精品解析：河南省邓州市春雨国文学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷

高二数学 一、单选题 1. 设为等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】D 【解析】 【分析】已知，先由等差数列的性质，求出，然后求出公差，得出. 【详解】因为数列是一个等差数列，且， 所以，即. 又，所以公差， 所以. 故选：D． 2. 已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式. 【详解】因，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 3. 若数列满足，，，则（ ） A B. －2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入计算出数列的前几项，归纳出周期后可得结论． 【详解】，则，，，， 所以数列是周期数列，且周期是4，因此， 故选：A． 4. 若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（ ） A. 数列是公差为d的等差数列 B. 数列是公差为cd的等差数列 C. 数列是首项为c的等差数列 D. 数列不是等差数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，计算，由其结果即可判断出答案. 【详解】由题意可知， 所以数列是以cd为公差的等差数列， 故选:B． 5. 设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】移项后变形，利用等差数列的性质得，再由等差数列前项和公式可得结论． 【详解】设数列的公差为，，整理可得，即．又∵，∴．∵，∴．∴． 故选：B． 6. 等差数列的首项为5,公差不等于零.若,则（ ） A. -2017 B. C. D. -2014 【答案】A 【解析】 【分析】设公差为，根据基本量关系化简可得，进而可得. 【详解】设公差为，由可得，即，故. 又，，故，则. 则. 故选：A 7. 高斯，德国著名数学家､物理学家､天文学家､大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前项和为，则的值为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，又，根据等差数列性质可求，结合等差数列前n项和公式可求的值. 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又数列为等差数列， ∴ ， ∴ ，又，， ∴ . 故选：A. 8. 已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果. 【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则 当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有， 综合可得：分析选项可得：BCD符合题意； 故选：A 二、多选题 9. 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】AD 【解析】 【分析】通过计算找到数列的周期，即得解. 【详解】解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3． 所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3． 故选：AD 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 时，的最小值为2022 C. 有最大值 D. 时，的最大值为4043 【答案】CD 【解析】 【分析】AB选项，根据，得到，从而得到，A错误，时，的最小值为2023，B错误；C选项，求出，由二次函数性质得到有最大值；D选项，计算出，，得到答案. 【详解】对于：由可得， 故等差数列的公差，故A错误； 对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，故时， 的最小值为2023，故B错误； 对于C：由A得，，故是关于开口向下的二次函数， 其有最大值，没有最小值，故C正确； 对于D：因为数列的前2022项均为正数， 且， ， 时，的最大值为4043，故D正确 故选：CD 11. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据及，代入计算即可求出，进而判断选项. 【详解】因为， 所以当时， ； 当时， . 当时，不符合上式，故， 故选：AD 12. 已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ） A. 数列的公差为1 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，则由结合等差数的求和公式可求出公差，则可求出，从而可判断AB，再由可求出，则可判断C，由于，所以利用裂项相消法可判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，解得，A错误；，B正确； ，，C错误； 当时，，当时，， 所以，可知，D正确． 故选：BD． 三、填空题 13. 数列对任意正整数，满足，数列通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用各项积与通项公式的关系可得答案. 【详解】当时，； 当时，由可得 两式作商可得，又不符合上式，所以. 故答案为： 14. 已知数列的通项公式，若数列为递增数列，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 因为当时，有最小值，即， 所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 设为等差数列的前n项和，已知在中只有最小，则______0，______0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 ①. > ②. < 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的性质可判断出，数列的前7项均小于0，第8项开始均大于0，结合等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】解：由题意可得，公差，，， 所以，，所以． 故答案为：；. 16. 已知无穷项数列满足：为有理数，给出下列四个结论： ①若，则数列单调递增； ②数列可能为等比数列； ③若存在，则对于任意，总有． ④若存在，对于任意，总有，则． 