直线与圆锥曲线的位置关系讲义 2025届高三数学二轮专题突破　

微专题42　直线与圆锥曲线的位置关系 [考情分析]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等. 微点一　弦长、面积问题 1.设抛物线T：y2=4x的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，|AF|=4，若将直线AF绕点F逆时针旋转45°得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则|CD|等于(　　) A.32-16 B.32-16 C.16-8 D.16-8 2.(15分)(2024·新课标全国Ⅰ)已知A(0，3)和P为椭圆C：+=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率；(6分) (2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.(9分) 微点二　中点弦问题 3.(2024·秦皇岛模拟)已知A，B为椭圆C：+=1上两个不同的点(直线AB与y轴不平行)，F为C的右焦点，且|AF|+|BF|=4，若线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则|FP|等于(　　) A. B. C. D. 4.(17分)(2024·杭州模拟)已知双曲线C：x2-y2=8，圆A：(x-2)2+(y-2)2=r2，其中r>0.圆A与双曲线C有且仅有两个交点D，E，线段DE的中点为G. (1)记直线AG的斜率为k1，直线OG的斜率为k2，求；(8分) (2)当直线DE的斜率为3时，求G点坐标.(9分) 微点三　直线与圆锥曲线位置关系的应用 5.(多选)(2024·新课标全国Ⅱ)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过点P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过点P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ|= C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 6.(17分)(2024·茂名模拟)已知椭圆C：+y2=1，右焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为求|AB|；(7分) (2)记线段AB的垂直平分线交直线x=-1于点M，当∠AMB最大时，求直线l的方程.(10分) [总结提升] 直线与圆锥曲线的位置关系中，解决直线与圆锥曲线的相交弦长、面积问题的通法是用代数法联立方程消元转化进行求解.对于中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在求解过程中，在设直线方程时，注意斜率不存在的情况. 1.(2024·武汉模拟)设抛物线C：y=4x2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 2.(2024·郑州模拟)点F1(-2，0)，F2(2，0)为等轴双曲线C的焦点，过F2作x轴的垂线分别与C的两条渐近线交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 3.(2024·沧州模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，斜率为的直线l经过点F与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为则p等于(　　) A.1 B. C. D.2 4.(2024·遵义模拟)已知椭圆C：+=1，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 5.(多选)(2024·哈尔滨模拟)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于点A，B和点M，N，则(　　) A.抛物线C的准线方程是x=-4 B.过抛物线C的焦点的最短弦长为8 C.若弦MN的中点为(m，2)，则直线MN的方程为y=2x-4 D.四边形AMBN面积的最小值为128 6.(多选)已知A，B分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的长、短轴的一个端点，且直线AB的斜率为-则(　　) A.椭圆C的离心率为 B.|AB|=b C.直线l：y=k(x-b)+与椭圆C有两个交点 D.直线l'：x+2y-2b=0与椭圆C有一个公共点 7.(5分)(2024·苏州模拟)已知过坐标原点O且异于坐标轴的直线交椭圆E：+=1(a>b>0)于P，A两点，过OP的中点Q作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点B，直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，则=　　　　　；若k1k2=-则E的离心率为　　　　　.  8.(5分)(2024·枣庄模拟)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面上两点，定义d(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P为抛物线C：x2=2py(p>0)上一动点，定点Q(3，0)，d(P，Q)的最小值为2，则p=　　　　；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则d(P，M)的最小值为　　　　.  9.(17分)(2024·池州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为过点F的直线l1交C于A，B两点，过点F与l1垂直的直线l2交C于D，E两点. (1)当直线l1的倾斜角为时，求由A，B，D，E四点围成的四边形的面积；(8分) (2)直线l：x=my+3分别交直线l1，l2于点M，N，若点M为AB的中点，证明：点N为DE的中点.(9分) 10.(17分)(2024·茂名模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，点F为抛物线的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且PF⊥QF.当|PF|=2|QF|时，|PQ|=5. (1)求抛物线C的标准方程；(7分) (2)若线段PF，QF分别交抛物线C于点A，B，记△PQF的面积为S1，△ABF的面积为S2，当S1=9S2时，求|PQ|的长.(10分) 答案精析 高频考点练 1.A　[F(1，0)，设A(x0，y0)，x0>0，y0>0， 则|AF|=x0+1=4，所以x0=3， 则y0=2， 故kAF==， 所以∠AFx=60°， 则直线l的倾斜角α=60°+45°， 所以直线l的斜率k=tan(60°+45°)==-2-， 所以直线l的方程为y=(-2-)(x-1)， 联立消去y得(7+4)x2-(18+8)x+7+4=0， Δ=(18+8)2-4(7+4)2=(18+8)2-(14+8)2>0， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1+x2==30-16， 所以|CD|=x1+x2+2=32-16.] 2.解　(1)由题意得 解得 所以C的离心率 e===. (2)方法一　kAP==-， 则直线AP的方程为y=-x+3， 即x+2y-6=0， 因为|AP|==， S△ABP=9， 所以点B到直线AP的距离d==， 设B(x0，y0)， 则 解得或 即B(0，-3)或B， 当B(0，-3)时，kl=， 直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当B时，kl=， 直线l的方程为y=x， 即x-2y=0. 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 方法二　当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)， S△PAB=×6×3=9，符合题意， 此时kl=， 直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0， 联立椭圆方程有 则(4k2+3)x2+24kx=0， 其中k≠kAP，即k≠-， 解得x=0(舍去)或x=，k≠0，k≠-， 当x=时，y=， 则B， 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 点B到直线AP的距离d=， 则=， 解得k=， 此时B，则kl=， 直线l的方程为y=x， 即x-2y=0， 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 方法三　当直线l的斜率不存在时， l：x=3，B， |PB|=3，点A到直线PB的距离d=3， 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件； 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y=k(x-3)+， 设直线l与y轴的交点为Q， 令x=0，则Q， 联立 则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0， 其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0， 即4k2+12k+9>0， 且k≠kAP，即k≠-，k≠-， 则3xB=，xB=， 则S△ABP=|AQ||xP-xB|==9， 解得k=或k=，均满足题意. 则直线l的方程为y=x或y=x-3， 即x-2y=0或3x-2y-6=0. 3.A　[如图，由题意知F(2，0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 根据点A，B在C上， 则+=1，+=1， 所以|AF|===3-x1， 同理可得|BF|=3-x2， 所以|AF|+|BF|=3-x1+3-x2=4， 所以x1+x2=3， 因此线段AB的中点为，kAB=， 则线段AB的垂直平分线的斜率为-， 又由+=1，+=1， 作差化简得-=-)， 则线段AB的垂直平分线的方程为y=-+， 令y=0，得x-===-=-， 解得x=，即P，所以|FP|=2-=.] 4.解　(1)因为|EG|=|DG|，|AD|=|AE|，所以AG⊥DE. 设D(x1，y1)，E(x2，y2)，因为-=-=8， 所以(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2). 而圆心A(2，2)不在坐标轴上，从而x1≠x2，x1+x2≠0， 所以·=1. 所以kDE·kOG=1， 又kAG·kDE=-1，所以====-1. (2)设直线DE：y=3x+m，与x2-y2=8联立，化简并整理得8x2+6mx+m2+8=0， 其中Δ=36m2-32(m2+8)=4(m2-64)>0. 所以x1+x2=-， y1+y2=3(x1+x2)+2m=-， 即G点坐标为. 因为kAG·kDE=-1，kDE=3，所以kAG=-，而A(2，2)， 即=-，解得m=-，经检验，符合题意.所以G. 5.ABD　[A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1， ☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径， 故准线l和☉A相切，A选项正确； B选项，当P，A，B三点共线时， 即PA⊥l，则P的纵坐标yP=4， 由=4xP， 得到xP=4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|===，B选项正确； C选项，当|PB|=2时，xP=1， 此时=4xP=4， 故P(1，2)或P(1，-2)， 当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)， kPA==-2， kAB==2， 不满足kPAkAB=-1； 当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)， kPA==-6， kAB==6， 不满足kPAkAB=-1， 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； D选项，方法一　(利用抛物线定义转化) 设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义，|PB|=|PF|， 这里F(1，0)， 于是=时P点的存在性问题转化成=时P点的存在性问题，A(0，4)，F(1，0)， AF的中点为， AF中垂线的斜率为-=， 于是AF的中垂线方程为y=， 与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0， Δ=(-16)2-4×1×30=136>0， 即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得=，D选项正确. 方法二　(设点直接求解) 设P， 由PB⊥l可得B(-1，t)， 又A(0，4)，=， 根据两点间的距离公式，=+1， 整理得t2-16t+30=0，Δ=(-16)2-4×1×30=136>0， 则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确.] 6.解　(1)由题意可得F(1，0)， 因为直线l的倾斜角为， 所以k=tan=1， 因此，直线l的方程为y=x-1， 联立方程 消去y得3x2-4x=0， 解得x1=0，x2=， 不妨设A(0，-1)，B， 因此，|AB|==. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得，直线l的斜率不为0， 故设l的方程为x=my+1， 联立方程 消去x得(m2+2)y2+2my-1=0， Δ>0， 因此y1+y2=-， y1y2=-， 所以|AB|===， 设线段AB的中点为G， 则yG==-，xG=myG+1=， 易知kMG=-m， 所以|MG|==， 所以tan==. 设t=(t≥1)， 则tan===≤， 当且仅当t=，即m=±时等号成立， 当最大时，∠AMB也最大，此时直线l的方程为x=±y+1， 即x+y-1=0或x-y-1=0. 补偿强化练 1.C　[由C：y=4x2得x2=y， F， 由题意可知直线AB的斜率存在， 故设其方程为y=kx+， 联立 可得x2-kx-=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=k， 故y1+y2=k(x1+x2)+ =k2+， 因此|AB|=y1+y2+=k2+≥，当且仅当k=0时取等号，故选C.] 2.B　[设双曲线C的方程为-=1， 因为c=2=， 解得a2=2， 所以双曲线C的方程为-=1，则双曲线C的渐近线方程为y=±x， 所以解得即A(2，2)，则B(2，-2)， 所以△AOB为等腰直角三角形， 所以△AOB的面积为×|AB|·|OF2|=×4×2=4.] 3.C　[设直线l的方程为x=y+， 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立直线l与抛物线C的方程， 得 消去x得y2-py-p2=0， 则y1+y2=，y1y2=-p2. S△OAB=|y1-y2|·|OF|=·|OF|=p2=， 所以p=.] 4.B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得+=0， 由条件可知x1+x2=1，y1+y2=3， 即+=0， 并且由对称性可知x1≠x2， 所以=-1， 所以直线AB的斜率为-1， 所以直线AB的方程为y-=-， 即x+y-2=0， 所以原点到直线AB的距离d==.] 5.BCD　[抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x=-，依题意可得p=4，则抛物线方程为y2=8x，所以准线方程为x=-2，故A错误； 过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，最短弦长为2p=8，故B正确； 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则=8x1，=8x2， 所以-=8(x1-x2)， 即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)， 又弦MN的中点为(m，2)， 所以y1+y2=4， 所以==2， 即kMN=2， 又弦MN过焦点F(2，0)， 所以直线MN的方程为y=2(x-2)， 即y=2x-4，故C正确； 依题意直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x-2)(k≠0)，由 消去y整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，显然Δ>0， 所以xA+xB=， 所以|AB|=xA+xB+p=+4=8+， 同理可得|MN|=8+8k2， 所以S四边形AMBN=|AB||MN|=(8+8k2)=32≥32=128， 当且仅当k2=，即k=±1时取等号，故D正确.] 6.ACD　[对于A，∵kAB=-=-，∴=，∴e====，故A正确； 对于B，|AB|===b，故B错误； 对于C，直线l恒过点， ∵+=+=<1， ∴点在椭圆C的内部， ∴直线l与椭圆C有两个交点，故C正确； 对于D，易知点在椭圆C上，过该点的椭圆C的切线方程为+=1， 化简得x+2y=4b， 即x+2y-2b=0， ∴直线l'：x+2y-2b=0与椭圆C有一个公共点，故D正确.] 7.　 解析　设P(x0，y0)，则Q，C，A(-x0，-y0)， k1=，k3=kAC==·，∴=， 设B(x1，y1)，则 则=-⇒·=-， 故k3k2=-， 结合k1k2=-，k3=k1 可得k1k2=-， ∴==， ∴e=. 8.2　 解析　设P， 则d(P，Q)=|m-3|+≥-m+3 =(m-p)2+3- ⇒3-=2，即m=p=2时取得最小值； 易知l：y=x-，C：x2=4y，联立消去y得x2-6x+18=0， 显然无解，即直线与抛物线无交点，如图所示， 过点P作PN∥x轴交直线l于点N，过点M作ME⊥PN于点E， 则d(P，M)=|PE|+|EM|≥|PE|+|EN|=|PN|(M，N重合时取得等号)， 设P，则N，所以|PN|=-n+3=(n-3)2+≥，当n=3时取等号. 所以d(P，M)的最小值为. 9.(1)解　由题意知=，c=2， ∴a=，b2=c2-a2=4-3=1， ∴C的方程为-y2=1. ∵直线l1的倾斜角为，过点F(2，0)， ∴直线l1的方程为y=x-2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得2x2-12x+15=0，∴ ∴|AB|=|x1-x2|=·=2. ∵直线l1与l2互相垂直， ∴直线l2的倾斜角为， ∴由对称性可知|ED|=|AB|=2， ∴由A，B，D，E四点围成的四边形的面积为|AB||ED|=×2×2=6. (2)证明　方法一　由题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设直线l1，l2的方程分别为y=k1(x-2)，y=k2(x-2). 由直线l1，l2互相垂直可得k1k2=-1， ① 联立 得xM=， ② 联立 整理得(1-3)x2+12x-3(4+1)=0， 1-3≠0，且Δ>0， ∴xA+xB=. ∵点M是AB的中点， ∴xM==. ③ 由②③得=， 即m=·. ④ 同理联立 得xN=， ⑤ 由①④⑤得xN= == ==. ⑥ 联立 得(1-3)x2+12x-3(4+1)=0， 1-3≠0，且Δ'>0， ∴xD+xE=. 取DE的中点为N'， ∴xN'=， ⑦ 由⑥⑦得点N'与N重合，即点N是DE的中点. 方法二　由题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设直线l1，l2的方程分别为x=t1y+2，x=t2y+2， 由直线l1，l2互相垂直可得t1t2=-1. 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立 得(-3)y2+4t1y+1=0， 又∵-3≠0，Δ>0， ∴y1+y2=. ∵点M是AB的中点， ∴yM==， ∴xM=t1yM+2=， ∴M. 同理可得DE的中点N'. 又∵直线l：x=my+3恒过点H(3，0)， ∴==， 同理==， ∴·-·==0， ∴∥， ∴H，M，N'三点共线， ∴DE的中点N'在l上， 又DE上的点N在l上， ∴点N'与N重合，即点N是DE的中点. 方法三　由题意可知直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1，l2的方程分别为y=k1(x-2)，y=k2(x-2). 由l1，l2互相垂直可得k1k2=-1， ① 联立 得M， ∴kOM=. ② 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 代入C得 两式相减得-(-)=0， 变形为·=， 即kOM·k1=. ③ 由②③得·k1=， 即m=·. ④ 同理联立 得N， ∴kON=. ⑤ 由①④⑤得kON==·=， ∴kON·k2=. ⑥ 取DE的中点N'， 同理可证kON'·k2=. ⑦ 由⑥⑦得kON=kON'. 结合点N，N'均在直线l2上， ∴点N'与N重合，即点N是DE的中点. 10.解　(1)方法一　设x轴与准线的交点为M. ∵|PQ|=5，PF⊥QF，|PF|=2|QF|， ∴|QF|2+|PF|2=|PQ|2=25， 解得|QF|=，|PF|=2， ∴在△PQF中，根据等面积法 |PQ|·|MF|=|PF|·|QF|， 5×p=2×，解得p=2， ∴抛物线C的标准方程为y2=4x. 方法二　设x轴与准线的交点为M. ∵PF⊥QF，∴当|PF|=2|QF|时，tan∠PQF=2=tan∠AFM， ∴|PM|=2|MF|，|MF|=2|MQ|. ∴|PQ|=|PM|+|MQ|=|MF|=5，∴|MF|=2=p， ∴抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)由(1)可得抛物线的焦点F(1，0)，准线为x=-1， 依题意，直线AB的斜率不为0， ∴设直线AB的方程为x=ky+b， A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 消去x得y2-4ky-4b=0， 显然Δ>0， ∴y1+y2=4k，y1y2=-4b. 由PF⊥QF，则·=0， 可得(x1-1，y1)·(x2-1，y2)=0， ∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=0， 整理得b2-6b+1=4k2. ① 易知直线AF的方程为y=(x-1)， 令x=-1，可得yP=， 同理可得yQ=. ∵S1=9S2， ∴|PF|·|QF|=9|AF|·|BF|， 即=9×，∴=. ∴=9，∴=9， ∴=9， 即-=9，∴b=. ∴|y1-y2|====. ∴|PQ|=|yP-yQ|====4|y1-y2|=. 学科网（北京）股份有限公司 $$