练掌握菱形对角线性质，角平分线性质． 4．（2025•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD为菱形，点E为CD边上一点，连接BE，点F为AD延长线上一点，连接CF，若∠DEB＝∠FCB，求证：BE＝CF． 【分析】由菱形的性质得BC＝CD，AF∥BC，再证∠BEC＝∠F，∠CBE＝∠DCF，然后由AAS证得△CBE≌△DCF，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，AF∥BC， ∴∠F+∠FCB＝180°， ∵∠DEB+∠BEC＝180°，∠DEB＝∠FCB， ∴∠BEC＝∠F， ∵∠DEB＝∠CBE+∠BCD，∠FCB＝∠DCF+∠BCD， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝CF． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN． 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB， ∵BE＝BF， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAM＝∠DCN， ∵∠ADM＝∠CDN， ∴∠DMA＝∠DNC， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DM＝DN． 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024•邗江区校级三模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连结AF，CE，AC． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若四边形AFCE是菱形，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC的中点，得出AE＝CF，AE∥CF，从而判断即可； （2）根据菱形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE＝DEAD，CF＝BFBC， ∵AD＝BC， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， 又∵CF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FBA＝180°， ∴∠FAB+∠FAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质．菱形的性质以及直角三角形的判定，熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质是解题的关键． 7．（2024秋•安徽月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点P为对角线AC上任一点，过点P作EF∥BC分别交AB、CD于点E、F，过点P作GH∥AB分别交AD、BC于点G、H，AH、CE交于点Q，连接PQ． （1）求证：△AEC≌△BHA； （2）求证：∠AQP＝60°． 【分析】（1）由菱形的性质得到AB＝BC，则可证明△ABC是等边三角形，得到AC＝AB，∠B＝∠BAC＝60°，再证明△AEP是等边三角形，得到PE＝AE，接着证明四边形BEPH是平行四边形，得到BH＝PE，推出BH＝AE，即可证明△AEC≌△BHA（SAS）； （2）由全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BAH，由平行线的性质得到∠AHG＝∠BAH，则∠AHG＝∠ACE，可推出C、P、Q、H四点共圆，得到∠PQH+∠PCH＝180°，则∠PQH＝120°，由此可得∠AQP＝180°﹣∠PQH＝60°． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠B＝∠BAC＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠AEP＝∠B＝60°， ∴△AEP是等边三角形， ∴PE＝AE， 又∵GH∥AB， ∴四边形BEPH是平行四边形， ∴BH＝PE， ∴BH＝AE， ∴△AEC≌△BHA（SAS）； （2）∵△AEC≌△BHA， ∴∠ACE＝∠BAH， ∵GH∥AB， ∴∠AHG＝∠BAH， ∴∠AHG＝∠ACE， ∴C、P、Q、H四点共圆， ∴∠PQH+∠PCH＝180°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠PCH＝60°， ∴∠PQH＝120°， ∴∠AQP＝180°﹣∠PQH＝60°． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型五 菱形判定的条件 解题技巧提炼 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 1．（2024秋•武侯区校级期末）如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件： 使得▱ABCD是菱形（　　） A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 2．（2024秋•温县期中）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【分析】根据∠ABD＝∠ADB得出AB＝AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出∠AOB＝90°，得出AC⊥BD，即可判断B不符合同意；根据∠BAO＝∠DCO无法判断四边形ABCD为菱形，即可判断C符合题意；根据∠ABO＝∠CBO，证明∠ABO＝∠ADB，得出AB＝AD，即可判断D不符合同意． 【解答】解：A．由∠ABD＝∠ADB得出AB＝AD，四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； B．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∵OA2+OB2＝CD2， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C．由∠BAO＝∠DCO不能证明▱ABCD是菱形，故符合题意； D．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠ABO＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键． 3．（2024秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OD，∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 4．（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程： ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵____， ∴四边形ABCD是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB 【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断即可． 【解答】解：∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； 故选：D． 【点评】本题主要考查菱形的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 5．（2024•罗湖区校级开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明平行四边形ABCD是菱形，可判断A不符合题意；由AB＝BC，可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意；由AC＝BD，根据“两条对角线相等的平行四边形是矩形”可证明平行四边形ABCD是矩形，但平行四边形ABCD不一定是菱形，可判断C符合题意；由AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA，则∠BCA＝∠BAC，所以AB＝BC，可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，但平行四边形ABCD不一定是菱形， 故C符合题意； 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确地理解和掌握菱形的定义和判定定理是解题的关键． 6．（2024•铁锋区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使平行四边形ABCD是菱形． 【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB时，四边形ABCD为菱形． 故答案为：AB＝BC（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解题的关键． 7．（2024•灵山县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 【分析】先证四边形AEFB是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 8．