精品解析：山东省淄博市临淄区2024-2025学年七年级（五四学制）上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 7个 3. 下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（ ） ①；②；③（k是常数）；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（ ）. A. 14 B. 18 C. 30 D. 24 6. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 9. 若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在中，，与相交下点F，连接并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 中医在我国有着悠久的历史，与京剧、武术、书法并称我国四大国粹．图是用来储存中药的中药柜，如果用表示储存在第三行、第四列的药物，那么储存在第五行、第二列的药物可表示为_____________． 12. 一个正方体的体积是，另一个大正方体的体积是这个正方体的4倍，则另一个大正方体的表面积为________． 13. 已知和关于x轴对称，则的值为______． 14. 如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的x至少为______． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，…，以此类推，的坐标为______． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）求x的值：； （2）计算：． 17. （1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 18. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上． （1）建立适当平面直角坐标系，使点A的坐标为(1，2)，点C的坐标为(4，3)，并写出B点的坐标； （2）在图中作出关于y轴对称的； （3）求面积． 19. 如图，已知点D，E是内两点，且． （1）请说明：； （2）延长交于点F，若，求的度数． 20. 如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 21. 一辆汽车从甲地开往乙地，在速度不变的情况下，汽车油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示． （1）求出余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式； （2）当这辆汽车到达乙地时，油箱中还剩余15升油，若汽车的速度是40千米/时，求甲、乙两地之间的路程． 22. 小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … （1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象判断y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式；如果不是，请说明理由； （2）请观察图表，当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为______； （3）小林的身高最合适的挎带长度为，妈妈送的斜挎包的挎带长度能满足小林的身高要求吗？如果能满足，调节挎带长度使单层部分的长度为多少？如果不能满足，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的图象是第一、三象限的角平分线． （1）实验与探究：由图观察易知关于直线l的对称点的坐标为，请在图中分别表明关于直线l的对称点的位置，并写出它们的坐标：______，______； （2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任何一点关于第一、第三象限的角平分线l的对称点的坐标为______； （3）类比与猜想：坐标平面内任一点关于第二、四象限的角平分线l的对称点的坐标为______； （4）运用与拓广：已知两点，试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使得的值最小，请求出Q点的坐标及的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了三角形的三边关系．设第三条边长为c，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三条边长为c， 由三边关系得：， 解得：， 所以整数c为5，6，7，8，9， 所以这组三角形最多有5个． 故选：C 3. 下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（ ） ①；②；③（k是常数）；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：，是正比例函数，故①正确； ，整理，得：，是正比例函数，故②正确； （k是常数），当时，不是正比例函数，故③错误； ，不是正比例函数，故④错误； 故选B． 4. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，垂直平分， ∴， 故选项A，B，C正确，不符合题意； 不一定平行，故选项D不一定正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（ ）. A. 14 B. 18 C. 30 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先利用勾股定理得，再根据可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理， 得． ∵分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 6. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的斜率判断函数的增减性． 对于正比例函数（为常数，），当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．先根据正比例函数的表达式确定其增减性，再根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系． 【详解】在函数中，，所以该函数随增大而增大． 已知，根据函数的增减性可得． 故选：A． 7. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据找到在哪两个和它接近的整数之间，进而找到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，估算一个数的算术平方根，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间． 8. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； B、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； C、如果，那么是直角三角形且，原结论错误，符合题意； D、如果，则：，故，故，那么是直角三角形，结论正确，不符合题意； 故选C． 9. 若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 故选:D． 10. 如图，在中，，与相交下点F，连接并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用等腰三角形的判定和性质及判定全等即可；③首先根据全等三角形的性质，可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质，可证得为等腰直角三角形，为的垂直平分线，即可得出结论；④利用③中结论，结合等量代换和等式的性质，即可得出结论；⑤利用②中的结论结合等量代换和等式的性质，即可得出结论． 【详解】解：设与交于点M，如图， ，， ， 故①正确； ，， 、都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ，故③正确； ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 是的平分线， ，， 即为的垂直平分线， ，故②正确； ， ，故④正确； ，，， ，故⑤正确． 故正确有5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，中垂线的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 中医在我国有着悠久的历史，与京剧、武术、书法并称我国四大国粹．图是用来储存中药的中药柜，如果用表示储存在第三行、第四列的药物，那么储存在第五行、第二列的药物可表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分析数对表示位置的方法是:第一个数字表示行，第二个数字表示列，由此即可解答.点评此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用，注意两个数字表示的意义不同. 【详解】解:表示储存在第三行、第四列的药物, 第一个数字表示行，第二个数字表示列, 储存在第五行、第二列的药物可表示为 12. 一个正方体的体积是，另一个大正方体的体积是这个正方体的4倍，则另一个大正方体的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解题的关键． 根据题意知大正方体的体积为64，则其棱长为体积的立方根，可求得表面积． 【详解】解：根据题意另一个大正方体的体积为， 另一个大正方体的棱长为：， 另一个正方体的表面积为：， 故答案为：． 13. 已知和关于x轴对称，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：1． 14. 如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的x至少为______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点C， 则由题意，可知：，， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：72． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，…，以此类推，的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知，点的横坐标为，的纵坐标为，进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴点的横坐标为，的纵坐标为， ∵， ∴的横坐标为2025，纵坐标为：，即：的坐标为； 故答案为：． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）求x的值：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查利用平方根解方程，实数的混合运算： （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）先进行开方，乘方和去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）， 整理得：， 两边开平方得：， 解得：； （2） ． 17. （1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】（1）16；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，进而求出的值； （2）根据非负性求出的值，绝对值的意义，求出的值，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）是的算术平方根，的立方根为， ， ， ． （2）， ， ， ， 或3， 当时，，则是直角三角形，周长为12， 当时，，则是等腰三角形，周长为10． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，非负性，勾股定理逆定理，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 18. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上． （1）建立适当的平面直角坐标系，使点A的坐标为(1，2)，点C的坐标为(4，3)，并写出B点的坐标； （2）在图中作出关于y轴对称的； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，即可写出点B的坐标； （2）找到关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求的三角形； （3）根据长方形减去三个三角形即可求解． 【小问1详解】 建立如下平面直角坐标系，则点的坐标为 【小问2详解】 找到关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求的三角形； 【小问3详解】 的面积 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称，数形结合是解题的关键． 19. 如图，已知点D，E是内两点，且． （1）请说明：； （2）延长交于点F，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，并通过角之间的关系求解． （1）根据已知条件，利用“边角边”“（SAS）”判定定理证明和全等； （2）先根据结合三角形内角和定理求出的度数，再利用全等三角形的性质得到，进而求出的度数． 【小问1详解】 ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 20. 如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】（1） （2）当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； 【小问2详解】 解：如图所示：过B作， 依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 21. 一辆汽车从甲地开往乙地，在速度不变的情况下，汽车油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示． （1）求出余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式； （2）当这辆汽车到达乙地时，油箱中还剩余15升油，若汽车的速度是40千米/时，求甲、乙两地之间的路程． 【答案】（1） （2）汽车行驶路程为：千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）中得到函数关系式，当时，求出对应的行驶时间t，再由“路程=速度×时间”计算甲、乙两地之间的路程即可． 【小问1详解】 设．依题意得 解之得：， ； 【小问2详解】 令，则， ， 汽车以每小时40千米的速度行驶， 汽车行驶路程为：千米． 22. 小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … （1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象判断y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式；如果不是，请说明理由； （2）请观察图表，当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为______； （3）小林的身高最合适的挎带长度为，妈妈送的斜挎包的挎带长度能满足小林的身高要求吗？如果能满足，调节挎带长度使单层部分的长度为多少？如果不能满足，请说明理由． 【答案】（1）画图见解析，是的一次函数，，验证见解析 （2）30 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线，根据图象的特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）将代入关于的函数表达式，解方程求出的值即可； （3）分别求出当时对应的值和当时对应的值，从而求出挎带长度的取值范围，根据是否在这个范围来判断挎带长度是否满足小林的身高要求；设调节挎带长度使单层部分的长度为，则双层部分的长度为，将它们分别代入关于的函数表达式并求出的值即可． 【小问1详解】 解：描点及函数图象如图所示： 图象是一条直线， 是的一次函数． 设关于的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当挎带的长度为时，单层部分的长度为． 将代入，得， 解得． 此时双层部分的长度为． 故答案为：30； 【小问3详解】 解：当斜挎包挎带全为双层时，则，此时挎带长度为； 当斜挎包挎带全为单层时，得，解得，此时挎带长度为； 挎带长度在之间， 小林的身高最合适的挎带长度为， 挎带长度满足小林的身高要求． 设调节挎带长度使单层部分的长度为，则双层部分的长度为， ， 解得， 调节挎带长度使单层部分的长度为． 故答案为：调节挎带长度使单层部分的长度为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的图象是第一、三象限的角平分线． （1）实验与探究：由图观察易知关于直线l的对称点的坐标为，请在图中分别表明关于直线l的对称点的位置，并写出它们的坐标：______，______； （2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任何一点关于第一、第三象限的角平分线l的对称点的坐标为______； （3）类比与猜想：坐标平面内任一点关于第二、四象限的角平分线l的对称点的坐标为______； （4）运用与拓广：已知两点，试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使得的值最小，请求出Q点的坐标及的最小值． 【答案】（1）图见解析， （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，结合网格特点画出，进而写出坐标即可； （2）根据三组点的坐标，得到规律进行作答即可； （3）分别作出关于第二、四象限的角平分线l的对称点，进而得到规律作答即可； （4）作点关于第一、三象限的角平分线的对称点，连接，与l的交点即为点，写出点的坐标，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：点如图所示， 由图可知：； 【小问2详解】 解：观察可知：坐标平面内任何一点关于第一、第三象限的角平分线l的对称点的坐标为； 【小问3详解】 解：作出关于第二、四象限的角平分线l的对称点，如图， 则：， ∵，， ∴坐标平面内任一点关于第二、四象限的角平分线l的对称点的坐标为； 【小问4详解】 解：作点关于第一、三象限的角平分线的对称点，连接， 则：， ∴当在线段上时，的值最小， 如图： 由图可知：，由勾股定理，得：； 即：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$