其中全部正确结论的序号为_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据和可判断，进而可判断①， 根据等比中项即可得矛盾判断②，根据递推关系，可由，设， 即可根据递推关系推断出数列的其他项，即可判断③， 根据递推式求出通项公式即可判断④. 【详解】对于①，由，且，所以， 因此，由递推可知， ，所以，又，即，故为单调递增数列，①正确； 对于②，若为等比数列，显然都不为零，则， 结合，因此， 故，故，这与为有理数矛盾， 故不可能为等比数列，故②错误； 对于③，若存在，由 可得，进而， 又， 所以， 依次类推：不妨设，由于，由, 则此时以及其前面的项依次为：，前项的值 正负交错出现，故对于任意，总有． 当时，数列各项都为零，显然符合题意，③正确； 对于④，当数列各项都零即时，显然存在无数个，对于任意，总有； 若数列各项不都为零，即中至多一个为零， 因为，设， 则，所以，即， 解得：或． 当时，， 因为中至多一个为零，且都为有理数，所以， 设， 因此数列是以为首项，以为公比的等比数列， 即⑴． 当时， 同理， 设，可得⑵， 由⑴⑵联立解得：． 易知，，， ， 当趋向于正无穷时，，，此时， 所以不存在这样的，对于任意，总有，故只能．④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：求解新定义数列有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 数列递推关系式转化的常见形式 （1）转化为常数，则数列是等差数列． （2）转化为常数，则数列是等差数列． （3）转化为常数，则数列是等差数列． （4）转化为常数，则数列是等差数列． （5）转化为常数，则数列是等差数列． （6）转化为常数，则数列是等差数列． 四、解答题 17. 判断数列m, m＋n, m＋2n, 2m＋n是否是等差数列. 【答案】m＝2n时，是等差数列；m≠2n时，不是等差数列 【解析】 【分析】根据等差数列的定义即可求解. 【详解】解：因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， (2m＋n)－(m＋2n)＝m－n， 所以当n＝m－n，即m＝2n时，该数列是等差数列；当m≠2n时，该数列不是等差数列. 18. 试分别根据下列条件，写出数列的前5项： （1），，，其中； （2），，其中． 【答案】（1）1，2，4，8，16 （2）2，，，，． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，对依次赋值求解； （2）根据递推公式，对依次赋值求解. 【小问1详解】 因为，，，其中， 所以，， ． 因此，数列的前5项依次为1，2，4，8，16． 【小问2详解】 因为，，其中， 所以，， ，． 因此，数列的前5项依次为2，，，，． 19. 已知数列满足，，数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和； 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可得，从而可得，从而可得数列是等差数列，进而可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法求出 【详解】（1），， ， ，， 又，， 数列是首项为1，公差为的等差数列，； （2）由（1）得，， ，， 两式相减得 ， ； 20. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式； （2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，由，得， 两式相减得，即， 利用累乘可得， 即，因为，所以； 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，裂项可得， 则. 所以数列的前项和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 一、单选题 1. 设为等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 2. 已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（ ） A. B. C. D. 3. 若数列满足，，，则（ ） A. B. －2 C. 3 D. 4. 若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（ ） A. 数列是公差为d的等差数列 B. 数列是公差为cd的等差数列 C. 数列是首项为c的等差数列 D. 数列不是等差数列 5. 设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 等差数列的首项为5,公差不等于零.若,则（ ） A. -2017 B. C. D. -2014 7. 高斯，德国著名数学家､物理学家､天文学家､大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前项和为，则的值为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 11 8. 已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 9. 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 时，的最小值为2022 C. 有最大值 D. 时，最大值为4043 11. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知等差数列的前项和为，若，，，数列的前项和为，则（ ） A. 数列的公差为1 B. C. D. 三、填空题 13. 数列对任意正整数，满足，数列通项公式______. 14. 已知数列的通项公式，若数列为递增数列，则实数的取值范围是__________ 15. 设为等差数列的前n项和，已知在中只有最小，则______0，______0．（填“>”“=”或“<”） 16. 已知无穷项数列满足：为有理数，给出下列四个结论： ①若，则数列单调递增； ②数列可能等比数列； ③若存，则对于任意，总有． ④若存在，对于任意，总有，则． 其中全部正确结论的序号为_______． 四、解答题 17. 判断数列m, m＋n, m＋2n, 2m＋n是否是等差数列. 18. 试分别根据下列条件，写出数列的前5项： （1），，，其中； （2），，其中． 19 已知数列满足，，数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和； 20. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$