（2024春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 　 　，使四边形AEDF是菱形． 【分析】根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立． 【解答】解：DF∥AB，理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD， ∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点评】本题考查菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用菱形的判定解答． 题型六 菱形的判定的证明 解题技巧提炼 证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直. 1．（2024秋•新城区期末）如图，已知四边形ABEF为平行四边形，点C为BE的中点，连接AC并延长交FE的延长线于点D，若DE＝2CE，求证：四边形ABEF为菱形． 【分析】由平行四边形的性质得EF∥AB，则∠D＝∠CAB，由点C为BE的中点，得CE＝CB，EB＝2CE，而∠DCE＝∠ACB，即可根据“AAS”证明△DCE≌△ACB，得DE＝AB，因为DE＝2CE，所以AB＝2CE，推导出AB＝EB，则四边形ABEF为菱形． 【解答】证明：∵四边形ABEF是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴∠D＝∠CAB， ∵点C为BE的中点， ∴CE＝CB，EB＝2CE， 在△DCE和△ACB中， ， ∴△DCE≌△ACB（AAS）， ∴DE＝AB， ∵DE＝2CE， ∴AB＝2CE， ∴AB＝EB， ∴四边形ABEF为菱形． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明△DCE≌△ACB是解题的关键． 2．（2024秋•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DC， ∴∠DCA＝∠OAB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 3．（2024秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形． 【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明△BCD为等边三角形得到BC＝CD，根据菱形的判定定理可证得结论． 【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴． ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC＝CD， ∴四边形BCDE是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△BCD为等边三角形是解答的关键． 4．（2024秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DMAC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵MN⊥BD， ∴∠BMN＝∠DMN， ∵BN∥DM， ∴∠BNM＝∠DMN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∴BM＝BN， ∴BN＝DM＝BM＝DN， ∴四边形BNDM是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 5．（2024•市南区校级开学）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBD， ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 6．（2024春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证得AM∥CN，AD＝BC，根据M，N分别是AD和BC的中点证得AM＝CN即可证得结论； （2）当∠ACD＝90°，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵M、N分别是AD和BC的中点， ∴AMAD，CNBC， ∴AM＝CN， ∵AM∥CN，AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形； （2）解：当∠ACD＝90°，四边形AMCN是菱形， 理由如下： ∵M是AD的中点， ∴AM＝DM， ∵∠ACD＝90°， ∴CM＝AM＝DM， ∴AM＝CM， 由（1）知，四边形AMCN是平行四边形， ∴四边形AMCN是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形． 7．（2024•市南区校级一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由． 【分析】（1）证∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，再证FH是△ADE的中位线，得FG是线段ED的垂直平分线，则GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，然后由AAS证△ECG≌△GHD即可； （2）由含30°角的直角三角形的性质得AEAD，则AE＝AF＝FG，得四边形AEGF是平行四边形，然后由AE＝AF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AF＝FG， ∴∠FAG＝∠FGA， ∵AG 平分∠CAB， ∴∠CAG＝∠FAG， ∴∠CAG＝∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED， ∴∠C＝90°， ∵F是AD的中点，FG∥AE， ∴FH是△ADE的中位线， ∴H是ED的中点 ∴FG是线段ED的垂直平分线， ∴GE＝GD，∠DHG＝90°， ∴∠GDE＝∠GED， ∴∠CGE＝∠GDE， 在△ECG和△GHD中， ， ∴△ECG≌△GHD（AAS）； （2）解：当∠B为30°，四边形AEGF为菱形，理由如下： 由（1）得：DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝30°， ∴AEAD， ∴AE＝AF＝FG， 由（1）得：AE∥FG， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AEGF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质，证明DE∥BC是解题的关键． 题型七 菱形的性质与判定的综合应用 解题技巧提炼 菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系. 1．（2024秋•牟平区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，AD＝2CD．下列结论：①DC⊥AC；②BC＝4OF；③四边形AECF是菱形；④S△BOES△ADC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【解答】解：∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵AD＝2CD， ∴BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC， ∵AB∥CD， ∴CD⊥AC，故①正确； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AB⊥AC，点E为BC的中点， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故③正确； ∴AC⊥EF， 在Rt△AOF中，∠CAF＝30°， ∴OFAFADBC，故②正确； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴S△BOES△BOCS△ABC，故④正确； 正确的结论有4个， 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 2．（2024春•乾县期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得AC两点之间的距离为12cm，BD两点之间的距离为16cm，则这两张纸条的宽为（　　） A．19.2cm B．10cm C．9.6cm D．4.8cm 【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB，由菱形的面积可得出答案． 【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O． 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵点A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm， ∴OA＝6cm，OB＝8cm， ∴AB10， ∴BC＝10， ∵S菱形ABCDAC•BD＝BC•AR， ∴AR9.6（cm）． ∴这两张纸条的宽为9.6cm， 故选：C． 【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，一元一次方程的应用，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 3．（2024春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论： ①OGAB； ②四边形ABDE是菱形； ③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等． 其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OGCDAB，①正确； ②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，②正确； ③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS）， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，故①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故②正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）， 在△BGA和△COD中， ， ∴△BGA≌△COD（SAS）， ∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD， ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△DOG， ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABG＝S△DGE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确； 故正确的结论有3个． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 4．（2025•天心区开学）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE＝2，∠BAD＝120°，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，得∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，可证明△AOF≌△EOB，得出BE＝FA，可得四边形ABEF是平行四边形，由AB＝AF即得是菱形： （2）求出菱形ABEF的周长为20，得出AB＝5，再证明△ABE是等边三角形，即得AE＝5． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA， ∵O为BF的中点， ∴BO＝FO， 在△AOF和△EOB中， ， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又AB＝AF， ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）解：∵AD＝BC，AF＝BE， ∴DF＝CE＝2， ∵平行四边形ABCD的周长为24， ∴菱形ABEF的周长为：24﹣4＝20， ∴AB＝20÷4＝5， ∵∠BAD＝120°， ∴， 又 AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝5． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 5．（2024秋•渝中区校级期末）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数． 【分析】（1）证△AOB≌△OCD（ASA），则OB＝OD，再证四边形ABCD是平行四边形，然后证∠BAC＝∠BCA，得AB＝CB，即可得出结论； （2）由菱形的性质得∠ACB＝∠ACD＝27°，则∠ECF＝36°，再由直角三角形斜边上的中线性质得OEAC＝OC，则∠OEC＝∠OCE＝63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠OAB＝∠OCD， ∵O为AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOB和△OCD中， ， ∴△AOB≌△OCD（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°， ∴∠DCE+∠AEC＝180°， ∴∠DCE＝90°， ∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°， 由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°， ∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°， ∵∠AEC＝90°，OA＝OC， ∴OEAC＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE＝63°， ∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°， 即∠CFO的度数为99°． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 6．（2024春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证四边形ABEF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB+BC＝10，再证AB＝BE＝4，然后证△ABE是等边三角形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CE＝DF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝BE， ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形ABCD的周长为20， ∴AB+BC＝10， 即AB+BE+CE＝10， ∵AB＝BE，CE＝2， ∴AB＝BE＝4， ∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝4， 即AE的长为4． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．（2024秋•遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 【分析】（1）通过ABCD为菱形得到OB＝OD，OA＝OC，又BE＝DF，所以可知OE＝OF，从而得到AECF为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知△ADE是直角三角形，F为斜边的中点，得到AE＝EF＝AF，进而可得到△AEF是等边三角形，再通过角度计算出∠ADE＝30°，再通过勾股定理求出AE，进而可得到四边形AECF的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵AE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形， ∵F为DE的中点， ∴AF＝EF＝DF． ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， 又∵AE⊥AD． ∴∠EAD＝90°． ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2AE． ∵四边形ABCD为菱形． ∴． 在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2， ∴ ∴AE＝6（负值舍去）． ∵四边形AECF为菱形， ∴菱形AECF的周长为4×6＝24． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 题型八 菱形与矩形的综合应用 解题技巧提炼 综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键. 1．（2024秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F． （1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由； （2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长． 【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下： ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝∠BFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠DEB+∠EDF＝180°， ∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°， ∴四边形DEBF是矩形； （2）解：连接PB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB＝PD， 由（1）知，四边形DEBF是矩形， ∴DE＝FB＝6， 设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x， 在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2， 解得：x， ∴PD． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答． 2．（2024秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC． （1）求证：四边形BEFD是矩形； （2）求四边形BEFD的周长为多少． 【分析】（1）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OC∥BE，则BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF＝BD＝1，BE＝DF，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵CE＝CD，CF＝BC， ∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线， ∴OC∥BE， ∴BE⊥BD， ∴∠DBE＝90°， ∴平行四边形BEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OAAC， 由（2）可知，OC是△BDE的中位线， ∴BE＝2OC＝AC， ∵四边形BEFD是矩形， ∴EF＝BD＝1，BE＝DF， ∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024春•瑶海区期末）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，DF＝BE，连接AF、CE． （1）求证：∠AFD＝∠CEB； （2）点H、G分别是AF、CE上的点，若AH＝CG，∠AEH+∠AFD＝90°，试判断四边形HEGF是什么图形，并证明你的结论． 【分析】（1）根据菱形的性质得出∠D＝∠B，AD＝BC，根据全等三角形的判定推出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，求出∠AFD＝∠CEB＝∠DCE，求出HF＝EG，HF∥EG，求出∠HEG＝90°，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B，AD＝BC， 在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB； （2）四边形HEGF是矩形， 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB， ∵∠AFD＝∠CEB， ∴∠AFD＝∠DCE， ∴AF∥CE， ∵△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE， ∵AH＝CG， ∴AF﹣AH＝CE﹣CG， 即HF＝GE， ∴四边形HEGF是平行四边形， ∵∠AEH+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CEB， ∴∠AEH+∠CEB＝90°， ∴∠HEG＝180°﹣（∠AEH+∠CEB）＝90°， ∴四边形HEGF是矩形． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 4．（2024春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E． （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）当∠ABD＝60°，AD＝4时，求ED的长． 【分析】（1）先由平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再由菱形的性质得到∠COB＝90°，故四边形OBEC是矩形； （2）证出△ABD为等边三角形，得BD＝AD＝AB＝2，则OD＝OB，由勾股定理求出OA，进而得出答案． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD， ∴BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OBEC为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC是矩形； （2）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AD＝AB＝4， ∴OD＝OB＝2， 在Rt△AOD中，AO2， ∴OC＝OA＝2， ∵四边形OBEC是矩形， ∴BE＝OC＝2， ∴ED2． 【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解； （2）由菱形的面积公式可求面积，利用面积法可求OG，即可求EF． 【解答】解：（1）四边形OEFG是矩形． 在菱形ABCD中，DO＝BO， 又∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，OE∥AB， ∴OE∥FG， 又∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形． ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∵四边形OEFG是矩形． （2）菱形的面积． ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴AB＝5． 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴EF＝OG，OG⊥AB． ∴， ∴， ∴OEAB5， 四边形OEFG的面积＝OE×OG6． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6．（2024春•琅琊区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）①对角线AC，BD满足　 　时，四边形DEBF是矩形； ②对角线AC，BD满足　 时，四边形DEBF是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，证出OE＝OF，那么两组对角线互相平分，得出四边形DEBF是平行四边形； （2）①由平行四边形对角线相等即可证明四边形ABCD是矩形；②由对角线互相垂直且平分即可证明． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵点E、F分别为OA、OC的中点， ∴，， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形． （2）解：①当AC＝2BD时，平行四边形DEBF是矩形；理由如下： ∵AC＝2BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴平行四边形DEBF是矩形； 故答案为：AC＝2BD． ②当AC⊥BD时，平行四边形DEBF是菱形；理由如下： ∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴BD⊥EF， ∴平行四边形DEBF是菱形， 故答案为：AC⊥BD． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定；解题的关键是注意掌握两组对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7．（2024春•靖西市期末）如图，在▱ABCD中，DB⊥CB． （1）延长CB到E，使BE＝CB，连接AE，求证：四边形AEBD是矩形； （2）若点F，G分别是AB，CD的中点，连接DF、BG，试判断四边形DFBG是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出AD＝BE，根据平行四边形的判定得出四边形AEBD是平行四边形，再证∠DBE＝90°，根据矩形的判定得出即可． （2）根据平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，求出BF＝DG，根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形，求出DF＝BF，根据菱形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝CB， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， 又∵DB⊥CB， ∴∠DBE＝90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）解：四边形DFBG是菱形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∵点F，G分别是AB，CD的中点， ∴BF，DG， ∴BF＝DG， ∴四边形DFBG是平行四边形， 由（1）可知，四边形AEBD是矩形， ∴∠ADB＝90°， ∵F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∴平行四边形DFBG是菱形． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$