精品解析：浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

高三数学 命题人：崔舒静 审题人：陈硕罡 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的前n项和为 满足若成等比，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 7. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 下列选项中，曲线与在上的交点个数不一样的是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9. 已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 圆 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若 平面 ，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹和正方形的内切圆相切 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置，总有 D. 长度的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为 C. 当时，恒成立 D. 若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若“”是假命题，则实数a的取值范围是________. 13. 将正整数n分解成两个正整数，的积，即，当，的两数差的绝对值最小时，称为正整数n的最优分解，如为20的最优分解．当为n的最优分解时，定义，则数列的前2025项和为________． 14. 已知椭圆 ，、分别是椭圆 的左、右焦点，点是椭圆 上的任意一点，记为在椭圆 上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为________ 四、解答题（本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米， 千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 16. 如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为 ， 是几何体侧面上不在上的动点，是的直径， 为上不同于，的动点，为 的重心，. （1）证明：平面 ； （2）当三棱锥体积最大时，求直线与面所成角的正弦值. 17. 已知函数（ 且 ） （1）判断的单调性； （2）若m，n为方程的两个根，求的最小值． 18. 已知过点的双曲线 的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线 的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交 的右支于两点. （1）求双曲线 的标准方程； （2）已知点，求证： ； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 设p为素数，对任意的非负整数n，记，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”． （1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由； （2）判断并证明在，，，…，这个数中，有多少个数对p“协调”； （3）计算前个对p“协调”的非负整数之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 命题人：崔舒静 审题人：陈硕罡 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出，求出集合即可求出 . 【详解】由可知， 当 时，， 解得或，即． 故. 故选：D． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合特例及平方数和绝对值的定义，根据充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】若 ， ，满足，但不成立； 若，则，则成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件结得到，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意得，两边平方得， 整理得，由向量数量积的公式得， 而，故， 因为，所以，即，故B正确. 故选：B 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且 时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 5. 等差数列的前n项和为 满足若成等比，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】运用等差数列的前n项和公式及基本量关系求得再根据等比数列性质公式求得结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 由得， 解得， 所以 成等比，∴， ∴， ，显然，否则这与成等比数列矛盾， 故解得 故选：B. 6. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率之和为1得到方程，求出，进而求出物理成绩大于等于60分的人数. 【详解】，解得， 故物理成绩大于等于60分的人数为. 故选：B. 7. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由复数的几何意义和模长公式可得，结合的范围，即可得出答案. 【详解】解析：设，则， ， 所以， 因为，所以， 所以的最大值为. 故选：D. 8. 下列选项中，曲线与在上的交点个数不一样的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像平移变换的知识可知，曲线与在上的交点个数，与与在上的交点个数一致，故而分别作出，，，时与在同一坐标系上的大致图像，即可判断交点个数从而得解. 【详解】的图象是由向右平移个单位得到的图象， 的图象是由向右平移个单位得到的图象， 又当时，， 所以曲线与在上的交点个数，与与在上的交点个数一致， 对于，令，得， 又，所以， 作出在上的大致图象，如图， 对于A，当时，在的图象中作出的图象， 易知此时与在上的交点个数为； 对于B，当时，在的图象中作出 的图象， 易知此时与在上的交点个数为； 对于C，当时，， 当时，；当时，； 在的图象中作出的图象， 易知此时与在上的交点个数为； 对于D，当时，在的图象中作出的图象， 易知此时与在上的交点个数为； 综上，满足ABD选项时两曲线交点个数为，满足C选项时两曲线交点个数为. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9. 已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点的不同，结合图形以及椭圆和双曲线的定义进行判断即可. 【详解】由题知，，圆半径为，连接， 则， 当在圆内时，如图所示， 所以， 可得点的轨迹为到两定点之间的距离之和为的椭圆； 当在圆上时，如图，为圆的弦， 则点的轨迹是点， 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为到两定点之间距离之差的绝对值为的双曲线. 故选：AC 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若 平面 ，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹和正方形的内切圆相切 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置，总有 D. 长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把展开图折叠成正方体，利用正方体中的线面位置关系对选项进行逐一判断. 【详解】将展开图折叠成正方体，如图所示： 连接，，，则，. 取的中点，的中点，连接， ，，则，， 所以，不在面 内，面 ，则 面 ， 同理有，不在面 内，面 ，则 面 ， 而相交且都在面 内，故平面平面 . 要使 平面 ，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误； 当点与点重合时，，又，所以四点共面， 由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确； 在正方体的结构特征，以为原点，分别以所在直线为 轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体边长为，则各点坐标为： ，，， ， . . . . 可得，所以. 同理可得. 因为，且平面 ，，，即垂直于平面 内两条相交直线，所以平面 ,又平面平面 ，平面 ，又平面 ，所以，所以C正确； 当点为中点时，的长度最小，连接， 则，， 当点与点（或）重合时，的长度最大，此时， 所以长度的取值范围为：，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为 C. 当时，恒成立 D. 若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，利用换元法结合正弦函数的性质可判断B的正误，利用导数考虑的单调性后可判断C的正误，对于D，先判断的周期性，再利用导数刻画函数的单调性得到函数图象，结合两根特征就小根的范围分类讨论后可得参数的范围，从而可判断D的正误. 【详解】对选项A：因为 所以A正确； 对选项B：设，则可表为， 因为， 故为上的奇函数，而时，均为增函数， 故为上的增函数，而为上的增函数， 故为上的增函数，故为上的增函数， 因为是增函数，所以， 所以的值域为，所以B不正确； 对选项C：设， 则（不恒为零）， 所以在上递减，所以即，所以C正确； 对选项D：因为， 所以关于对称，又的图象关于原点对称， 故是周期函数且周期 ，而， 所以在上递增，可作出草图，如下图 设，则，该方程两根满足， 显然均不为0且最多仅有一个属于， 不妨设, 若时，方程在区间[上有1013个实数根； 若时，方程在区间[上有2026个实数根； 若时，在区间上有2024个实数根； 若时，方程在区间上有1012个实数根； 代入方程可得：，唯一， 所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：嵌套方程的零点问题，一般可先考虑外方程的根的特征，再考虑内方程的根，本质上就是换元处理. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若“”是假命题，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据“”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：“”为真命题， 所以，解得或. ∴实数a的取值范围为 故答案为： 13. 将正整数n分解成两个正整数，的积，即，当，的两数差的绝对值最小时，称为正整数n的最优分解，如为20的最优分解．当为n的最优分解时，定义，则数列的前2025项和为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用最优分解的思想，结合分类讨论，就可得到数列通项，从而求和即可. 【详解】当，时，，所以； 当 ，时，，所以； 所以数列的前2025项和为： . 故答案为：. 14. 已知椭圆 ，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】证明出直线的方程为 ，求出点的纵坐标，设直线与直线的交点为，求出点的纵坐标以及的值，结合中位线的性质可得出，由此可知在以点为圆心，半径为的圆上运动，可得出点到轴距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设点，其中 ，先证明出直线的方程为 ， 联立可得 ，则， 所以，直线的方程为 ，即， 在椭圆中， ，，则 ，可得、， 因为，则直线的方程为，即， 联立，解得，即 易知直线的方程为，设直线与直线的交点为， 联立可得，即， 因为 ， 故点为线段的中点， 因为，由中垂线的性质可得， 所以，， 连接，因为为的中点，则， 即点在以点为圆心，半径为的圆上运动，故点到轴距离的最大值为， 因此，面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点为的中点，结合中位线的性质得出点的轨迹，进而求解. 四、解答题（本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米， 千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【答案】（1）千米 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米． 【小问2详解】 在 中， ， 则， 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元． 16. 如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为，是几何体侧面上不在上的动点，是的直径，为上不同于，的动点，为的重心，. （1）证明：平面 ； （2）当三棱锥体积最大时，求直线与面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接并延长交于点，连接， 因为为的重心， 所以. 因为， 所以， 则， 所以. 又面 ，面 ， 所以面. ； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，然后根据条件证明即可； （2）当三棱锥体积最大时，平面平面，且和为等腰直角三角形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，然后算出的坐标和平面的法向量的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）当三棱锥体积最大时， 平面平面，且和为等腰直角三角形， 则. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ，，，. 所以，，. 设面的法向量为， 则 取，则，，故. 设与面所成角为， 则. 17. 已知函数（ 且 ） （1）判断的单调性； （2）若m，n为方程的两个根，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性； （2）利用得到是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，从而表示出，构造函数求解，即可得答案. 【小问1详解】 根据题意，， 令 ，可得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在和上单调递减. 【小问2详解】 由，， 可得，是关于的方程的两个不同的实根， 其中，得， 故，，即. 故 ， 设， ， 设， 则，所以为 上的增函数， 则.， 令，则， 所以在上单调递减，则， 所以，即， 所以为 上的增函数， 的最小值为， 故的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求最小值时，要利用得到，是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，从而表示出，构造函数求解. 18. 已知过点的双曲线的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证： ； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得 ， 设，由题意得， 所以 ，且， 所以 ， 所以，即 得证. （3） 由(2)可知 恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以 ， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 【解析】 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证 ，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为 ， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则 ， 所以双曲线的方程为 ，即 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 设p为素数，对任意的非负整数n，记，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”． （1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由； （2）判断并证明在，，，…，这个数中，有多少个数对p“协调”； （3）计算前个对p“协调”的非负整数之和． 【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调” （2）有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据n对p“协调”的定义，即可计算，即可求解， （2）根据n对p“协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”，即可根据引理求证． （3）将这个数分成p组，每组p个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， ，所以， ，所以， 所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”. 【小问2详解】 先证引理：对于任意的非负整数t，在中有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设，由于pt是p的倍数，所以，所以，即对于这一项的系数为， 所以， 根据整除原理可知，在中有且仅有一个数能被p整除， 所以在中有且仅有一个数对p“协调”． 接下来把以上个数进行分组，分成以下p组（每组p个数）： 根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p“协调”，所以共有p个数对p“协调”． 【小问3详解】 继续考虑这个数分成p组，每组p个数： 由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”．证明如下： 设某一列第一个数为， 则，所以， 同理当时，，所以当时， 集合中的p个数中有且只有1个数对p“协调”． 注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p， 所以p个数对p“协调”的数之和为：， 进一步，前个对p“协调”的非负整数之和为： 【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $