精品解析：辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学习质量抽测八年级数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 长方形 D. 平行四边形 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是高，添加下列条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的周长为18，且一边长为4，则腰长为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 4或7 8. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线分别交于点D，E，连接．若，的周长为13，则的周长为（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 29 10. 若成立，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 12. 分式有意义，则的取值范围是_____． 13. 如图，，，，则_____． 14. 计算：_____． 15. 如图，为等边三角形，，为的角平分线，点E，F分别为线段，上的动点．当最小时，则的长为_____．（用含的式子表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 18. 计算： （1） （2） 19. （1）计算：； （2）解分式方程：． 20. 【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 21. 2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦． （1）现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？ （2）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了． ①哪种小麦的单位面积产量高？ ②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）； （3）一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？ 22. 是等边三角形，点为射线上一点，连接，，． （1）如图1，过点作交边于点，求证：； （2）如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求证：； （3）当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，请直接写出_____（用含的代数式表示）． 23. 在平面直角坐标系中，一个三角形有顶点在坐标轴上． （1）如图1，的顶点在原点上，，，过点作轴于点，过点作轴于点． ①若点坐标为，求点的坐标； ②若点坐标为，请直接写出点的坐标_____（用含a，b的代数式表示）； （2）如图2，的顶点在原点上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，与的延长线交于点，连接．猜想与的关系，并证明； （3）如图3，点在轴正半轴上，坐标为，点在轴负半轴上，坐标为，若，且，请直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学习质量抽测八年级数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 2. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 长方形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性、四边形的不稳定性，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、正方形，不具有稳定性，不符合题意； B、等腰直角三角形，具有稳定性，符合题意； C、长方形，不具有稳定性，不符合题意； D、平行四边形，不具有稳定性，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的知识点，正确的进行判断． 根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除的知识点逐一判断，即可得解． 【详解】解：A、，幂的乘方，底数不变，指数相乘，故A错误； B、，积的乘方等于各因式乘方的积，故B错误； C、，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故C正确； D、，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故D错误； 故选：C． 4. 若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵点，点B与点A关于y轴对称， ∴点B的坐标为：． 故选：C． 5. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简、最简分式，要想化简分式，先把分子分母分别因式分解，把分子分母的公因式消掉即可；解决此题的关键是会正确的分解因式． 【详解】解：，不是最简分式，故选项A不符合题意； 是最简分式，故选项B符合题意； ，不是最简分式，故选项C不符合题意； ，不是最简分式，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，是高，添加下列条件后，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理(，， ，)，逐项判断即可． 【详解】解：在中，是高， ， 在和中，，， 添加后，根据可判定，故A选项不合题意； 添加后，根据可判定，故B选项不合题意； 添加后，根据可判定，故C选项不合题意； 添加后，不能判定，故D选项符合题意； 故选D． 7. 已知等腰三角形的周长为18，且一边长为4，则腰长为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 4或7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，分两种情况：边长为4的边是腰，边长为4的边是底，求出各边长度后利用三角形三边关系判断即可． 【详解】解：分两种情况： 边长为4的边是腰时，底长为：， 三条边长分别为4，4，10， ， 不符合三角形三边关系，这种情况不存在； 边长为4的边是底时，腰长为：， 三条边长分别为4，7，7，符合三角形三边关系； 综上可知，腰长为7． 故选B． 8. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据概念进行判断即可． 【详解】解：A．是整式除法，不是因式分解，故不合题意； B．是整式乘法，不是因式分解，故不合题意； C．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不合题意； D．是因式分解，故符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线分别交于点D，E，连接．若，的周长为13，则的周长为（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：根据作图知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：C． 10. 若成立，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义则分母不能为． 根据分式有意义的条件得出，计算即可得到答案． 【详解】解：分式有意义， ， 故答案为： ． 13. 如图，，，，则_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由三角形外角的性质与，即可求得，进而即可求得的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 14. 计算：_____． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质和，计算即可得到结果。 【详解】解： ， ， ， 故答案为： 15. 如图，为等边三角形，，为的角平分线，点E，F分别为线段，上的动点．当最小时，则的长为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先根据等边三角形的性质可得，垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当点共线，且时，的值最小，然后根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵为的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短、垂线段最短可知，当点共线，且时，的值最小， ∴此时， 即当最小时，的长为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先计算乘方和除法，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【答案】 证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【解析】 【分析】根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了1．全等三角形的判定和性质；2．平行线的判定． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再进行加减运算，即可作答． （2）先运算乘除，再根据二次根式的性质进行化简，再进行加减运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）2；（2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，解分式方程等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的，再进行乘除运算即可得解； （2）先去分母化为整式方程，然后解方程，最后进行检验即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 不是原分式方程的解， 原分式方程无解． 20. 【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，； （2），，，； （3），证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 略 21. 2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦． （1）现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？ （2）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了． ①哪种小麦的单位面积产量高？ ②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）； （3）一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？ 【答案】（1）A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦 （2）①“丰收2号”小麦的单位面积产量高；② （3）这台收割机每小时收割小麦 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式． （1）设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦，根据题意列分式方程，解方程并检验可得答案； （2）①分别求出“丰收1号”和“丰收2号”单位面积产量，再用作差法来比较大小，即可得出结论； ②用高的单位面积产量除低的单位面积产量，化简即可得出答案； （3）设这台收割机每小时收割小麦，根据“用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用”列分式方程，解方程并检验可得答案． 【小问1详解】 解：设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦， 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 原分式方程的解为， A型播种机每小时种植， 答：A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦； 【小问2详解】 解：①“丰收1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， “丰收2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， ， ，． ． ． ． “丰收2号”小麦的单位面积产量高； ②∵， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； 故答案为：； 【小问3详解】 解：设这台收割机每小时收割小麦， ， 解得， 检验：当时，． 原分式方程的解为． 答：这台收割机每小时收割小麦． 22. 是等边三角形，点为射线上一点，连接，，． （1）如图1，过点作交边于点，求证：； （2）如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求证：； （3）当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，请直接写出_____（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 证明：过点E作交边的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论； （2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，由等腰三角形三线合一的性质可得结论； （3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点作．交射线于F，证明和，即可解答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 设，则， 如图3，过点E作，交射线于F， 同理得：， ∴， ， 同理得：， ∴， ∴． 如图4，过点E作，交于F， 同理得： ， ∴，， 同理得：， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，一个三角形有顶点在坐标轴上． （1）如图1，的顶点在原点上，，，过点作轴于点，过点作轴于点． ①若点坐标为，求点的坐标； ②若点坐标为，请直接写出点的坐标_____（用含a，b的代数式表示）； （2）如图2，的顶点在原点上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，与的延长线交于点，连接．猜想与的关系，并证明； （3）如图3，点在轴正半轴上，坐标为，点在轴负半轴上，坐标为，若，且，请直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；② （2） ，理由如下： 连接，过点作轴于点L，交的延长线于，延长，交于点， ∵点坐标为，点坐标为， ∴轴，轴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点坐标为 ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵点坐标为，点坐标为 ∴ ∴ ∴， 又是等腰直角三角形， ∴ （3）或 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，进而得到，根据全等三角形的性质和题意即可解决问题； （2）如图，连接，过点作轴于点L，交的延长线于，延长，交于点，可得，得为等腰直角三角形，因为为直角三角形，可证，即可得到答案． （3）由上面的思路可知作如图辅助线，可得三角形全等，计算出相应边长即可解决问题． 【小问1详解】 解：①∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴ ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴点的坐标为， ②由①同理可证， ∵点坐标为， ∴ ∴点的坐标． 故答案为：①；②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分两种情况： 解： ①当点在第四象限时，如图3，过点作轴于，过点作于点， 由（1）同理易得：， ∴ ∵点在轴正半轴上，坐标为，点在轴负半轴上，坐标为 ∴， ∵ ∴ ∴点的坐标为； ②点在第三象限，同理可得点的坐标为 综上可得：点的坐标为或； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合题，运用了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形的性质等知识点，解决此题的关键是会运用类比的方法作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $