精品解析：广东省茂名市七校联盟2024-2025学年高一下学期2月联考数学试题

2024—2025学年度茂名市七校联盟高一联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次不等式的解法求得，利用具体函数的定义求得，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 又，得到，所以，得到， 故选：A. 2. 命题：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： “”的否定是“”. 故选：B. 3. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间. 【详解】因为函数和函数在上都单调递增， 所以函数为增函数， 又，，，， 由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用正切差角公式，求得，再利用正切的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：B. 5. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 7. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找中间值，得到，，，即可求得结果. 【详解】因为，故； 因为，故；因为，故； 故 故选：D 8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若幂函数的图象经过点，则函数的图象恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A利用充要条件的推导关系判断；选项B利用正切的和差公式和均值不等式判断；选项C注意正负和取；选项D考查了幂函数求参数，以及对数函数的定点问题； 【详解】选项A：能推出，反之可以推出或，所以是的必要不充分条件，故A正确； 选项B：由可得，，所以，当且仅当时,等号成立，故B正确； 选项C：当或或时，不成立，故C错误； 选项D：经过点，代入，则，恒过定点，所以恒过定点，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知：， 所以也是的周期，故A错； 对于B，根据诱导公式可知： ， 所以的图象关于对称，故B对； 对于D，当时，， 所以在上单调递增，故D对； 对于C，如图 由，所以是偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，的最小正周期是， 所以时，， 所以，又的最小正周期是， 所以是一个周期，所以的值域为，故C对. 故选：BCD 11. 定义在上的函数，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法，根据奇偶性的定义判断A；举出反例判断B；求解判断C，D. 【详解】令，得， 令，得， 又，所以，所以是偶函数，故A对； 令， 令，得， ， 所以的图象不关于点对称，故B错，C对； 令，得， 令， 令， 同理可得， 所以，故D对； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式，由内向外求解即可； 【详解】， 所以， 故答案为： 13. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围________ 【答案】 【解析】 【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立； 当时，要想不等式对一切实数都成立，则满足： 且，解得 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知实数满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到，再由三角函数换元求解即可； 【详解】由， 可得：， 设， 可得：， 所以， 因为， 所以， 所以的取值范围是； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）2， （2）1 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解； （2）由诱导公式及同角商的关系即可求解； 【小问1详解】 因为角的终边经过点．由三角函数定义知 ，． ∴．∴． 【小问2详解】 由诱导公式得 16. 已知函数． （1）若的解集为，求实数的值； （2）若在上具有单调性，求实数的取值范围； （3）当时，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据的解集得到方程的两根，然后利用韦达定理计算； （2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可； （3）将恒成立转化为恒成立，然后利用单调性的定义判断单调性求最值即可. 【小问1详解】 ∵的解集为． ∴是方程两根． ∴，． 【小问2详解】 的对称轴方程为． ∵在上具有单调性． ∴， ∴或． ∴实数的取值范围为． 【小问3详解】 ， ∴， 设，任取，且． 当时，，∴， 当时，，∴． ∴在上单调递减，在上单调递增， 且．所以当时，， 所以，即取值范围为． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最小值； （3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的单调性，结合函数图象即可求解； （2）根据对数的运算可得，即可利用基本不等式求解； （3）利用换元法，将问题转化为，有两个正的实数根，即可由一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 ， 由于在上单调递增， 所以的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， ，即， ∴，∴，∴， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【小问3详解】 有四个不等实根，即有四个不等实根， 设，得， 只需方程有两个不等正实根， ，解得， ∴的取值范围为． 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值； （3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】1）利用倍角公式及正弦的和角公式得到，把看成一整体，利用的性质，得，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系求出，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解； （3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，得到， 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，则， 又，所以， 又，所以， 则， 又，． 【小问3详解】 当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且， 则在区间上的图象如图所示， 又直线与图象有三个交点．则， 不妨设三个交点为，且，则， 又易知，所以， 所以的取值范围为． 19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…） （1）解方程； （2）求不等式的解集； （3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 分析】（1）解指数方程即可； （2）说明函数的奇偶性和单调性，再解不等式； （3）分别求出的,最值，构造不等式即可求解． 【小问1详解】 即，， 设得， ∴解得或（舍去）， ∴，∴． 【小问2详解】 ∵，∴为偶函数， 任取，， ∵，∴，， ∴， ∴即在上单调递增， 又是偶函数，∴在上单调递减， 即， ∴即，解得， ∴不等式的集体为． 【小问3详解】 ， 只需， 设， 由的单调性可知在上单调递减， ∴， （当时取等号）， ∴即．∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度茂名市七校联盟高一联考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 7. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是必要不充分条件 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若幂函数的图象经过点，则函数的图象恒过定点 10. 已知，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 的值域为 D. 在上单调递增 11. 定义在上的函数，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围________ 14. 已知实数满足，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点． （1）求和的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）若的解集为，求实数的值； （2）若在上具有单调性，求实数的取值范围； （3）当时，对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求最小值； （3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 18 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值； （3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围． 19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…） （1）解方程； （2）求不等式的解集； （3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$