精品解析：四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度绵阳市梓潼县八年级期末教育教学质量监测 （数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限，此题得解． 【详解】解：，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． ∵点P在一次函数的图象上， ∴点P一定不在第四象限． 故选：D． 2. 荸荠口感脆甜，营养丰富，黄岩院桥素有“店头荸荠三根葱”的美誉．某校兴趣小组对株荸荠的叶状茎生长度进行测量、记录，统计如下表： 株数（株） 叶状茎长度（cm） 这批荸荠叶状茎长度的众数为( ) A. 45.6 B. 46.5 C. 46.9 D. 47.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义即可求解，众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：在这组数据中，出现次，次数最多， ∴这批荸荠叶状茎长度的众数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键． 3. 对于直线的描述正确的是（　　） A. 与y轴的交点是 B. 图象不经过第二象限 C. 图象经过点 D. 它的图象可由直线向右平移得到 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键． 分别根据一次函数的图象与性质以及平移的性质行解答即可． 【详解】解：A、当时，，所以函数的图象与轴的交点坐标是，故A选项正确，符合题意； B、函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故B选项错误，不符合题意； C、当时，，即图象不经过点，故C选项错误，不符合题意； D、直线的图象可由直线向左平移得到，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 若下列左边的式子有意义，则运算正确的是（　　） A. ＝a B. ＝× C. （）2＝a D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及乘除法法则逐项计算可判定求解． 【详解】解：A、(a≥0)，故不符合题意； B、× (a≥0，b≥0)，故不符合题意； C、()2，故符合题意； D、 (b≥0，a＞0)，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除，灵活运用二次根式的性质与乘除法法则是解题的关键． 5. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 5，12，13 B. 9，40，41 C. 0.5，1.2，1.3 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、52+122=132，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、92+402=412，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、0.52+1.22=1.32，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 6. 已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 7. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，数形结合逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意； B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意； C、小车前3小时共行驶，故小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时，选项正确，不符合题意； D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在□ABCD中，对角线 AC、BD 相交成的锐角α=30°，若 AC=8，BD=6，则□ABCD的面积是( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点D作DE⊥AC于E点，设AC与BD相交于O点，首先根据平行四边形性质得出DO=3，然后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，由此得出△ACD的面积，最后进一步通过证明△ADC≅△CBA得出△CBA的面积=△ADC的面积，从而即可得出答案. 【详解】 如图，过点D作DE⊥AC于E点，设AC与BD相交于O点， ∵在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=6， ∴DO=， ∵∠α=30°，DE⊥AC， ∴DE=， ∴△ACD的面积=， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB，AD=BC， 在△ADC与△CBA中， ∵AD=CB，CD=AB，AC=CA， ∴△ADC≅△CBA（SSS）， ∴△CBA的面积=△ADC的面积=6， ∴该平行四边形的面积=△CBA的面积+△ADC的面积=12， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质与直角三角形性质和全等三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 9. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 10. 两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据割补法求面积的方法即可判断. 【详解】依题意S梯形== 化简得=， 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理的验证，解题的关键是熟知梯形的面积求法. 11. 从某市5000名初一学生中，随机抽取200名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 12. 如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ） A. 18 B. C. D. 14.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积． 【详解】解：作CF⊥ED于点F，如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠CDA＝90°， ∴∠ADE+∠FDC＝90°， ∵CF⊥DE，CD＝CE， ∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°， ∴∠FDC+∠DCF＝90°， ∴∠ADE＝∠DCF， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF， ∴DF＝CF， ∵∠CFD＝90°，CD＝6， ∴DF2+CF2＝CD2， 即DF2+（2DF）2＝62， 解得DF2＝7.2， ∴S△CDE＝ ＝2DF2＝2×7.2＝14.4， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值． 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 14. 如图是某地6月上旬日平均气温统计图，这些气温数据的众数是_______，中位数是_______，平均数是_______． 【答案】 ①. 24 ②. 24 ③. 24 【解析】 【分析】本题考查的是众数、中位数和平均数的定义，需要熟练掌握众数、中位数和平均数的计算公式．根据众数，中位数和平均数的定义即可得出答案． 【详解】从小到大排列表中数据为：22，22，23，24，24，24，24，25，26，26，数据24出现了四次最多为众数；24和24处在第5位和第6位，其平均数24为中位数；平均数为．所以本题这组数据的中位数是24，众数是24，平均数是24． 故答案为：24，24，24 15. 已知直线向下平移2个单位后经过点，则的值为_________________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律，先求出平移后的直线表达式，再代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入得：， 解得：， 故答案为：1． 16. 如图，在菱形中，轴，且，，则点A的坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，然后根据轴即可得． 【详解】解：，， ， 四边形是菱形， ， 又轴， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、菱形的性质、坐标与图形，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． 17. 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x， ∵AB =10， ∴ BC =7x -10， 又 ∵∠A =90°， ∴BC2= AC2 + AB2， ∴(7x -10)2=(3x)2+102， 故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 18. 如图，在等腰三角形中，，D为边上中点，过D点作交于E，交于F，若，则的长为_________________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，证明和全等，从而得出面积相等，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论， 【详解】解∶连接 ∵在等腰三角形中，，D为边上中点， ∴，，，， ∵ ∴， ∴ 在和中 ∴≌ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键． 三．解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3；（2）2 【解析】 【分析】（1）先算乘方和开方，再算加减法； （2）先化简，将括号展开，再算乘除法，最后算加减法． 【详解】解：（1） = =3； （2） = = =2 【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． 20. 每一年的中考体育测试有一个项目是排球垫球，九年级学生赵明和何亮为了训练排球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数成绩： 赵明：25 23 27 29 21 何亮：24 25 23 26 27 试求出两位同学在训练中排球垫球的平均数；他们两位同学谁的成绩更稳定？为什么？ 【答案】解：赵明的平均数为25个，何亮的平均数为25个， 何亮的成绩更稳定，理由如下： ∵＝×（25+23+27+29+21）＝25（个），＝×（24+25+23+26+27）＝25（个）， ∴＝×[（25﹣25）2+（23﹣25）2+（27﹣25）2+（29﹣25）2+（21﹣25）2]＝8， ＝×[（24﹣25）2+（25﹣25）2+（23﹣25）2+（26﹣25）2+（27﹣25）2]＝2， 从方差来看，＞，何亮的成绩更稳定． 【解析】 【分析】根据方差的公式计算出赵明、何亮的方差，再利用方差的意义即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算和方差的意义，解题关键是熟记平均数和方差计算公式，准确进行计算；明确方差的意义，正确进行判断． 21. 如图，在△中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点D是AC的中点， ∴AD=DC， ∵， ∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED， 在△AFD和△CED中， ∵∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，AD=CD， ∴△AFD≌△CED（AAS）， ∴AF=EC， ∵， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明△AFD≌△CED（AAS），可得AF=EC，则四边形AECF是平行四边形，再由EFLAC，即可得出结论； （2）证明∠ACB=∠FAC=30°，再根据直角三角形的性质，可得BC，再由勾股定理，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴∠ACB=∠FAC=30°， ∵CA⊥AB， ∴∠BAC=90°， ∵AB=2， ∴BC=2AB=4， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%出售． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x＞10）的关系式，它们都是正比例函数吗？ 【答案】（1）买20个练习本，到甲商店或乙商店均可； （2）在甲商店购买y甲=1×10+1×(x-10)×70%=x+3 (x>10) 不是正比例函数， 在乙商店购买y乙=1×85%x=x (x>10) 是正比例函数． 【解析】 【分析】（1）根据两商店的优惠条件分别求出购买的金额，比较即可得到答案； （2）分别列函数关系式即可判断． 【详解】解：（1）在甲商店购买需1×10+1×(20-10)×70%=10+7=17(元)， 在乙商店购买需1×20×85%=17(元)， 17元=17元，故买20个练习本，到甲商店或乙商店均可； （2） 略 【点睛】此题考查有理数混合运算的实际应用，正比例函数的实际应用，正确理解题意列得关系式是解题的关键． 23. 如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点． （1）求点的坐标； （2）求折痕所在直线的解析式． 【答案】（1）点坐标为（16，0） （2） 【解析】 【分析】（1）折叠的性质得到CB′=CB=10，B′M=BM，在Rt△OCB′中，利用勾股定理易得OB′=8，即可得到B′点的坐标； （2）设AM=t，则BM=B′M=6-t，而AB′=OA-OB′=2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可． 【小问1详解】 解：如图： ∵OABC是矩形纸片， ∴OA=BC=20 OC=AB=12, ∵△CBM沿CM翻折后得到△CM ∴C=CB=20 ∵△OC是直角三角形 ∴O= ∵点在轴上，则点坐标为（16，0） 【小问2详解】 解：设，则 ∵OA=20 O16 ∴ ∵△CBM沿CM翻折后得到△CM ∴ 在Rt△A 中 ∴M点坐标为（20， ） 又C点坐标为（0，12 ） 设过C、M两点的直线CM的解析式为()，则： ∴； ∴直线CM的解析式为； 【点睛】本题考查了利用待定系数法求直线的解析式的方法：先设直线的解析式为y=kx+b，然后把已知两点的坐标代入求出k，b即可．也考查了折叠的性质以及勾股定理． 24. 【操作与发现】 如图①，在正方形中，点N，M分别在边上．连接、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而可得：． （1）【实践探究】在图①条件下，若，则正方形的边长是 ． （2）如图②，在正方形中，点M、N分别在边上，连接、．，，若，求证：M是的中点． （3）【拓展】如图③，在矩形中，点M、N分别在边上，连接，已知，，则的长是 ． 【答案】（1）12 （2） 证明：设， 由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， ， ， 即M是的中点； （3）8 【解析】 【分析】（1）先证，由勾股定理求出，设边长为，得到关于的方程求解即可； （2）设，根据锐角三角函数的定义，由勾股定理得出方程即可求解； （3）延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于E，连接，证明是正方形，根据勾股定理得出方程即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， 由旋转的性质得：， ， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 则， 设正方形的边长为x，则， ， 解得：， 即正方形的边长是12； 故答案为：12； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于E，连接，如图③所示： 则四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长是8； 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度绵阳市梓潼县八年级期末教育教学质量监测 （数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 荸荠口感脆甜，营养丰富，黄岩院桥素有“店头荸荠三根葱”的美誉．某校兴趣小组对株荸荠的叶状茎生长度进行测量、记录，统计如下表： 株数（株） 叶状茎长度（cm） 这批荸荠叶状茎长度的众数为( ) A. 45.6 B. 46.5 C. 46.9 D. 47.8 3. 对于直线的描述正确的是（　　） A. 与y轴的交点是 B. 图象不经过第二象限 C. 图象经过点 D. 它的图象可由直线向右平移得到 4. 若下列左边的式子有意义，则运算正确的是（　　） A. ＝a B. ＝× C. （）2＝a D. ＝ 5. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 5，12，13 B. 9，40，41 C. 0.5，1.2，1.3 D. 2，3，4 6. 已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 7. 在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A. 小汽车共行驶 B. 小汽车中途停留 C. 小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D. 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 8. 如图，在□ABCD中，对角线 AC、BD 相交成的锐角α=30°，若 AC=8，BD=6，则□ABCD的面积是( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ） A. B. C. D. 11. 从某市5000名初一学生中，随机抽取200名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 12. 如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ） A. 18 B. C. D. 14.4 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 有意义，则x的取值范围为______． 14. 如图是某地6月上旬日平均气温统计图，这些气温数据的众数是_______，中位数是_______，平均数是_______． 15. 已知直线向下平移2个单位后经过点，则的值为_________________． 16. 如图，在菱形中，轴，且，，则点A的坐标为 ___________． 17. 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______． 18. 如图，在等腰三角形中，，D为边上中点，过D点作交于E，交于F，若，则的长为_________________． 三．解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） 20. 每一年的中考体育测试有一个项目是排球垫球，九年级学生赵明和何亮为了训练排球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数成绩： 赵明：25 23 27 29 21 何亮：24 25 23 26 27 试求出两位同学在训练中排球垫球的平均数；他们两位同学谁的成绩更稳定？为什么？ 21. 如图，在△中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%出售． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x＞10）的关系式，它们都是正比例函数吗？ 23. 如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点． （1）求点的坐标； （2）求折痕所在直线的解析式． 24. 【操作与发现】 如图①，在正方形中，点N，M分别在边上．连接、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而可得：． （1）【实践探究】在图①条件下，若，则正方形的边长是 ． （2）如图②，在正方形中，点M、N分别在边上，连接、．，，若，求证：M是的中点． （3）【拓展】如图③，在矩形中，点M、N分别在边上，连接，已知，，则的长是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $