精品解析：河南省漯河市召陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度九年级上期期末学业质量评估 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分． 2.本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器，本试卷分试题卷和答题卡两部分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，春节即将到来，家家户户贴窗花，欢天喜地迎新年．下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 4. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离和其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为，则撬动这块大石头至少需要的动力是（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（ ） A. B. C. D. 8. 随着节假日的到来，漯河繁城牛肉的销售量随之增长，某店原来每月销售500盒，经过两次增长月销售量达到2000盒，两次增长的百分率相同，设这个增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如一次函数与反比例函数 图像如图所示，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式______________． 12. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，．，则的长为________． 13. 如图，随机闭合开关、、中的两个，则只能让灯泡发光的概率为_____． 14. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为_______． 15. 抛物线的顶点坐标为． （1）______： （2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，（方形网格中每个小正方形的边长都是个单位长度）． （1）画出关于原点对称； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为； （3）绕点逆时针旋转后得到，写出点的对应点的坐标为______． 18. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 19. 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支； （2）若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值． 下面是几位同学解决问题（2）时的讨论： 小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可好像方程组不会解…… 小胜：可以用图象法！ 小王：也可以把通分，结合函数表达式求解． 请你选择一种合适的方法解决上面问题． 20. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若的面积为，，求的长． 21. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． （1）第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ （2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 22. 跳绳是一项促进学生体质健康发展的运动，可以发展学生的速度耐力、协调性、灵敏性等身体素质，如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解析式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线函数表达式； （2）身高为1.63米的小梦也想参加这个活动，她在距离甲1m的地方跳绳，请问她在跳绳时，头顶会碰到绳子吗？如果会碰到她至少需要向乙移动距离为多少米才不会碰到绳子？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态） 23. 四边形和四边形有公共顶点，连接和． （1）如图，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点旋转角时，和的数量关系是____，位置关系是____； （2）如图，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图，图，在（）的条件下，若，，矩形绕点逆时针旋转角，当时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级上期期末学业质量评估 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分． 2.本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器，本试卷分试题卷和答题卡两部分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，春节即将到来，家家户户贴窗花，欢天喜地迎新年．下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意 C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 春风吹又生 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、必然事件、随机事件．不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A选项：手可摘星辰是不可能事件，故A选项符合题意； B选项：春风吹又生是必然事件，故B选项不符合题意； C选项：举头望明月是随机事件，故C选项不符合题意； D选项：鱼戏莲叶东是随机事件，故D选项不符合题意． 故选：A ． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 4. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接， 则与刻度尺下边缘垂直， ∵刻度尺上下边缘平行， ∴， ∴， 设， 刻度尺的宽为， 即 则， 在中，， 即， 解得． 故选：B． 5. 公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离和其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为，则撬动这块大石头至少需要的动力是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型． 根据“阻力阻力臂动力动力臂”，代入数据即可解答． 【详解】解：“阻力阻力臂动力动力臂”， 阻力和阻力臂分别为和，动力臂为， ， 动力为， 因此，撬动这块大石头至少需要的动力是， 故选：B． 6. 对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的新定义运算，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法是解题的关键．先利用实数的新定义运算化简，再利用一元二次方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 整理，得：， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键． 设树所在线段为，过点作于点，根据“同一时刻物高与影长成正比例”可得，由此即可求出的长，然后根据即可求出树高． 【详解】解：如图，设树所在线段为，过点作于点， 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， ， ， 故选：． 8. 随着节假日的到来，漯河繁城牛肉的销售量随之增长，某店原来每月销售500盒，经过两次增长月销售量达到2000盒，两次增长的百分率相同，设这个增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，根据增长率的等量关系列出方程是解答的关键．根据题意，利用原来每月销售500盒销售量达到2000盒建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 9. 如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=-，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴-＞0， ∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧； ∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限， ∴c＞0， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 10. 如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形、菱形的性质，分别求出、的长，再由每旋转次后，菱形回到原位置，可知第次旋转后点在轴正半轴，即可求点坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 每次旋转次后，菱形回到原位置， ， 菱形旋转次后，点关于原点对称， 点在直线上， 第次旋转后点在轴正半轴， ， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直线上点的坐标特征等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的性质，选择不同的函数类型性质不一样，答案也不一样． 【详解】解：答案不唯一，如等， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，．，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC−BD=AB−3； ∴∠BAD+∠ADB=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE； ∴=， 即=， 解得AB=9. 故答案为9. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质. 13. 如图，随机闭合开关、、中的两个，则只能让灯泡发光的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法，概率公式，弄清题中的电路图是解答本题的关键． 画出树状图得到共有的等可能的情况数，再找出符合要求的情况数，根据概率公式即可求解． 【详解】解：画树状图，如图所示： 共有种等可能的情况数，其中能让灯泡发光的有种， 则只能让灯泡发光的概率为， 故答案为：． 14. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，设，利用弧长公式求解即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设， 由题意可得：， ∴， ∴的长， 故答案为：． 15. 抛物线的顶点坐标为． （1）______： （2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解． 本题考查二次函数的图象性质，解题的关键是根据题意作出图象，根据二次函数的图象与现在求解． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线． ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴． 则． 故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的解析式为， 平移后抛物线解析式为， 如图，当直线与抛物线交点在x轴上方，直线与抛物线交点在x轴上或x轴下方满足题意． 即， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）移项，运用提公式分解因式法解一元二次方程，即可求解； （2）移项，运用配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：移项，得， 整理，得． 因式分解，得． 由此可得或． 解得，． 【小问2详解】 移项，得． 配方，得， ∴． 由此可得． 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，（方形网格中每个小正方形的边长都是个单位长度）． （1）画出关于原点对称的； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为； （3）绕点逆时针旋转后得到，写出点的对应点的坐标为______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形、位似图形、图形的旋转，解决本题的关键是按要求作出三角形的顶点的对应点，再连接对应点即可得到要求的图形． 分别作点、、关于原点的对称点、、，连接点、、，得到； 延长到使，延长到使，连接、、得到； 分别作点、、绕原点逆时针旋转的对称点、、，连接点、、，得到，借助网格线即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别作点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求： 小问2详解】 解：如下图所示， 延长到使， 延长到使， 连接、、得到， 即所求， 【小问3详解】 解：如下图所示， 分别作点、、绕原点逆时针旋转的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 借助网格线可知点的坐标为， 故答案为：． 18. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1）所有可能出现的结果共6种：，，，，， （2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果． （1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，． 【小问2详解】 解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等， ∴． 19. 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支； （2）若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值． 下面是几位同学解决问题（2）时的讨论： 小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解…… 小胜：可以用图象法！ 小王：也可以把通分，结合函数表达式求解． 请你选择一种合适的方法解决上面问题． 【答案】（1） ，图象见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，作反比例函数图象，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用待定系数法直接求出k值，写出关系式即可，反比例函数图象的另一支关于原点成中心对称作图即可； （2）小平的解法：把两个函数表达式联立求交点坐标，可得，由此可得，，即可得解； 小胜的解法：可以用图象法，找出一次函数和反比例函数的图象的交点坐标为，由此可得，，即可得解； 小王的解法：利用点在函数图象上得，点在函数图象上得，再根据即可求解． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数表达式为，另一支图象如图所示： ； 【小问2详解】 解： 小平的解法：联立， 得， ， ， 解得，， ∴，， ∵P点在第一象限， ∴， ∴，， ∴； 小胜的解法：如图，在同一直角坐标线中作出一次函数和反比例函数的图象． 由图知两个函数图象在第一象限的交点坐标为， ∴，， ∴； 小王的解法： 点在反比例函数图象上， ， 点在函数图象上， ， ． 20. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由可得，由得到，可得，推出，结合，即可求证； （2）在中，根据三角形的面积公式求出，再由勾股定理求得，最后根据，即可求解； 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， 面积为，， ， , ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质，勾股定理及平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 21 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． （1）第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ （2）第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 【答案】（1）个 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等式以及一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过元”列出一元一次不等式，解之即可求解； （2）根据“第二批头盔的销售利润为元”列出一元二次方程，解之即可求解． 【小问1详解】 解：设第一次购进款头盔个，则购进款头盔个， 根据题意，得：， 解得， 答：款头盔至少购进个； 【小问2详解】 解：根据题意，可得， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为． 22. 跳绳是一项促进学生体质健康发展的运动，可以发展学生的速度耐力、协调性、灵敏性等身体素质，如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解析式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）身高为1.63米的小梦也想参加这个活动，她在距离甲1m的地方跳绳，请问她在跳绳时，头顶会碰到绳子吗？如果会碰到她至少需要向乙移动距离为多少米才不会碰到绳子？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态） 【答案】（1） （2）会碰到，米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，与小梦的身高比较即可得出结论，令，求出的值，进一步求出小梦的移动距离即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数表达式为， 由题意可知和都在该抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，，， ∴小梦头顶会碰到绳子； 令， 解得， ∴她至少需要向乙移动距离为米才不会碰到绳子． 23. 四边形和四边形有公共顶点，连接和． （1）如图，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点旋转角时，和的数量关系是____，位置关系是____； （2）如图，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图，图，在（）的条件下，若，，矩形绕点逆时针旋转角，当时，求出线段的长． 【答案】（1），； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（）延长交于，交于，利用证明得，，从而证明结论； （）延长交于，交于点，证明得，，从而证明结论； （）当在上方时，作于，由（），通过三角函数得出，则有，利用含角的直角三角形的性质得，，，在中，利用勾股定理求出的长，再根据可得答案，当在下方时，同理可得答案． 【小问1详解】 解：延长交于，交于， ∵四边形和是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 延长交于，交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在上方时，作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由（）知，， 当在下方时，作，交延长线于， 同理可得，， 由勾股定理得， 由（）知，， 综上：或． 【点睛】此题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨论思想等，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $