直线与圆讲义-2025届高三数学二轮专题突破　

专题六　解析几何 微专题38　直线与圆 [考情分析]　高考中,直线与圆的方程偶尔会单独命题,此类试题难度中等偏下,多以选择题或填空题的形式出现.直线与圆的方程综合命题时会有一定的深度,常常与圆锥曲线结合在一起以解答题的形式出现,难度中等偏上. 微点一　直线的方程 1.(多选)已知直线l1：4x-3y-3=0,直线l2：(m+2)x-(m+1)y+m=0(m∈R),则(　　) A.当m=-1时,l1⊥l2 B.当m=2时,l1∥ l2 C.当l1∥ l2时,l1与l2之间的距离为1 D.直线l2过定点 2.当点P(-2,-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为(　　) A.3x+2y-5=0 B.3x+2y-5=0 C.2x-3y+1=0 D.2x-3y+1=0 3.已知从点(5,2)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好过点(1,2),则入射光线所在的直线方程为(　　) A.x-y-3=0 B.x+y-7=0 C.x-y+3=0 D.x+y-3=0 4.已知直线l1：y=2x和l2：y=kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形,则k的取值不可能为(　　) A.-2 B.- C. D. 微点二　圆的方程 5.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称,则圆C2的标准方程为(　　) A.(x+4)2+(y+2)2=4 B.(x-4)2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+(y+4)2=4 D.(x-2)2+(y-4)2=4 6.(多选)(2024·邵阳模拟)已知圆C：x2+y2-4x-5=0,点P(a,b)是圆C上的一点,则下列说法正确的是(　　) A.圆C关于直线x-3y-2=0对称 B.(a-1)2+(b+1)2的最小值为3- C.2a+b的最小值为4-3 D.的最大值为 7.[阿波罗尼斯圆](多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A,B为平面上相异的两点,则所有满足：=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆”,后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(4,0),动点P满足=则下列关于动点P的结论正确的是(　　) A.点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0 B.△APB面积的最大值为6 C.在x轴上必存在异于A,B的两定点M,N,使得= D.若点Q(-3,1),则2|PA|+|PQ|的最小值为5 8.(5分)(2024·郑州模拟)平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.若点A,B,C都在圆E上,直线BC的方程为x+y-2=0,且|BC|=2△ABC的垂心G(2,2)在△ABC内,点E在线段AG上,则圆E的标准方程为　　　　　　　.  微点三　直线、圆的位置关系 9.(2024·六盘水模拟)已知直线ax-y+2=0与圆(x-1)2+y2=4相交于A,B两点,若|AB|=2则a等于(　　) A. B.1 C.- D.-2 10.(2024·渭南模拟)已知圆C：x2+y2-2x-4y=0,圆O：x2+y2=1,点P是圆O上一点,当△OCP的面积最大时,sin 2∠OCP等于(　　) A. B. C. D. 11.(多选)(2024·合肥模拟)已知圆O：x2+y2=1,圆C：(x-a)2+(y-1)2=4,a∈R,则(　　) A.两圆的圆心距的最小值为1 B.若圆O与圆C相切,则a=±2 C.若圆O与圆C恰有两条公切线,则-2<a<2 D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2 12.(多选)已知点M在圆Q：x2+(y+2)2=4上,点P是直线l： 4x-3y+6=0上一点,过点P作圆Q的两条切线,切点分别为A,B,又设直线l分别交x,y轴于C,D两点,则(　　) A.|PA|的最小值为 B.直线AB必过定点 C.满足MC⊥MD的点有两个 D.|MD|+2|MC|的最小值为 [总结提升] 解决圆的方程或弦长、面积等问题时,一般有两种方法：一是几何法,通过研究圆的性质,直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程；二是代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,联立直线与圆的方程,利用弦长公式求弦长,进一步求面积等问题. 1.若直线l1：x+ay-3=0与直线l2：(a+1)x+2y-6=0垂直,则a等于(　　) A.-3 B.-2 C.- D.1或-2 2.(2024·青岛模拟)已知直线l与直线x-y=0平行,且在y轴上的截距是-2,则直线l的方程是(　　) A.x-y+2=0 B.x-2y+4=0 C.x-y-2=0 D.x+2y-4=0 3.(2024·成都模拟)已知直线l1：x-ay+1=0与圆C：(x-a)2+(y-1)2=1相交于A,B两点,若△ABC是直角三角形,则实数a的值为(　　) A.1或-1 B.或- C.-或-1 D.-或- 4.(2024·葫芦岛模拟)光线从点A(-5,2)射到x轴上,经x轴反射后经过圆C：(x-3)2+(y-4)2=1上的点B,则该光线从点A到点B的路线长的最小值是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 5.(2024·安康模拟)已知直线l：y=kx与圆C：x2+y2-20x-20y+100=0相交于A,B两点,若△ABC的面积为50,则k的值为(　　) A.2+或2- B.-2+或-2- C.2+或-2+ D.2-或-2- 6.过点P(3,1)作圆C：x2+y2-2x=0的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 7.已知圆O：x2+y2=1,点P在直线l：x-y-2=0上运动,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,当∠APB最大时,记劣弧及PA,PB所围成的平面图形的面积为S,则(　　) A.2<S<3 B.1<S≤2 C.1<S≤3 D.0<S<1 8.(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l：2x+y-5=0,点A,B为圆x2+y2=1上的两动点,且满足∠AOB=则A,B到直线l的距离之和的最小值为(　　) A.2-2 B.2-2 C.2- D.2-1 9.(多选)下列结论中正确的是(　　) A.已知曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|(x,y不全为0),则曲线C的周长为4π B.若直线l的方程为x+y+1=0,则直线l的倾斜角为 C.若直线3ax+2y+6=0与直线x-a2y+2=0垂直,则a= D.圆M：x2+y2+2x+4y+1=0与圆O：x2+y2=1的公切线条数为2 10.(多选)已知直线l：y=kx+2k+2(k∈R)与圆C：x2+y2-2y-8=0.则下列说法正确的是(　　) A.直线l过定点(-2,2) B.直线l与圆C相离 C.圆心C到直线l距离的最大值是2 D.直线l被圆C截得的弦长的最小值为4 11.(多选)(2024·沧州模拟)已知圆C1：x2+y2-2x-2y-2=0,圆C2：x2+y2-8x-10y+32=0,则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2的方程为4x-3y-1=0 B.圆C1和圆C2共有4条公切线 C.若P,Q分别是圆C1和圆C2上的动点,则的最大值为10 D.经过点C1,C2的所有圆中面积最小的圆的面积为 12.(5分)(2024·长沙模拟)已知直线l是圆O：x2+y2=1的切线,点A(-2,1)和点B(0,3)到l的距离相等,则直线l的方程可以是　　　　　.(写出一个满足条件的即可)  13.(5分)已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,则a2+(b+2)2的最大值为　　　　　　.  14.(5分)(2024·安庆模拟)由函数f(x)=ln x的图象上一点P向圆C：x2+(y-2)2=4引两条切线,切点分别为点A,B,连接AB,当直线AB在x轴上的截距最大时,直线AB的方程为　　　　,此时cos∠APB=　　　　.  答案精析 高频考点练 1.BC　[对于A，当m=-1时，l2：x-1=0，显然与l1不垂直，A不正确； 对于B，当m=2时，l2：4x-3y+2=0， 因为=≠， 所以l1∥ l2，B正确； 对于C，当l1∥ l2时，4m+4=3m+6且3m≠-3m-3，解得m=2， 此时l2：4x-3y+2=0，l1与l2之间的距离为d==1，C正确； 对于D，m+2x-y=0， 令解得 所以直线l2过定点，D不正确.] 2.A　[将直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)变形得x+y-2+λ(3x+y-4)=0， 由解得因此直线l过定点A(1，1)， 当AP⊥l时，点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大， 最大值为==， 又直线AP的斜率kAP==， 所以直线l的方程为y-1=-(x-1)，即3x+2y-5=0.] 3.A　[运用点关于直线对称，求出关于x轴对称点，与在同一条直线上， 运用两点式得到入射光线所在的直线方程为=， 整理得x-y-3=0. 则入射光线所在的直线方程为x-y-3=0.] 4.D　[设直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ， 则tan α=2，tan θ=k，直线l2过定点(0，1). 当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ=π-α，k=tan(π-α)=-tan α=-2； 当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，θ=或θ=+， 因为tan α==2， 且tan >0， 解得tan =， 所以k=tan θ=tan =，或k=tan θ=tan=-=； 当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ=2α，则k=tan θ=tan 2α===-. 综上，k的取值可能为-2，-.] 5.A　[由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0，0)，半径为2，设圆心C1(0，0)关于直线2x+y+5=0的对称点为C2(a，b)，则 解得所以圆C2的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.] 6.ACD　[圆C： (x-2)2+y2=9的圆心C(2，0)，半径r=3. 对于A，显然点C(2，0)在直线x-3y-2=0上，圆C关于直线x-3y-2=0对称，A正确； 对于B，点C(2，0)与点(1，-1)的距离为=<3， 则点(1，-1)与点P(a，b)距离的最小值为3-，故(a-1)2+(b+1)2的最小值为(3-)2=11-6，B错误； 对于C，设2a+b=t，求t的最小值，即为直线2x+y=t与圆有交点时，直线在y轴上的截距的最小值，直线与圆相切时，t取得最值. 联立直线与圆的方程 消去y可得，5x2+(-4t-4)x+t2-5=0， 令Δ=0，即(-4t-4)2-4×5×(t2-5)=0，解得t=4±3， 所以2a+b的最小值为4-3，C正确； 对于D，=1+， 令t=，由 消去b得 (t2+1)a2+(6t2-4)a+9t2-5=0，则Δ=(6t2-4)2-4(t2+1)(9t2-5)≥0， 整理得t2≤，解得-≤t≤， 因此-≤≤≤≤，D正确.] 7.ACD　[对于选项A，设P(x，y)， 因为P满足=， 所以=， 化简得x2+y2+8x=0，故A正确； 对于选项B，由选项A可知， 点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0， 即(x+4)2+y2=16，所以点P的轨迹是以(-4，0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB|=6，且点A，B在直径所在直线上， 故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时，△APB的面积取得最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△APB的高的最大值为4， 所以△APB面积的最大值为×6×4=12，故B错误； 对于选项C，假设在x轴上存在异于A，B的两定点M，N， 使得=， 设M(m，0)，N(n，0)， 故=， 即=2， 化简可得x2+y2-x+=0， 又点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0， 可得 解得或(舍去)， 故存在异于A，B的两定点 M(-6，0)，N(-12，0)， 使得=，故C正确； 对于选项D，因为=， 所以2|PA|=|PB|， 所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|， 又点P在圆x2+y2+8x=0上，如图所示， 所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取得最小值， 此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|==5，故D正确.] 8.(x-3)2+(y-3)2=18 解析　△ABC的垂心G(2，2)到直线BC的距离d=， 设圆E的半径为r， 由塞尔瓦定理可得r+=2(+)，由圆的几何性质可得(+)2+()2=r2，联立解得=，r=3， 因为直线BC的方程为x+y-2=0，EG⊥BC，且G(2，2)，所以直线EG的方程为y=x， 设E(a，a)，则E到直线BC的距离d'==2，解得a=-1(舍去)或a=3， 所以圆E的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=18. 9.C　[圆+y2=4与直线ax-y+2=0相交于A，B两点， 且|AB|=2. 则圆心到直线ax-y+2=0的距离d=<2=r， 利用垂径定理得d2+()2=4，所以=1，解得a=-，当a=-时，满足d<2，符合题意.] 10.A　[圆C：x2+y2-2x-4y=0化为(x-1)2+(y-2)2=5， 则圆心C(1，2)，半径r1=， 圆O：x2+y2=1的圆心O(0，0)，半径r2=1， 因为02+02-2×0-4×0=0，所以点O在圆C上，则=， 当△OCP的面积最大时，OC⊥OP， 在Rt△OCP中，=1， =，则=， 所以sin∠OCP=，cos∠OCP=， 所以sin 2∠OCP=2sin∠OCPcos∠OCP=.] 11.AD　[根据题意，可得圆O：x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r=1， 圆C：(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a，1)，半径R=2. 对于A，因为两圆的圆心距d=|OC|=≥1，当且仅当a=0时，等号成立，所以A正确； 对于B，当两圆内切时，圆心距d=|OC|=R-r=1，即=1，解得a=0. 当两圆外切时，圆心距d=|OC|=R+r=3，即=3， 解得a=±2. 综上所述，若两圆相切， 则a=0或a=±2，故B不正确； 对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=|OC|∈(R-r，R+r)， 即∈(1，3)，可得1<<3，解得-2<a<2且a≠0，故C不正确； 对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2+y2=1的圆心O在公共弦上时，公共弦长等于2r=2，达到最大值，所以当两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确.] 12.BCD　[圆Q：x2+(y+2)2=4的圆心为Q(0，-2)，半径r=2， 则Q到直线l： 4x-3y+6=0的距离d==， 则|PA|min===，故A错误； 设P，以PQ为直径的圆+=+， 又圆Q：x2+(y+2)2=4，两圆的方程相减得ax+y=-4-，即a+4+4y=0， 由 解得因此直线AB过定点，故B正确； 对于直线l： 4x-3y+6=0，令x=0，则y=2，即D(0，2)， 令y=0，则x=-， 所以C， 则CD的中点为E， |CD|==， 则以CD为直径的圆E的方程为+(y-1)2=， 又|EQ|==， 则2-<<2+，所以以CD为直径的圆与圆Q相交，所以满足MC⊥MD的点有两个，故C正确； 因为D(0，2)，C， 设S(0，-1)，M(x，y)， 则x2+(y+2)2=4， 则x2+(y-2)2=4x2+4(y+1)2， 即=2， 又|MD|=，|MS|=， 所以|MD|=|MS|， 所以|MD|+2|MC|=2=2(|MS|+|MC|)≥2|SC|=2=， 当且仅当M在线段CS与圆Q的交点时，取得最小值，故D正确.] 补偿强化练 1.C　[由题意知，直线l1：x+ay-3=0与直线l2：(a+1)x+2y-6=0垂直，∴a+1+2a=0，a=-.] 2.C　[因为直线l平行于直线x-y=0，所以直线l可设为x-y+m=0(m≠0)， 因为在y轴上的截距是-2，则过点(0，-2)，代入直线方程得0-(-2)+m=0， 解得m=-2，所以直线l的方程是x-y-2=0.] 3.A　[根据题意，圆C的圆心(a，1)，半径r=1，易知△ABC是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线l1的距离为，则=，解得a2=1， 所以a=1或a=-1.] 4.A　[由题意可得圆心C(3，4)，半径r=1，点A(-5，2)关于x轴的对称点A1(-5，-2)， 所以==10，该光线从点A到点B的路线长的最小值为-r=10-1=9.] 5.A　[圆C：x2+y2-20x-20y+100=0的圆心坐标为C(10，10)，半径r=10. 设圆心C到直线l的距离为d， 则=2， 所以△ABC的面积S=d=×2d=d=50，解得d2=50. 又d=， 所以d2==50，化简得k2-4k+1=0， 解得k=2±.] 6.A　[由圆C：x2+y2-2x=0，可化为(x-1)2+y2=1，可得圆心C(1，0)，半径为r=1， 因为PA，PB分别切圆C于A，B，所以P，A，B，C四点在以PC为直径的圆上，圆心为，半径为r==，故圆的方程为C'：(x-2)2+=，即x2+y2-4x-y+3=0上， 两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+y-3=0， 即直线AB的方程为2x+y-3=0.] 7.D　[如图所示， 圆O：x2+y2=1的圆心O的坐标为(0，0)，半径为1， 因为在Rt△OBP中，sin∠OPB==， 且y=sin x在上单调递增， 所以当|OP|最小时，∠OPB最大，即∠APB最大，此时OP垂直于直线l， 且|OP|==2， |PA|=|PB|=， 从而四边形OAPB的面积为S四边形OAPB=2×××1=， 设∠AOP=θ，则∠AOB=2θ， S扇形OAB=×12×2θ=θ， 从而劣弧及PA，PB所围成的平面图形的面积为S=-θ， 又因为sin θ=，θ∈， 所以θ=， 从而0<S=-θ=-<1.] 8.D　[根据题意，A，B为圆x2+y2=1上两动点，且满足∠AOB=， 设A(cos θ，sin θ)，B，θ∈[0，2π)， 点A到直线l：2x+y-5=0的距离dA=， 同理可得点B到直线l：2x+y-5=0的距离dB=， 所以点A，B到直线l的距离之和为 dA+dB=+ =+) =[5-2cos θ-sin θ+5-2cos-sin] =(10-2cos θ-sin θ+cos θ+sin θ+sin θ-cos θ) = =， 其中cos φ=，sin φ=， 故当sin(θ-φ)=-1时，dA+dB取最小值(10-)=2-1.] 9.AD　[对于A，如图所示， 当x≥0，y≥0时，曲线C：x2+y2=2x+2y，即(x-1)2+(y-1)2=2，此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为π， 在曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|(x，y不全为0)中，分别用(x，-y)，(-x，y)，(-x，-y)替换(x，y)，方程依然成立， 这表明了曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|(x，y不全为0)的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线C的周长为4π，故A正确； 对于B，直线l的方程为x+y+1=0，即y=-x-， 所以直线l的斜率为k=-，则直线l的倾斜角为，故B错误； 对于C，若直线3ax+2y+6=0与直线x-a2y+2=0垂直，则3a-2a2=0，解得a=或a=0，故C错误； 对于D，圆M：x2+y2+2x+4y+1=0即(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为M(-1，-2)，半径为r1=2，圆O：x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径为r2=1， 所以r1-r2=1<|OM|==<3=r1+r2， 所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确.] 10.AD　[对于A，因为l：y=kx+2k+2(k∈R)， 即y=k(x+2)+2， 令x+2=0，即x=-2，得y=2，所以直线l过定点(-2，2)，故A正确； 对于B，因为(-2)2+22-2×2-8<0， 所以定点(-2，2)在圆C：x2+y2-2y-8=0的内部，所以直线l与圆C相交，故B错误； 对于C，如图，因为圆C：x2+y2-2y-8=0，可化为x2+(y-1)2=9， 圆心C(0，1)， 当圆心C与定点(-2，2)的连线垂直于直线l时，圆心C到直线l的距离取得最大值， 此时其值为=，故C错误； 对于D，由弦长公式|AB|=2可知，当圆心C到直线l的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为2×=4，故D正确.] 11.ACD　[由题意得，圆C1：(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C1(1，1)，半径r1=2， 圆C2：(x-4)2+(y-5)2=9的圆心C2(4，5)，半径r2=3. 对于A，直线C1C2的方程为=，即4x-3y-1=0，所以A正确； 对于B，因为==5且r1+r2=2+3=5，可得=r1+r2， 所以圆C1与圆C2外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误； 对于C，因为=5，所以的最大值为+r1+r2=10，所以C正确； 对于D，当C1C2为圆的直径时，该圆在经过点C1，C2的所有圆中面积最小， 此时圆的面积为π=，所以D正确.] 12.x-y-=0，x-y+=0，3x+4y-5=0，x=-1(写出一个满足条件的即可) 解析　若l∥AB，此时l的斜率为=1， 设l的方程为y=x+b，则点O到l的距离=1，解得b=±， 因此l的方程为x-y-=0或x-y+=0； 若l经过AB的中点(-1，2)， 当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=-1，满足与圆O：x2+y2=1相切； 当l的斜率存在时， 设其方程为y=k(x+1)+2， 则点O到直线l的距离=1，解得k=-，此时直线l的方程为3x+4y-5=0. 13.9+4 解析　方程a2+b2-4a+3=0整理得(a-2)2+b2=1， 设点A(a，b)， 即点A是圆C：(x-2)2+y2=1上一点， 又点B(0，-2)在圆C：(x-2)2+y2=1外， 所以|AB|=， 则|AB|max=|BC|+r=+1=2+1， 所以a2+(b+2)2的最大值为(2+1)2=9+4. 14.ex-y-2=0　 解析　设点P(t，ln t)(t>0)，圆C的圆心为C(0，2)，如图所示， 则以线段PC为直径的圆的方程为 x(x-t)+(y-2)·(y-ln t)=0， 整理得x2+y2-tx-(2+ln t)y+2ln t=0， 与圆C：x2+(y-2)2=4相交， 两个圆相减得直线AB：tx+(ln t-2)y-2ln t=0， 令y=0，则x=， 构造函数g(t)=，t>0， 对其求导得g'(t)=， 令g'(t)=0，则t=e， 所以函数g(t)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，故函数g(t)的最大值为g(e)=， 此时直线AB的方程为ex-y-2=0， 且P(e，1)，=， sin∠APC==， 故cos∠APB=cos 2∠APC=1-2sin2∠APC=. 学科网（北京）股份有限公司 $$