精品解析：山东省聊城市阳谷县三校联考2024-2025学年八年级下学期开学数学试题

八年级第一次水平调研数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 2. 小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店． A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，必须能够确定平行四边形的大小和形状，根据平行四边形的判定即可判断． 【详解】A、①②只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不符合题意； B、②④两块两个角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边延长线的交点就是平行四边形的顶点，所以能确定平行四边形的四个顶点，因而能确定其大小和形状，故符合题意； C、②③只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不符合题意； D、①③只能确定平行四边形的形状，无法确定两组对边的大小，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是理解确定一个平行四边形，既要考虑形状，又要考虑大小，两者同时确定了才可确定一个平行四边形． 3. 如图，的对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可证，，由此即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ） A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，结合DF∥EB，可得四边形DEBF是平行四边形； B、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形； C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，结合DF∥EB，可得四边形DEBF平行四边形； D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，结合DF∥EB，可得四边形DEBF是平行四边形； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5. 在四边形中，交于点 ，在下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，全等三角形的性质与判定等等，对于A、B可先证明四边形为矩形，再由矩形的判定定理判断即可；对于C可先证明两组对边平行，则四边形是平行四边形，再由对角线垂直只能证明是菱形，不能证明是矩形；对于D先证明，再证明得到，即可证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形． 【详解】解：A、，则由对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形为矩形，故次选项不符合题意； B、，则两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形为矩形，故次选项不符合题意； C、， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，此时不能证明四边形是矩形，故此选项符合题意； D、 如图所示： 在和中， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（ ）． A. ， B. ， C ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A选项，不能，一组对边平行，对角线相等，无法判断是什么四边形，故A选项错误； B选项，不能，只能判定为平行四边形，B选项错误； C选项，对角线相等而且平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故四边形可判定为正方形，C选项正确； D选项，不能，只能判定为菱形，D选项错误． 故选：C． 7. 如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，由菱形的性质可得 ，进而可得，即可得四边形是菱形，再根据正方形的判定可知要使菱形为正方形，只需证明或即可，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使菱形为正方形，只需证明或即可， 当时，， 故选：． 8. 顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（    ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 任意四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，即可解题． 【详解】解：如图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点， 根据中位线定理可得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 10. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出，再根据等角对等边的性质可得，然后利用平行四边形对边相等求出、的长度，再求出的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键． 12. 在四边形中，对角线相交于点O，在下列条件中，①②③④⑤能够判定四边形是平行四边形有 ___________（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据平行四边形的判定分别进行求证即可． 【详解】解：①添加条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故①正确； ②添加条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故②正确； ③添加条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形，故③不正确； ④添加条件， 则根据对角线相互平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故④正确； ⑤添加条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 13. 如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，，垂足分别为E，F，证明，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用勾股定理求出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可． 【详解】解：过点A作，，垂足分别为E，F，如下图： ∴ 由题意可得： ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵纸条的宽都为4cm ∴ 由勾股定理得： ∵ ∴四边形是平行四边形 在和中 ∴ ∴， ∴平行四边形为菱形 重叠部分（图中阴影部分）的面积 故答案为 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，巧作辅助线与证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 14. 如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，于点F，于点E，连结，则长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，利用正方形的性质证明与全等，得，再利用矩形的判定和性质得到，推导出得到的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和矩形的判定及性质，利用正方形的性质证明三角形全等，熟练掌握全等三角形性质和矩形的判定及其性质是解题的关键． 15. 如图，P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个矩形面积相等，解题的关键是证明两个矩形相等． 【详解】解：作于点M，交于点N，如图所示： ， 则四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：12． 16. 如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵是矩形， ∴ ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，在正方形的边的延长线上取一点，使，连接交于，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形的性质得到∠ACB=∠ACD=45°,由求出 ，则由求解即可. 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACE=180°－∠ACB=135°， ， ∴∠CAE=∠E=（180°－135°）÷2=22.5°， ∴∠AFC=180°－∠CAE－∠ACD=112.5°， 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，属于简单题． 18. 如图，在中，平分，，垂足为D，交于点F，E为的中点，连接，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到AD＝DF，AC=CF，然后利用三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵平分，， ∴AD=DF，AC=CF， ∴BF＝BC−CF＝BC−AC＝12， ∵E为的中点， ∴DE＝BF＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，对角线与交于点，作，，垂足分别为，． （1）指出图中所有的全等三角形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的综合问题． （1）根据平行四边形的性质根据全等三角形的判定方法以及性质一一证明即可得出答案． （2）由（1）得出由全等三角形的性质即可得出． 【小问1详解】 解：全等三角形有：，，，，，，． ∵是平行四边形， ∵，， ∴，，， 在和中， ， ∴， 同理：； ∴，， 在和中， ， ∴， 同理：； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 同理：，； 【小问2详解】 证明：由（1）得出． ． 20. 如图,在中,点、是对角线上两点,且. (1)求证:四边形是平行四边形. (2)若.,且,求的面积. 【答案】（1）证明见详解；（2）12 【解析】 【分析】（1）先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，即可得出结论． （2）由AE=CF，OE=OF，EF=2AE=2，得出AE=CF=OE=OF=1，AC=4，CE=3，证出△BCE是等腰直角三角形，得出BE=CE=3，得出▱ABCD的面积=2△ABC的面积=2××AC×BE，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）解：∵AE=CF，OE=OF，EF=2AE=2， ∴AE=CF=OE=OF=1， ∴AC=4，CE=3， ∵∠ACB=45°，BE⊥AC， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=CE=3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的面积=2△ABC的面积=2××AC×BE=4×3=12． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 21. 如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． （1）判定四边形的形状，并证明你的结论； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的判定，菱形的判定： （1）先根据，证明四边形是平行四边形．根据角平分线、平行线的性质得出，根据等角对等边得出，可证四边形是菱形． （2）有一个角是直角的菱形为正方形，由此可解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形． 又平分， ． 又， ， ， ． 四边形是菱形． 小问2详解】 解：当时，四边形是正方形． 理由：由（1）得四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 22. 如图，、是中的内、外角平分线，于，于，交的延长线于． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）与相等吗？为什么？ （3）当满足______时，四边形是一个正方形？并给出证明． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2），理由见解析 （3）为等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用矩形的判定方法得出，即可得出答案； （2）利用矩形的性质以及全等三角形的判定得出，进而得出答案； （3）利用等腰直角三角形的性质以及正方形的判定得出即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形； 理由：、是中的内、外角平分线， ， 于，于， ， 则， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：， 理由：连接 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； 【小问3详解】 解：为等腰直角三角形时，四边形是一个正方形， 理由：∵为等腰直角三角形时，，， 是斜边上的中线， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质以及正方形的判定和全等三角形的判定与性质，正确区分矩形与正方形的判定是解题关键． 23. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，，且平分，点E为边的中点，连接，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由直角三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ， ∵点E为边的中点， ， ， ， ， 即的度数为． 24. 综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． （1）如图1，若，则________； （2）回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． （3）方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线的定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质等知识点，熟读题意合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据中位线定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可； （3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵是的中位线， ∴ 【小问2详解】 解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，且 【小问3详解】 延长到点，使，连接，，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形． （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级第一次水平调研数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（    ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店． A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 3. 如图，对角线交于点O，的周长为，直线过点O，且与分别交于点，若，则的周长是（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 4. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ） A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB 5. 在四边形中，交于点 ，在下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ，， 7. 如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（    ） A. B. C D. 8. 顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（    ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 任意四边形 9. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是______． 12. 在四边形中，对角线相交于点O，在下列条件中，①②③④⑤能够判定四边形是平行四边形有 ___________（填序号）． 13. 如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm2． 14. 如图，已知点P是正方形对角线上一点，且，于点F，于点E，连结，则的长为________． 15. 如图，P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________． 17. 如图，在正方形边的延长线上取一点，使，连接交于，则的度数为______． 18. 如图，在中，平分，，垂足为D，交于点F，E为的中点，连接，，，则______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，对角线与交于点，作，，垂足分别为，． （1）指出图中所有的全等三角形； （2）求证：． 20. 如图,在中,点、是对角线上两点,且. (1)求证:四边形是平行四边形. (2)若.,且,求的面积. 21. 如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． （1）判定四边形的形状，并证明你的结论； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 22. 如图，、是中的内、外角平分线，于，于，交的延长线于． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）与相等吗？为什么？ （3）当满足______时，四边形是一个正方形？并给出证明． 23. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，，且平分，点E为边的中点，连接，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 24. 综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． （1）如图1，若，则________； （2）回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． （3）方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 25. 综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$