江苏徐州市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次调研测试数学试题

徐州一中2026—2027学年度第一次调研测试 数 学 试 题 说明： 1. 请在答题卡/纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等。 2. 请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分。 3. 如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足：，则（    ） A．-1 B．-i C．1 D．i 3．已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 7．某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 8．在直角中，，是内一点，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两个线性相关变量，的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（      ） 1 2 4 5 8 11 15 25 45 A．当时，的估计值为 B． C．这组数据的样本中心为 D．样本相关系数 10．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（      ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 11．已知曲线C：，下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线：的一条渐近线方程为x—2y=0，则双曲线的离心率为______. 13．在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 14．设、都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 16．（本小题满分15分） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 19．（本小题满分17分） 已知． （1）证明：； （2）设，，已知，且对，． （i）若，求数列的前项和； （ii）若存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，求的所有取值． S 数学试题 第 2 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $徐州一中2026—2027学年度 数学试题参考答案 一、选择题： 1、C2、D3、A4、D5、A6、B7、B8、C 二、选择题： 9、AC10、ABD11、AC 三、填空题： 12、5 13.-114、2n2+2n 四、解答题： 15.(1)设A,=“第i次成功取款”(i=1,2), 则事件“不超过2次就成功取款可表示为A=AUA42· 则0P4P44)-4P风P41风列d品g写 (2)根据题意，X可能的取值为1,2,3. 记B=“最后1位密码为偶数”， P(X=)=P(4a)-=写 1 P(X=2)=P(44IB= A4)_10=1 P(B)151 2 P(X=3)=1-P(X=）-P(x=2)=3 所以X的分布列为 1 2 3 3 5 5 5 故随机变量x的期望E(X)=1×?+2×!+3×3-12 55 16.(1)由己知得3 iasinB-2 hcos4=b.d-2-c 2bc 又cos4=6+c2-a 2bc 所以V3 asinB=bcos4,又.a,= b sinA sinB' 评分参考第1页（共6页） 所以√3 sinAsinB=sinBcosA. 因为B∈(0，m),所以sinB≠0，所以tanA= ③ 3 又0<A<元，所以A=亚 6 (2)由a=2及4=2得： b c =4. 6 sinB sinC sinA 1 1 1 所以，SMc=besin A=亏×4sinB×4sinC×)=4 sin BsinC, 2 2 2 S.c=4sin B(sin B cos A+cos Bsin A) =2√3sin2B+sin2B =3(1-cos 2B)+sin 2B =V3+sin2B-√3cos2B =5+2an2B-引 因为A=T,所以B∈0,5马， 6 在aBC中，当B-径时，sm2B-到取得最大值1. 12 所以△ABC面积的最大值是√3+2. 17.(1)因为AB=4,AC=BC=√5，所以C0⊥AB,C0=1. 在直三棱柱ABC-ABC,中，有底面ABC⊥侧面AAB,B, 因为COc平面ABC,平面ABC∩平面AAB,B=AB, 所以CO⊥平面AABB. 在平面AABB内过O点作直线OE⊥AB,以OA,OE,OC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如 图所示空间直角坐标系. D B E A 评分参考第2页（共6页） 则A(2,0,0)，B(-2,0,0),C(0,0,1),A(2,4,0),D(0,2,1). 所以AD=（-2,-2,1),BD=(2,2,1), 设m=(x,片，)为平面ABD的一个法向量， m·AD=0,a-2x-2y+z1=0 mD=0得2x+2+名-0· 则 令x=1,则y=-1,=0,则m=(1,1,0) 又OC=(0,0,1).则m.0C=1×0+(-1)×0+0×1=0,所以m⊥0C. 又OCt平面ABD,所以OC∥平面ABD (2)由(1)可知，4C=AC=（-2,0,1),AD=（-2,-2,1). 设i=（x2,y2,2)是平面ADC的一个法向量， 则分4G=0 「-2x2+22=0 4D=0 得 -2x2-2y2+z2=0 令x2=1,则2=0，z2=2,则万=(1,0,2) 由(1)可知，平面ABD的一个法向量是m=(1,-1,0) mn 1V10 所以，cosm,i= m:V1+11+410 所以，二面角B-A,D-C的正弦值是V1-cos2m,n= 10 3V10 10 10 18.(1)圆E:(x+32+y2=16的圆心为E(-3,0),半径r=4, 线段PF的垂直平分线与直线PE交于点O,故|OPHOFI, 当线段PF的垂直平分线与射线EP相交时，IQEI-|QF曰QPI+|PE|-IQF曰PEF4, 当线段PF的垂直平分线与射线PE相交时，IOFI-IOE HOP|-OEHPE卡4， 所以OF-|QE=4<EF=6, 故点Q的轨迹是以EF为焦点的双苗线，设其方程为号若=a>06>0), 则2a=4,2c=6,则a=2,c=3,b2=c2-a2=5, 故点O的轨迹Γ的方程为。-上=1； 45 评分参考第3页（共6页） (2)(i)设直线y=a+m,A(x,),B(x2,y2), 52-4y=20'得(42-5r+8%mx+4m2+20=0, y=kx+m 联立 则4k2-5≠0，△=64k2m2-16(4k2-5)(m2+5)>0, -8km 4m2+20 +4k2-5=4k2-5’ 所以ke+k=当-2+凸-2_G+m-2色+m-2 x x2 x 2水+m2+2k±m-2700,解得m=5 x七2 放直线的方程为y=:多，即百线4B过定点(Q-》】 (设C(:,)D(,),则直线AC的方程为y=kx+2,其中k=当2 y=kx+2 联立 5x2-4y=20’可得(5-4)x2-16Mx-36=0, 则写g,将片=42以及5-4好=20代入可得： -36 x -36 -36.x3 -36x3 5-4-2 5x-4+16y-1620+16y-16, 则x4=w+:所以=马-2。》 2+2-异则 -9x320-3 4⅓3+1’4y3+1 同理B,9x,20-4 4y4+1'4y,+1 设直线B:y=2x+n,代入点4的坐标得20当=2×9%+n, 4y+14y3+1 整理得18x-(4n+1)3+20-n=0,同理可得18x4-(4n+)y4+20-n=0, 评分参考第4页（共6页） 所以可知直线CD的方程为18x-(4n+1)y+20-n=0,即18x-y+20-n(4y+1)=0, 18x-y+20=0 令 ,解得x=-9w二 4y+1=0 8y=-4 即直线CD过定点 19.1)因为jtanacos(a-F)=l+sin(a-m,即ino-=l+-sin(a-m, cosa 整理可得cosa=sinacos(a-P)-cosasin(a-B)=sin[a-(a-B)]=simB， 所以sinB=cosa. (2)由题意可知：a≠缸+号keZ, 因为smB=oa,即nan=as4,则au=s[经去a小 可得am-a,-子+2m或a+a,-受+2，keZ. 若am-a-+2,keZ,则-a=2,keZ, 因为-as受则k=0,可得am-a=子 此时对i≠j6,jeN),a≠a,符合题意； 若am+a-号+2，keZ,则a1-a=径+2a-2a5受 21 可得a≤a,≤+子asau≤+受keZ, 且a,≠a,则an≠m+ 4 设通推公式1：0-0，=子 递推公式2：a+a-受+2，低sa,≤a+受版≤an≤加+经a≠m+牙keZ: 2 综上所述：数列{an}满足递推公式1或2. 3π (i)若4=4，则n=1不满足递推公式2，根据递推公式1可得4，= 4 因为4-终，则a=2不满足莲推公式2，根据遍推公式1可得4-行 5π 依次类推，可知对任意n∈N均不满足递推公式2，可得a一a,=2, 可知数列a,}是以首项4-年公差为号的等差数列， 所以5子a+5-, 224 评分参考第5页（共6页） i)a经+keZ, 因为满足条件的数列{an}有且只有1个， 若aekm,a+π ,keZ,则有： 2 年，keZ, ①若a=红+子keZ,则m=1不满足递推公式2，根据递推公式1可得4=a+ 因为a2=kπ+ .ke乙。则m-2不满足道拉公式2，根据递推公式1可得%=标+牙，keZ 依次类推，可知对任意neN均不满足递推公式2，即a-a。=2 则数列{a}是以首项a,公差为的等差数列，此时数列{a,}有且只有1个，符合题意； ②若4=k:,keZ,根据递推公式1或2均可得a,=机+子keZ,不符合题意： @若a≠k血且4≠版+骨keZ,根据避推公式1或2可得4=4+受或4=2+分4，keZ。 2 此时a*c,所以a+受2+ g, 即4=4+受或4=2版+了4：keZ均满足数列a, 此时数列{an}不唯一，不合题意； 综上所述：a=m+刀， +4,k∈Z; 若a∈kc+乃，m+元，k∈Z,则n=1不满足递推公式2，根据递推公式1可得a=a+ 2 ①若4=+子，keZ,则马-++子keZ. 可知m-2不满足递推公式2，根据递推公式1可得4，=（体+x+环、k∈Z, 依次类推，可知对任意neN均不满足递推公式2，即a1一a,=2, 则数列{a,}是以首项a,公差为的等差数列，此时数列{a,}有且只有1个，符合题意： ②若4缸+子keZ,则马=-a+经（+x(低++引且a+k+子keZ. 根据递推公式1或2可得a=a+π或a=2km-a,k∈Z, 若a+π=2km-4,则a=-亚+m,显然不成立， 2 故a+π≠2(k+l)π-a,此时数列{an}不唯一，不合题意： 综上所述：4-经+子ke2 评分参考第6页（共6页）