精品解析： 陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

八年级下学期数学学科收心作业 （满分110分，时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 13，14，15 D. 8，15，17 3. 如图，已知，，则的度数（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，点，直线轴，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 直角三角形的两锐角互补 C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 D. 两点之间线段最短 7. 如图，等边中，，与交于点，，垂足为点，，则的长为（ ）． A. 14 B. 13 C. 12 D. 无法求出 8. 已知方程组与有相同的解，则，的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 12. 一组数据5，4，3，6，7的平均数为5，则这组数据的方差为______． 13. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系是__________．（用“”连接） 14. 如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则_______． 15. 若关于的不等式的解集为．则的值为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点顺时针旋转至线段，连接，则线段长度的最小值是_____． 三、解答题（共10小题，计62分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： 19. 解不等式组：． 20. 如图，已知中，，，求作的高．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：AD∥BC． 22. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题： 组别 分组（cm） 频数 A 3 B m C 20 D 14 E 5 （1）频数分布表中　　　　，扇形统计图中　　　　． （2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在　　　　组别． （3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？ 23. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 24. 在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示． （1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______； （2）求的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，轴于点，． （1）的面积是 ． （2）若点是线段上的一点，连接，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 26. （1）如图，如果四边形中，，，，且，，，则 ． （2）在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”．若点，点，点是坐标系内与原点不重合的“等距点”，连接，，当时，则“等距点”的坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期数学学科收心作业 （满分110分，时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义：若一个数的平方等于，就说这个数是的平方根，记作，根据平方根的定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 2. 下列各组数，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. 13，14，15 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、， 1，2，3不是勾股数，故不符合题意； B、不是正整数， 不是勾股数，故不符合题意； C、， 13，14，15不是勾股数，故不符合题意； D、， 8，15，17是勾股数，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．先由得到，从而得到，进而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 已知点，点，直线轴，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点，点，直线轴， ∴， ∴． 故选B． 5. 一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．根据一次函数性质确定k的符号，根据函数增减性确定正确选项即可． 【详解】解：∵一次函数函数值y随x增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项C、D， 选项A中，，与条件不符，故排除； 选项B点在第二象限，且，符合条件． 故选：B． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 直角三角形的两锐角互补 C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 D. 两点之间线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据偶次方的性质即可判断A，根据直角三角形的性质即可判断B，根据对顶角的定义即可判断C，根据两点之间，线段最短即可判断D． 【详解】解：A、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意； B、直角三角形的两锐角互余，原命题是假命题，不符合题意； C、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； D、两点之间线段最短，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 7. 如图，等边中，，与交于点，，垂足为点，，则的长为（ ）． A. 14 B. 13 C. 12 D. 无法求出 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可证得已知解求根据求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵在中 ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊直角三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定及性质. 8. 已知方程组与有相同的解，则，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴； 故选：D． 9. 如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义；连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 10. 如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数． 【详解】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB， ∴∠BA1C＝＝70°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°， 同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 12. 一组数据5，4，3，6，7的平均数为5，则这组数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．直接利用方差公式代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意． 故答案为：． 13. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用一次函数的增减性比较函数值的大小，掌握“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解本题的关键，据此即可解决． 【详解】解：∵一次函数，其中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识．作，，垂足分别为、，证明可推出，再证明，再证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为、． 是等边三角形， ，， ∵D是中点， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：． 15. 若关于的不等式的解集为．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到，由不等式得解集为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式得解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点顺时针旋转至线段，连接，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：设，过点作轴，垂足为点， ∵线段绕着点按顺时针方向旋转至线段， ∵点，点， ∴点的坐标为， ∴点的运动轨迹是直线， 设直线交轴于，交轴于， 将代入，则，令，则， ∴，， 过点作于．则， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，计62分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先算开方，计算零指数幂，化简绝对值，再计算加减运算即可； （2）先化简二次根式，计算二次根式的乘除法，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解决本题的关键是要掌握消元的方法，即代入消元法与加减消元法，利用加减消元法求解可得． 【详解】解：原方程组整理为： ，得， ∴， 把代入①，得， ∴ ∴原方程组的解为． 19. 解不等式组：． 【答案】不等式组的解集为． 【解析】 【分析】此题考查了求出不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 20. 如图，已知中，，，求作的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查的是作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键，以三角形的点A为圆心，以适当长度为半径划弧，和交于两点，分别以这两个交点为圆心，以大于二分之一的两交点间的距离为半径划两弧，其交点为F，连接交于点D，线段即为所求． 【详解】略 21. 已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：AD∥BC． 【答案】 证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠DAE＝∠BCF， ∴AD∥BC． 【解析】 【分析】利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CBF，得到∠DAE＝∠BCF，然后根据平行线的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握角形全等的判定和性质定理，平行线的判定定理，找到全等三角形是解题的关键． 22. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题： 组别 分组（cm） 频数 A 3 B m C 20 D 14 E 5 （1）频数分布表中　　　　，扇形统计图中　　　　． （2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在　　　　组别． （3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？ 【答案】（1）8，40 （2）C （3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体， （1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解； （2）根据中位数的求法，即可求解； （3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解． 【小问1详解】 解：被抽取的学生数为：(人) 故（人）， ，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数， ，， 把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组， 故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组， 答案为：C； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校立定跳远成绩合格的男生有人． 23. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元 （2）该商场最少购进甲种纪念品件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元． 【小问2详解】 设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该商场最少购进甲种纪念品件． 24. 在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示． （1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______； （2）求的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到“猫”追上“鼠”时的路程与它们的用时，再求平均速度差即可； （2）找出A点和B点坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （3）令，求出的值，再减去1即可得解． 【详解】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min， 所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 故答案为：1； （2）由图象知，A（7，30），B（10，18） 设的表达式， 把点A、B代入解析式得， 解得， ∴． （3）令，则． ∴． 14.5-1=13.5(min) ∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及坐标与图形，解题的关键是：结合实际找出该线段的意义，根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表达式． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，轴于点，． （1）的面积是 ． （2）若点是线段上的一点，连接，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 【答案】（1）12 （2）点的坐标为或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据三角形面积公式列式计算，即可作答． （2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可； （3）过点作于一点，证明是等腰直角三角形，，运用勾股定理得， ，，再运用等面积法则，得得；过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：直线分别交轴、轴于点、， 令时，则， ∴， 即， 令时，则， 即， ∵直线分别交轴、轴于点、． 令时，则， ∴， ∴， ∴， 则的面积是， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：依题意，设， 当点在直线上方时， ， ， ，，， ， ， 由（1）得， ，解得， 点的坐标为； 当点在直线下方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：过点作于一点， ∵射线交轴于． ∴设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴ 则， ∴ 即 整理得 ∴ ∴ ∴ 解得（舍去） ∴； 过作于，过作轴，过作于，过作于， 设， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， 点的坐标为，， ， 解得， ， 由，得直线解析式为， 令，得，解得， 点的坐标为． 综上点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用． 26. （1）如图，如果四边形中，，，，且，，，则 ． （2）在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”．若点，点，点是坐标系内与原点不重合的“等距点”，连接，，当时，则“等距点”的坐标为 ． 【答案】（1）7，（2）点D的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）如图：在上取一点G，使，然后证明可得，；然后再证明可得，设，即，，最后在运用勾股定理列方程求解即可． （2）分点D在直线上；点D在直线上两种情况讨论即可． 本题主要考查了新定义，坐标与图形，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 【详解】解：如图：在上取一点G，使， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 设，即， 在中， ∴，解得：． ∴． 故答案为：7； （2）①∵一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”， ∴设， 设的解析式为， 把代入， 得， 解得； 即点D在直线上时，过点D作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∵点D是等距点， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 同理② ①∵一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”， ∴设， 设的解析式为， 把代入， 得， 解得； 即点D在直线上时 ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $