精品解析：湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

祁东县2024年下期期末教学质量监测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有唯一正确答案） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，是解题的关键． 【详解】解：A．为最简二次根式，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 过马路时恰好遇到红灯 C. 明天太阳从西边出来 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类成为解题的关键． 根据必然事件、随机事件、不可能事件的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，符合题意； B．过马路时恰好遇到红灯是随机事件，不符合题意； C． 明天太阳从西边出来是不可能事件，不符合题意； D． 抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； 故选：A． 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的加法乘除运算，根据二次根式的性质，二次根式的加法乘除运算法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选： ． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 7. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点 ，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ，，， 选项A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，，进而根据正切的定义计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故选： ． 9. 某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡 的坡比是，坝高，则迎水坡 的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出 的长是解题的关键． 利用坡比的定义得出 的长，进而利用勾股定理求出 的长． 【详解】解：∵迎水坡 的坡比是，坝高， ， 解得：， 则． 故选：B． 10. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当 时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当 时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有 ，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 13. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 15. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解： 方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 16. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点 分别是的中点．若，则该工件内槽宽 的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点 分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 17. 已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________．（用“＞”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴ 时取得最小值， ∵点关于直线的对称点为 ， ． 故答案为：． 18. 如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据30°角的性质，勾股定理，求得OB=，根据△，△，△是等边三角形，判定△ ，△，△等都是含有30°角的直角三角形，依次运用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半计算，找到规律计算即可． 【详解】因为点C（0，1），A（0，0），∠ABC=30°， 所以CB=2，OB=． 因为△，△，△是等边三角形， 所以60° ， 所以=90° ，=90° ，=90° ， =30° ， 所以，，, 所以第10个等边三角形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，边长的规律，熟练掌握直角三角形的性质，准确探索规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用约分，通分，因式分解化简计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 21. 已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）所求见解析；（2）所求见解析；B2(10，8) ． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出图形即可； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：△即为所求： （2）如图所示：△即为所求； 【点睛】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键． 22. 如图，四边形 为菱形，点E在 的延长线上，． （1）求证： ； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴ ，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴ ，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出 ，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 23. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由 乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为： （名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为： ， 故答案为：50， ； 【小问2详解】 解：D的人数为： （人） ∴C的人数为： （人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 24. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）6元 （3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， 【小问2详解】 解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； 【小问3详解】 解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 25. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶 ，吊顶和地面 所在的直线都平行，点 在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点 到地面 的距离； （2）求顶部线段 的长．（结果精确到 ，参考数据：，，，） 【答案】（1）点 到地面 的距离为； （2）顶部线段 的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点 作，交 的延长线于点 ，由得，在 中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为 由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在 中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点 作，交 的延长线于点 ， 在 中 答：点 到地面 的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在 中 答：顶部线段 的长为 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与 轴交于点 ． （1）求二次函数的解析式及点 的坐标； （2）点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作轴于点 ，与直线 交于点 ，设点 的横坐标为． ①为何值时线段 的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点 ，使得与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时， 有最大值为；②当P的坐标为或时，与 相似 【解析】 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线 解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线 解析式为 ， 则， 解得， ∴直线 解析式为， 当 时，， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ ， ∴当时， 有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把 代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与 相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东县2024年下期期末教学质量监测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有唯一正确答案） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 过马路时恰好遇到红灯 C. 明天太阳从西边出来 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点 ，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 9. 某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 13. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 15. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 16. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点 分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 17. 已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________．（用“＞”连接） 18. 如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________ 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 22. 如图，四边形为菱形，点E在 的延长线上，． （1）求证： ； （2）当时，求的长． 23. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 24. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 25. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面 所在的直线都平行，点 在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面 的距离； （2）求顶部线段 的长．（结果精确到 ，参考数据：，，，） 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线上方时，过点 作轴于点，与直线交于点，设点 的横坐标为． ①为何值时线段 的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点 ，使得与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $