精品解析：安徽省芜湖市2024-2025学年高一上学期1月教学质量监控（期末）数学试题

2024—2025学年度第一学期芜湖市中学教学质量监控 高一年级数学试题卷 注意事项： 1.本卷共四大题，19小题，满分100分，考试时间120分钟. 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页. 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 圆心角为，半径为2的扇形，其弧长为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，方程的根记为，且的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，未选全得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 图象关于点中心对称 B. 8为的周期 C. D. 方程在上共有1526个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知函数，则______. 13. 化简：______. 14. 已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共52分. 15. 已知集合为实数. （1）当时，求； （2）若，求的值. 16. 已知函数是偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）当时，求函数的值域. 17. 已知关于的不等式. （1）当不等式的解集为时，求的值； （2）若且不等式恒成立，求的最小值. 18. 如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. （1）当点与点重合时，求的值； （2）记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. 19. 给定两个函数和，则称为由这两个函数复合而成的复合函数，其中为内函数，为外函数，为自变量，为中间变量，为函数值，复合函数的单调性满足以下原则：已知函数在内单调，在内单调，且集合.若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数；若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数.已知函数. （1）求证：函数为奇函数； （2）请直接写出函数的单调区间； （3）若函数，求证：函数恰有两个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期芜湖市中学教学质量监控 高一年级数学试题卷 注意事项： 1.本卷共四大题，19小题，满分100分，考试时间120分钟. 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页. 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的. 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将全称量词改为存在量词，然后否定结论即可. 【详解】由全称命题的否定可得命题“”的否定是“”. 故选：D 2. 圆心角为，半径为2的扇形，其弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长的公式求解. 【详解】由，则. 故选：C 3. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】或， ， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的运算可得. 【详解】由题意“到第29天时荷花恰好开满了一半， 到第30天才会开满整个池塘”可得当时的值是时的值的二倍， 所以只有指数函数符合. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数和指数的运算比较即可. 【详解】，，， 所以. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】. 故选：B 7. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知函数，方程的根记为，且的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦函数图形的性质求解即可. 【详解】令可得， 所以或， 因为的最小值为， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，未选全得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B、C正确，由指数函数的单调性可得D正确； 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可得，故B正确； 对于C，若，由不等式的性质可得， 若，则，故C正确； 对于D，若，由指数函数的单调递增性质可得，故D正确； 故选：BCD 10. 已知，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由同角的三角函数，平方关系，二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】对于A，， 又，所以， 所以，故A错误； 对于B，；故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC 11. 已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 图象关于点中心对称 B. 8为的周期 C. D. 方程在上共有1526个不同的实数解 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇函数和中心对称性可得A正确；由可得B错误；由可得C正确；设，由周期性可得D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，即，所以图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，，所以， 所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以， 所以，所以8不为的周期，故B错误； 对于C，因为，所以， 又当时，，所以，所以，故C正确； 对于D，因为， 设，则 所以4为的周期， 又是定义在上的奇函数，所以，如图 所以方程等价于在上共有个不同的实数解. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知函数，如果存在区间，使得函数在上单调，且值域是］则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为存在两个不相等且大于等于的实数根，换元，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根， 令，则， 令，则 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共52分. 15. 已知集合为实数. （1）当时，求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用交集定义计算求解； （2）根据并集的结果得出，再分类讨论求解即可. 【小问1详解】 时，，. 【小问2详解】 ， （ⅰ）当时，.此时，不符合题意舍去. （ⅱ）当时，或2. 当时，，不符合题意舍去. 当时，符合. 综上：. 16. 已知函数是偶函数，当时，. （1）当时，求函数的解析式； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质可得； （2）由指数函数的单调性可得. 【小问1详解】 ，则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. 【小问2详解】 由（1）知 当， 当，的值域为. 17. 已知关于的不等式. （1）当不等式的解集为时，求的值； （2）若且不等式恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由方程根与系数的关系求解即可； （2）由一元二次不等式恒成立得到，再由基本不等式的乘“1”法可求. 【小问1详解】 由题意可知：为方程的根， 或， . 【小问2详解】 不等式恒成立， ，即，. （当且仅当时取等号）， 的最小值为4. 18. 如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记. （1）当点与点重合时，求的值； （2）记的面积为. （i）当时，求的值； （ii）若方程在的解为且.求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合三角形内角和即可得解； （2）（i）先求出面积表达式，然后代入求值即可；（ii）由题意得，结合三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 ，当与点重合时，，. 【小问2详解】 （i）在中，，. 当时，； （ii）在中，，. 当时，结合题意知： . 19. 给定两个函数和，则称为由这两个函数复合而成的复合函数，其中为内函数，为外函数，为自变量，为中间变量，为函数值，复合函数的单调性满足以下原则：已知函数在内单调，在内单调，且集合.若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数；若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数.已知函数. （1）求证：函数为奇函数； （2）请直接写出函数的单调区间； （3）若函数，求证：函数恰有两个零点，且. 【答案】（1） ，定义域为，， 则， 故，故函数为奇函数； （2） 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，理由如下： 当时，， 令， 任取， 则， 因为，所以，， 故，， 所以在上单调递增，又在上单调递增， 由复合函数性质可知，在上单调递增； 当时，， 令， 任取， 则， 因为，所以，， 故，， 所以在上单调递减，又在上单调递增， 由复合函数性质可知，在上单调递减， 同理可证在上单调递减； （3） 函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在区间上满足， 由零点的存在性定理可知在区间上有一个零点； 在区间上满足， 由零点的存在性定理可知在区间上有一个零点， 函数恰有两个零点； 设是函数的零点，又， 则也是函数的零点，又恰有两个零点， 所以且， 因此. 【解析】 【分析】（1）先得到定义域，并得到，故函数为奇函数； （2）时，，令，定义法判断的单调性，由复合函数得到的单调性，同理可得在上单调递减，在上单调递减； （3）变形为分段函数，结合（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，由特殊点函数值，结合零点存在性定理得到在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，函数恰有两个零点；且，也是函数的零点，进而. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，判断出的单调性，结合零点存在性定理得到函数恰有两个零点，又，从而得到且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $