浙江省绍兴市嵊州市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年浙江省绍兴市嵊州市九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分。请选出每小题中一个最符合题意的选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.(3分)若,则的值是( ) A.2 B. C. D. 2.(3分)二次函数y=(x﹣2)2+3的图象的顶点坐标是( ) A.(2,3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3) 3.(3分)元旦游园晚会上有一个闯关活动:将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中,其中10个白色,6个黄色,4个红色.任意摸出一个球,如果摸到红色小球才能过关,那么一次过关的概率是( ) A. B. C. D. 4.(3分)如图, ABO∽ CDO,则∠ 的度数是( ) A.30 B.35 C.40 D.45 5.(3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD=160 ,则∠BCD的度数是( ) A.110 B.100 C.90 D.80 6.(3分)如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高为1.5m,测得AB=2m,BC=8m,则建筑物CD的高是( ) A.6m B.6.5m C.7m D.7.5m 7.(3分)已知点都在函数y=x2+2x+4的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 8.(3分)如图,⊙O的半径为5,点C是弦AB上一点,若AB=8,设OC=x,则x的取值范围是( ) A.3≤x≤5 B.3<x≤5 C.4≤x≤5 D.4<x≤5 9.(3分)如图是由边长为1的小正方形组成的4 4网格,A,B,O三点均在格点上,则sin∠AOB的值是( ) A. B. C. D. 10.(3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,作BE⊥CD,DF⊥BC,BE,DF交于点G,连结BD,若BG=3,⊙O的半径为2,则tan∠CBD的值是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分) 11.(4分)把抛物线y=x2向上平移2个单位后得到抛物线y=x2+m,则m的值是 . 12.(4分)用抽签的办法从A,B,C三人中任选一人,选中A的概率是 . 13.(4分)在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,AB=5,则sin∠B的值是 . 14.(4分)如图,P是⊙O上一点,∠APB=60 ,⊙O的半径为3,则的长是 . 15.(4分)如图,在 ABC中,BD是AC边上的中线,E是BC上一点,过点E作EF∥AC交BD于点F,连结AE交BD于点O,若CE=2BE, EOF的面积为2,则 ADO的面积是 . 16.(4分)在平面直角坐标系中,我们称为“m蛋型”抛物线,如:称“2蛋型”抛物线,如图所示.点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上,其横坐标为1,现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转 度,A旋转后的对应点为A′,过A′作x轴的平行线,交旋转后的“4蛋型”抛物线于B′,若tan =2,则A′B′的值是 . 三、解答题(本大题有8小题,第171 9小题每小题6分,第20、21小题每小题6分,第22、23小题每小题6分,第24小题12分,共66分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 17.(6分)(1)计算:. (2)已知二次函数的顶点为(0,1),且经过点(1,0),求该二次函数的解析式. 18.(6分)有一个转盘如图,让转盘自由转动. (1)若转盘转动一次,求指针落在白色区域的概率. (2)若转盘转动两次,求一次落在白色,另一次落在灰色区域的概率(用树状图或列表法表示). 19.(6分)“腊月二十五,推磨做豆腐”.嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗.如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨,主要部件为一条磨凳,上下两个磨盘,一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等.图2是老石磨静止时的示意图,推拉杆AB及扶手CD平行于水平面,E是天花板顶部的拉钩,两根拉绳与扶手CD恰好组成等腰三角形CDE,此时拉钩E与扶手CD的中心点B所在的直线垂直于水平面.现测得推拉杆AB距地面的高度为1.2m,天花板顶部E距地面3.1m,若∠BCE=80 ,求两根拉绳的总长度至少为多少m. (结果精确到0.01m.参考数据:sin80 ≈0.98,cos80 ≈0.17,tan80 ≈5.67) 20.(8分)如图是由边长为1的小正方形组成的4 4网格,A,B,C三点均在格点上. (1)分别求与的值. (2)在网格中画 ABE,使A,B,E三点组成的三角形与 ABC相似.(只需画出一个) 21.(8分)如图,在 ABC中,D,E是BC上两点,AD=AE,且∠B=∠CAE. (1)求证: ABD∽ CAE. (2)若AE=3,CE=2,求BD的长度. 22.(10分)如图, ABC是⊙O的内接三角形,AB是直径,AD平分∠BAC,交BC于点E,交⊙O于点D,连接BD,AE=3,DE=1. (1)求证:∠ABD=∠BED. (2)求BD的长. (3)若∠AEB=126 ,求阴影部分的面积(结果保留 ). 23.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的交点为A(﹣1,0),B(3,0),与y轴的交点为C.P是抛物线第一象限上一点,过点P作x轴的垂线,交x轴于点F,交直线BC于点E. (1)求抛物线的函数关系式. (2)当PE=EF时,求点E的坐标. (3)连结PC,作点E关于PC的对称点E′,若E′落在y轴上,求点E的坐标. 24.(12分)如图,矩形ABCD中,AB=mBC,E是AB上一点,连结DE,过点D作DF⊥DE交直线BC于点F,连结EF交CD于点G,作DM⊥EF交EF于点M,交直线AB于点N. (1)若m=1,求值. (2)设tan∠BFE=k. ①若,求的值.(用含m的代数式表示) ②若 DMG的面积为S1, EMN的面积为S2,求的值.(用含m,k的代数式表示) 参考答案 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分。请选出每小题中一个最符合题意的选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.【分析】根据已知条件设a=3k,b=2k,再求出答案即可. 【解答】解:设a=3k,b=2k, 则 = = =, 故选:B. 【点评】本题考查了比例的性质,能选择适当的方法求解是解此题的关键,注意:如果=,那么ad=bc. 2.【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标. 【解答】解:∵抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3, ∴二次函数图象的顶点坐标是(2,3). 故选:A. 【点评】考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等. 3.【分析】直接利用概率公式计算. 【解答】解:一次过关的概率==. 故选:C. 【点评】本题考查了概率公式,某事件的概率等于这个事件所占有的结果数除以总的结果数. 4.【分析】根据三角形内角和定理求出∠D,再根据相似三角形的对应角相等求解即可. 【解答】解:∵∠C=95 ,∠DOC=50 , ∴∠D=180 ﹣∠C﹣∠DOC=35 , ∵ ABO∽ CDO, ∴∠ =∠B=∠D=35 , 故选:B. 【点评】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理,熟记相似三角形的性质是解题的关键. 5.【分析】根据圆周角定理求出∠BAD,再根据圆内接四边形的性质求出∠BCD. 【解答】解:∵∠BOD=160 , ∴∠BAD=∠BOD=80 , ∵四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠BAD+∠BCD=180 , ∴∠BCD=180 ﹣80 =100 , 故选:B. 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 6.【分析】根据题意可得:DC⊥AC,EB⊥AC,从而可得∠DCA=∠EBA=90 ,然后证明A字模型 ABE∽ ACD,从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答. 【解答】解:由题意得:DC⊥AC,EB⊥AC, ∴∠DCA=∠EBA=90 , ∵∠A=∠A, ∴ ABE∽ ACD, ∴=, ∴=, 解得:CD=7.5, ∴建筑物CD的高是7.5m, 故选:D. 【点评】本题考查了相似三角形的应用,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 7.【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上,对称轴是直线x=﹣1,根据x>﹣1时,y随x的增大而增大,即可得出答案. 【解答】解:∵y=x2+2x+4=(x+1)2+3, ∴图象的开口向上,对称轴是直线x=﹣1, ∵﹣1<<3, ∴y2>y3>y1. 故选:C. 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质等知识点的理解和掌握,能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键. 8.【分析】当C与A或B重合时,OC最长,当OC垂直于AB时,OC最短,即可求出x的范围. 【解答】解: 当C与A(B)重合时,OC=x=5; 当OC垂直于AB时,可得出C为AB的中点, 在Rt BOC中,OB=5,BC=AB=4, 根据勾股定理得:OC=x==3, 则x的范围为3≤x≤5. 故选:A. 【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 9.【分析】连接AB,分别过点O和点A作AB及OB的垂线,垂足分别为M,N,利用面积法求出AN的长再结合正弦的定义即可解决问题. 【解答】解:连接AB,分别过点O和点A作AB及OB的垂线,垂足分别为M,N, 由勾股定理得, OA=OB=, AB=. ∵OA=OB,OM⊥AB, ∴AM=. 在Rt OAM中, OM=. ∵, ∴AN==. 在Rt OAN中, sin∠AOB==. 故选:A. 【点评】本题主要考查了解直角三角形,能通过辅助线构造出合适的直角三角形、熟知正弦的定义及巧用面积法是解题的关键. 10.【分析】根据AC是⊙O的直径得∠ABC=∠ADC=90 ,再根据BE⊥CD,DF⊥BC得BE∥AD,AB∥DF,则四边形ABGD是平行四边形,进而得AD=BG=3,AC=4,则CD=,tan∠CAD==,根据圆周角定理得∠CBD=∠CAD,据此即可得出tan∠CBD的值. 【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径, ∴∠ABC=∠ADC=90 , 即AB⊥BC,AD⊥CD, ∵BE⊥CD,DF⊥BC, ∴BE∥AD,AB∥DF, ∴四边形ABGD是平行四边形, ∴AD=BG, ∵BG=3,⊙O的半径为2, ∴AD=BG=3,AC=4, 在Rt ADC中,由勾股定理得:CD==, ∴tan∠CAD==, 根据圆周角定理得:∠CBD=∠CAD, ∴tan∠CBD=tan∠CAD=. 故选:C. 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质,圆周角定理,解直角三角形,熟练掌握圆周角定理,正切函数的定义是解决问题的关键. 二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分) 11.【分析】按照“上加下减”的规律作答. 【解答】解:把抛物线y=x2向上平移2个单位后得到抛物线y=x2+2,则y=x2+m=x2+2,所以m=2. 故答案为:2. 【点评】主要是考查二次函数的平移.熟练掌握“左加右减,上加下减”是解题的关键. 12.【分析】根据概率公式求解即可. 【解答】解:用抽签的办法从A、B、C三人中任选一人,共三种情况,选中A的概率是. 故答案为:. 【点评】本题考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 13.【分析】根据锐角的正弦值的定义解决此题. 【解答】解:在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,AB=5, 则sin∠B==. 故答案为:. 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键. 14.【分析】连接OA,OB,根据圆周角定理得出∠AOB的度数,再结合弧长的公式即可解决问题. 【解答】解:连接OA,OB, ∵∠APB=60 , ∴∠AOB=2∠APB=120 . 又∵⊙O的半径为3, ∴的长为:. 故答案为:2 . 【点评】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理,熟知圆周角定理及弧长的计算公式是解题的关键. 15.【分析】根据EF∥AC得出 BEF∽ BCD,进而得出,再由BD是AC边上的中线得出CD=AD,进而,最后由 EFO∽ ADO及 EOF的面积为2即可解决问题. 【解答】解:∵EF∥AC, ∴ BEF∽ BCD, ∴. ∵CE=2BE, ∴. ∵BD是AC边上的中线, ∴CD=AD, ∴. ∵EF∥AC, ∴ EFO∽ ADO, ∴. 又∵S EOF=2, ∴S ADO=18. 故答案为:18. 【点评】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质,熟知平行线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键. 16.【分析】根据题意画出函数图象和旋转后的图象,由旋转的性质构造全等三角形,将A'B'转化成全等三角形的对应线段进行求值,最后利用tan =2及勾股定理列出方程即可求解. 【解答】解:由题意知,“4蛋型”抛物线的解析式为|y|=﹣x2+4(﹣2≤x≤2),A(1.3),如图: 设旋转前B'在原图象的B''处,连接OA、OA'、OB'、OB''、AB'',A'B'与AB''交于点C, 由旋转的性质知, AOB''≌ A'OB',∠B'CB''≌∠AOA'= , ∴A'B'=AB'',∠ACA'=∠B'CB''= , 过点A作AE⊥x轴,过点B''作B''E⊥y轴, 则∠AEB''=90 ,且A'B'∥B''E, ∴∠AB''E=∠ACA'= , ∵tan =2, ∴tan∠AB''E=2, 设B''(t,f2﹣4),则AE=3﹣(t2﹣4)=7﹣t2,B''E=1﹣t, ∴, 解得:, 由图知t<0, ∴, ∴,,, , ∴, 故答案为:. 【点评】本题考查了二次函数的图象、勾股定理、旋转及全等三角形,灵活运用以上知识点是解题的关键. 三、解答题(本大题有8小题,第171 9小题每小题6分,第20、21小题每小题6分,第22、23小题每小题6分,第24小题12分,共66分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 17.【分析】(1)依据题意,可得﹣ =﹣=﹣1,进而得解; (2)依据题意,设抛物线为y=ax2+1,结合图象过(1,0),则a+1=0,求出a后即可判断得解. 【解答】解:(1)原式=﹣ =﹣ =﹣1. (2)由题意,设抛物线为y=ax2+1, 又∵过(1,0), ∴a+1=0. ∴a=﹣1. ∴二次函数为y=﹣x2+1. 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、实数的运算、特殊角的三角函数值,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. 18.【分析】(1)直接由概率公式求解即可; (2)画树状图,共有9种等可能的结果,其中一次落在白色,另一次落在灰色区域的结果有4种,再由概率公式求解即可. 【解答】解:(1)由题意可知,360 120 =3, ∴转盘面积是白色区域面积的3倍, ∴转盘转动一次,指针落在白色区域的概率为; (1)画树状图如下: 共有9种等可能的结果,其中一次落在白色,另一次落在灰色区域的结果有4种, ∴一次落在白色,另一次落在灰色区域的概率为. 【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 19.【分析】易得EB的长度,进而根据80 的正弦值可得EC的长度,也就是ED的长度,相加即为两根拉绳的总长度. 【解答】解:如图:EB⊥CD,ED=EC, ∴∠EBC=90 , 由题意得:EB=3.1﹣1.2=1.9(m), ∵∠BCE=80 , ∴EC=≈1.94(m), ∴ED≈1.94(m), ∴EC+ED≈3.88(m). 答:两根拉绳的总长度至少为3.88m. 【点评】本题考查解直角三角形的应用.把生活中的立体图形转化为数学中的平面图形是解决本题的关键. 20.【分析】(1)判断出AB=2,BC=2可得结论; (2) ABC的边长分别为2,2,2,画一个边长为,2,的 ABE即可. 【解答】解:(1)∵AB=2,BC==2, ∴==,==; (2)如图, ABE即为所求. 【点评】本题考查作图﹣位似变换,解题的关键是掌握位似变换的性质. 21.【分析】(1)由AD=AE,得∠ADE=∠AED,则∠ADB=∠CEA,而∠B=∠CAE,即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明 ABD∽ CAE; (2)由相似三角形的性质得=,因为AD=AE=3,CE=2,所以BD==. 【解答】(1)证明:∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED, ∴180 ﹣∠ADE=180 ﹣∠AED, ∵∠ADB=180 ﹣∠ADE,∠CEA=180 ﹣∠AED, ∴∠ADB=∠CEA, ∵∠B=∠CAE, ∴ ABD∽ CAE. (2)解:∵ ABD∽ CAE, ∴=, ∵AD=AE=3,CE=2, ∴BD===, ∴BD的长度是. 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识,推导出∠ADB=∠CEA,进而证明 ABD∽ CAE是解题的关键. 22.【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90 ,再根据直角三角形的性质、角平分线的定义证明; (2)证明 BDE∽ ADB,根据相似三角形的性质求出BD; (3)连接OD,过点O作OH⊥DB于H,根据垂径定理求出DH,根据勾股定理求出OH,根据圆周角定理求出∠DOB=72 ,再根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可. 【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 , ∴∠BAD+∠ABD=90 ,∠CBD+∠BED=90 , ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∵∠CBD=∠CAD, ∴∠BAD=∠CBD, ∴∠ABD=∠BED; (2)解:∵∠ABD=∠BED,∠BDE=∠ADB, ∴ BDE∽ ADB, ∴=,即BD2=DE•AD=1 4=4, ∴BD=2(负值舍去); (3)解:如图,连接OD,过点O作OH⊥DB于H, 则BH=BD=BD=1, 由勾股定理得:AB===2, ∴OH==2, ∵∠AEB=126 , ∴∠AEC=180 ﹣126 =54 , ∴∠CAD=90 ﹣54 =36 , ∴∠DOB=72 , ∴S阴影部分=S扇形BOD﹣S BOD=﹣ 2 2= ﹣2. 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、圆周角定理、扇形面积计算,掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键. 23.【分析】(1)由题意得:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3)=ax2+bx+3,即可求解; (2)设P(x,﹣x2+2x+3),则E(x,﹣x+3),则PE=﹣x2+3x=EF=﹣x+3,即可求解; (3)证明四边形EPE′C为菱形,则PE=﹣x2+3x=CE=x,即可求解. 【解答】解:(1)由题意得:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3)=ax2+bx+3,则a=﹣1, 则抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3; (2)由抛物线的表达式知,点C(0,3), 由点B、C的坐标得,直线BC的解析式为y=﹣x+3; 设P(x,﹣x2+2x+3),则E(x,﹣x+3), ∴PE=﹣x2+3x=EF=﹣x+3,则x=1或3(舍去), 即点E(1,2); (3)∵E点和E′点关于直线PC对称, ∴∠E′CP=∠ECP,E′C=CE,E′P=EP, 又∵PD⊥x轴, ∴PE∥E′C, ∴∠EPC=∠E′CP, ∴∠EPC=∠ECP, ∴EP=EC, ∴EC=EP=PE′=E′C, ∴四边形EPE′C为菱形, 由抛物线的表达式知,点C(0,3), 由点B、C的坐标得,直线BC的解析式为y=﹣x+3; 设P(x,﹣x2+2x+3),则E(x,﹣x+3), ∴PE=﹣x2+3x=CE=x, 则x=3﹣, 则点E(3﹣,). 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系. 24.【分析】(1)证明 ADE∽ CDF,即可得到; (2)①利用等角的余角相等求得∠MDG=∠CFG,得到,求得,据此计算即可求得; ②先利用正切函数的定义求得,再证明 DMG∽ NME,据此求解即可. 【解答】解:(1)∵矩形ABCD,AB=mBC, ∴,∠EDF=∠ADC=90 , ∴∠ADE=∠CDF=90 ﹣∠EDC, ∵∠DAE=∠DCF=90 , ∴ ADE∽ CDF, ∴; (2)①∵DM⊥EF, ∴∠DMG=∠FCG=90 , ∵∠DGM=∠FGC, ∴∠MDG=∠CFG, ∴,, ∴, 即, ∴, ∴, ∴; ②由(1)得,∠EDF=90 , ∴,, ∴, ∵CD∥AB, ∴ DMG∽ NME, ∴. 【点评】本题考查了相似形的综合应用,主要考查相似三角形的判定和性质,三角函数的定义,矩形的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 学科网(北京)股份有限公司 $$