精品解析：四川省泸州市龙马潭区五校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期龙马潭区五校联考九年级期末质量检测试题 数 学 考试时间：120分钟；分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了关于原点成中心对称的点的坐标.关于原点成中心对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为， 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件 B. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了事件的分类，概率的定义，方差的意义，矩形的判定等知识点，直接利用相关概念分别分析得出答案． 【详解】解：A、“打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是随机事件，故此选项错误； B、天气预报“明天降水概率”，是指明天的可能性会下雨，故此选项错误； C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，方差越小越稳定，则甲的成绩更稳定，故此选项正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误． 故选：C． 4. 如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（　　） A. 85° B. 75° C. 70° D. 55° 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠CAB，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝35°， ∴∠CAB＝55°， ∴∠BDC＝∠CAB＝55°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论． 5. 已知的直径是，点O到同一平面内直线l的距离为，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】解： 设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d， ， ， ∴直线l与圆相离． 故选：D． 6. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 7. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】， ， 方程化为一般式为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A． 8. 如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果． 【详解】解：过点作，交于点， 是的外接圆，， ， 又，， ，， 在中，， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键． 9. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 10. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与二次函数图象的知识，识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 对于选项A、C，由结合a的正、负性，判断二次函数的图象的开口方向与直线应经过的象限，是否存在矛盾，由此即可作出判断； 对于选项B、D，由二次函数的图象的开口方向和对称轴得到a、b的正负性，判断此时直线是否与y轴的正半轴还是负半轴相交，由此即可作出判断． 【详解】解：A．由二次函数的图象可知，此时直线必经过二、四象限，故A可排除； B．由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，则，此时直线应经过二、三、四象限，故B满足题意； C．由二次函数的图象可知，此时直线必经过一、三象限，故C可排除； D．由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、二、三象限，选项D可排除． 故选：B． 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接AD，连接OE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC=∠DFA=90°， ∴∠DAC=∠CDF=15°， ∵AB=AC，D是BC中点， ∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=120°， 过O作OH⊥AE于H， ∵AO=4， ∴OH=AO=2， ∴AH=OH=6， ∴AE=2AH=12， ∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE= ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，系列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点，点在该函数图象上，则；（5）若，则，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴为可判断（1）；根据当时可判断（2）；由图象过点，知，即，从而得，再结合开口方向可判断（3）；根据二次函数的增减性可判断（4）；根据函数的最值可判断（5）． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴，即，故（1）正确； 由图象知，当时，， ∴，故（2）错误； ∵图象过点， ∴，即， ∴， ∵抛物线的开口向下， ∴， 则，故（3）正确； 由图象知抛物线的开口向下，对称轴为， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∴，故（4）错误； ∵当时函数取得最大值，且， ∴，即，故（5）错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，③常数项c决定抛物线与y轴交点，④抛物线与x轴交点个数是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 若，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的定义，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系及一元二次方程根的定义可得，，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】如图，交于点，连接 根据题意得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质． 16. 如图，⊙O的半径是2，弦AB=，点C为是优弧AB上一个动点，BD⊥BC交直线AC于点D，则△ABD的面积的最大值为___________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】连结OA，如图，∠AOB=120°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB=60°，由于BC⊥BD，所以∠D=30°，因为AB=，则要使△ABD的最大面积，点D到AB的距离要最大；当点D在⊙M上的优弧AB的中点时，点D到AB的距离最大，从而得到△ABD的最大面积． 【详解】解：连结OA，过点O作OE垂直AB，交AB与点E 已知⊙O的半径是2，弦AB=，BE⊥BC，根据垂径定理和勾股定理可得 OE=1，AE=，sin∠OAE= ∴∠OAE=∠OBE=30° （同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ∠ADB =30°，点D在以AB为弦的⊙M上运动， ∠BMA=60°， AB=MB=DM=MA=， 当点D在优弧AB的中点时，点D到AB的距离最大，从而得到△ABD的最大面积． 过点D作DN⊥AB于点N 故答案为． 【点睛】此题重点考察圆上的动点问题和学生对圆周角和圆心角综合知识的理解，熟练掌握圆的性质的应用是解题的关键． 三、解答题（每题6分，共18分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂和零指数幂的性质以及正确的去绝对值和化最简二次根式是解答本题的关键． 先计算负整数指数幂，零指数幂，去绝对值，化最简二次根式，再进行二次根式的混合加减运算即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】利用“”易证，即可得到． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握判定方法：①边边边:三边分别相等的两个三角形全等；②边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；③角边角：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；④角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；⑤斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 四、解答题（每题7分，共14分） 20. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，18，10 （2）162 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、n的值； （2）用乘B类人数的占比即可求解； （3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：(名)， ， ， 故答案为：40，18，10； 【小问2详解】 解：， 故答案为：162； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【答案】（1）双 （2）元 （3）每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 【小问1详解】 解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子． 【小问2详解】 设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． 【小问3详解】 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 五、解答题（每题8分，共16分） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在这样的实数k，k的值为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，再代入化简可得一个关于k的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：， 则， ， ， ， 当时，， 即， 因式分解得：， 解得或（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k，k的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，较难的是题（2），熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 23. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为，已知＝， （1）求，之间的距离； (保留根号) （2）如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．参考数据：， 【答案】（1） （2）这辆汽车超速 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）如图作于．则，求出、即可解决问题． （2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位． 【小问1详解】 解：如图作于． 则，在中， ， ， 在中，， ， ， ． 【小问2详解】 结论：这辆汽车超速． 理由：， 汽车速度， ， 这辆汽车超速． 六、解答题（每题12分，共24分） 24. 如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC． （1）求证：AC是的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长． 【答案】 （1）证明：∵AB=OA，OA=OB ∴AB=OA=OB ∴△AOB为等边三角形 ∴∠OAB=60°，∠OBA=60° ∵BC=OB ∴BC=AB ∴∠C=∠CAB 又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB ∴∠C=∠CAB=30° ∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90° ∴AC是⊙O的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论； （2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30°的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长． 【详解】（1）略 （2）∵OA=4 ∴OB=AB=BC=4 ∴OC=8 ∴AC=== ∵D、E分别为AC、OA的中点， ∴OE//BC，DC= 过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N 则四边形OMDN为矩形 ∴DN=OM 在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC= ∴OM= 连接OG，∵OM⊥GF ∴GF=2MG=2==2 【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积最大，最大面积是 （3）存在，的坐标为或或或 【解析】 【分析】用待定系数法可求得二次函数的表达式为； 过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，求得其最大面积； 由，得直线解析式为，设，，分三种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 将点，代入中， 得， 解这个方程组得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴于点，如图： 设面积为， 根据题意得：，． ， ， 在中，令得， ， ， ． ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是； 【小问3详解】 存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，又，， 当，是对角线，则，的中点重合， ， 解得与重合，舍去或， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得舍去或， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期龙马潭区五校联考九年级期末质量检测试题 数 学 考试时间：120分钟；分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件 B. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D. 对角线相等的四边形是矩形 4. 如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（　　） A. 85° B. 75° C. 70° D. 55° 5. 已知的直径是，点O到同一平面内直线l的距离为，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 6. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，系列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点，点在该函数图象上，则；（5）若，则，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 因式分解：______________． 14. 若，是方程的两个实数根，则______． 15. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 16. 如图，⊙O的半径是2，弦AB=，点C为是优弧AB上一个动点，BD⊥BC交直线AC于点D，则△ABD的面积的最大值为___________ ． 三、解答题（每题6分，共18分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，，，求证：． 四、解答题（每题7分，共14分） 20. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 五、解答题（每题8分，共16分） 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为，已知＝， （1）求，之间的距离； (保留根号) （2）如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．参考数据：， 六、解答题（每题12分，共24分） 24. 如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC． （1）求证：AC是的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长． 25. 如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $