浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

高三数学 命题人：崔舒静 审题人：陈硕罡 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的前n项和为 满足若成等比，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 7. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 下列选项中，曲线与在上的交点个数不一样的是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 9. 已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 圆 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若 平面 ，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹和正方形的内切圆相切 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置，总有 D. 长度的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为 C. 当时，恒成立 D. 若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若“”是假命题，则实数a的取值范围是________. 13. 将正整数n分解成两个正整数，的积，即，当，的两数差的绝对值最小时，称为正整数n的最优分解，如为20的最优分解．当为n的最优分解时，定义，则数列的前2025项和为________． 14. 已知椭圆 ，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为________ 四、解答题（本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米， 千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 16. 如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为 ， 是几何体侧面上不在上的动点，是的直径，为上不同于，的动点，为 的重心，. （1）证明：平面 ； （2）当三棱锥体积最大时，求直线与面所成角的正弦值. 17. 已知函数（ 且 ） （1）判断的单调性； （2）若m，n为方程的两个根，求的最小值． 18. 已知过点的双曲线的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证： ； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 设p为素数，对任意的非负整数n，记，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”． （1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由； （2）判断并证明在，，，…，这个数中，有多少个数对p“协调”； （3）计算前个对p“协调”的非负整数之和． 高三数学 命题人：崔舒静 审题人：陈硕罡 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，共18分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共7小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）千米 （2）万元 【16题答案】 【答案】（1）连接并延长交于点，连接， 因为为 的重心， 所以. 因为， 所以， 则， 所以. 又面 ，面 ， 所以面. ； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得 ， 设，由题意得， 所以 ，且， 所以 ， 所以，即 得证. （3） 由(2)可知 恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以 ， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 【19题答案】 【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调” （2）有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $