第二十一章 代数方程【单元卷·考点卷】（11大核心考点）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十一章 代数方程【单元卷·考点卷】（11大核心考点） 考点一 一元整式方程（共5题） 1．不解方程，判断方程的根的情况 【答案】无实数根 【分析】根据△＞0时，方程有两个不等实数根；△=0时，方程有两个相等实数根；△＜0时，方程无实数根，可得结论． 【详解】由方程得: ∵△=-4 ＜0， ∴方程没有实数根． 故答案为无实数根 【点睛】本题考查的知识点是二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题． 2．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可． 【详解】由题意得：， ∴m=1， 原方程变为：﹣x2+2=0， x=， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】根据因式分解法可以解答此方程． 【详解】∵（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，∴[（x2+y2）﹣5][（x2+y2）+1]=0，∴x2+y2=5或x2+y2=﹣1（舍去）． 故答案为5． 【点睛】本题考查了换元法解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法，将x2+y2看做一个整体，注意x2+y2是非负数． 4．解方程 【答案】x= 【分析】按照解方程的步骤：去分母、移项、合并同类式． 【详解】解：去分母，得3x+=4x， 移项、合并同类项，得x=． 【点睛】此题先去分母，可是计算简便，注意“1”不含分母，也要乘以最小公分母． 5． 【答案】x1=-1，x2=-. 【分析】把看成一个整体，将方程左边分解因式，得到两个关于x的一元一次方程，然后解两个一元一次方程，即可得原方程的解. 【详解】(2x+1)²+3（2x+1）+2=0 （2x+1+1）（2x+1+2）=0 2x+2=0，2x+3=0 x1=-1，x2=-. 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法. 考点二 二项方程（共5题） 6．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 【答案】D 【分析】根据二项方程的定义，无理方程的定义，二元二次方程的定义，分式方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程的左边两项都含未知数，故本选项不符合题意； B．根号内没有未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意； C．分母中不能未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； D．方程是二元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、无理方程、二元二次方程、分式方程的定义等知识点，注意：根号内含有未知数的方程，叫无理方程，分母中含有未知数的方程，叫分式方程． 7．下列关于的方程中，二项方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二项方程的概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x的一元n次二项方程的一般形式为：（是正整数）；根据此定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程左边含有未知数的两个项，缺少非零的常数项，且右边不为零，故不符合二项方程的定义； B、方程左边含有未知数的两个项，缺少非零的常数项，故不符合二项方程的定义； C、方程左边只含有未知数的一项，缺少非零的常数项，故不符合二项方程的定义； D、符合二项方程的定义； 故选：D． 8．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键． 9．方程 二项方程（填“是”或不是） 【答案】不是 【分析】根据二项方程的定义判断即可. 【详解】解：根据二项方程的定义可知，方程不是二项方程， 故答案为不是. 【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0． 10．有一个解为，那么这个方程的另一个解为 ． 【答案】 【分析】将代入原方程求出m的值，再把m的值代回原方程，通过直接开平方法解原方程，得到方程的两个解，可得答案． 【详解】将代入方程，得，即， 故原方程为：， 移项，得：， 两边直接开4次方，得：或， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二项方程，根据方程的解求得字母的值是解题的关键． 考点三 分式方程的解法（共5题） 11．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解方程．根据题意将直接换元即可得到答案． 【详解】解：设，则， 则可将原方程变形为， 化为一般形式为． 故答案为：． 12．解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后再进行检验，进而得出答案． 【详解】解：， 在方程两边同乘以，得： 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的解． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．， （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1） 去分母得， 整理得， 或 解得或， 检验：当时， ∴是原方程的增根，应舍去； 当时， ∴原方程的解为； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 14．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，化简为，再去括号合并同类项得，再运用因式分解法进行解方程，注意验根，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 解得 经检验：是原分式方程的解；是原分式方程的增根 ∴方程的解为 15．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查方式方程的解法．去分母，把分式方程化为整式方程，解得x的值，最后检验． 【详解】解：整理得， 去分母得， 整理得，即， 解得或， 经检验是增根，是方程的解， 故方程的解为． 考点四 分式方程的增根问题（共5题） 16．如果关于的方程的有增根，那么则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握解决增根问题的步骤是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，然后再确定增根的值，再将增根代入化为整式方程的方程求出k的值即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得：， ∵方程有增根， ∴，解得：， 把代入中可得：． 故答案为：． 17．在去分母解关于的分式方程的过程中产生增根，则 ． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，再由分式方程有增根，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， 将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：4 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． ． 18．当m为何值时，方程会产生增根？ 【答案】m=-2或m=4 【分析】先去分母得，整理得，由于关于a的方程 会产生增根，则=0，解得a=-1 或a=1，然后把a=-1 或a=1分别代入即可得到m的值． 【详解】解：原方程化为 方程两边同时乘以 得， 整理得， ∵关于a的方程会产生增根， ∴=0， ∴a=-1 或a=1， ∴当a=-1时，，解得m=-2， 当a=1时，，解得m=4， ∴m=-2或m=4时，原方程会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根． 19．若解分式方程产生增根，则m的值是多少？ 【答案】m=1或m=-2. 【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x+1）化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值． 【详解】方程两边都乘以x（x+1）得， 2x2-m-1=（x+1）2， 若分式方程产生增根，则x（x+1）=0， 解得x=0或x=-1， 把代入整式方程，得解得； 把代入整式方程，得解得 ∴m=1或m=-2. 【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可． 20．若关于x的方程有增根，求k的值． 【答案】5 【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值． 【详解】解：原方程化为． 方程两边都乘 得 由分式方程有增根 得 解得或 把代入整式方程，得，矛盾，舍去； 把代入整式方程，得． ∴k的值是5． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键． 考点五 分式方程的无解问题（共5题） 21．已知关于x的分式方程无解，则m可能的值为（　　） A． B．和0 C．0和和 D．0和 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的两种情况，整式方程本身无解，分式方程产生增根是关键．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时，整式方程无解， 当时，分母为0，方程无解，即， 当时，分母为0，方程无解，即． 故选：C． 22．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．或 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键． 根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解： 分式方程两边同乘以得： 令最简公分母为0，即解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：时，原分式方程无解． 故选：A． 23．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】或22或 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，转换为整式方程，解方程即可． 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当时，原方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，方程无解，也符合题意． 故答案为：或22或． 24．若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾； 或，， ∴． 故答案为：0或3． 25．给定关于x的分式方程，求： (1)m为何值时，这个方程的解为？ (2)m为何值时，这个方程无解？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答． （2）无解即为分母为0的情况，进行列式代入数值，进行计算即可． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ 解得 （2）解：∵，且该方程无解 ∴或者原分式方程的分母为0，即 ∴ 把代入，得 ∴ 综上：或，方程无解． 考点六 根据分式方程解的情况求值（共5题） 26．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 27．已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程解的意义，将代入分式方程后即可得出答案．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：C． 28．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 29．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据一元一次不等式组和分式方程解的情况求参数，解题的关键在于找出所有符合条件的数．先解一元一次不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解找出符合条件的值，最后求和，即可解题． 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 30．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 考点七 分式方程的实际应用（共5题） 31．某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)学习委员说得对，见解析 (2)3或9 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对． （2）解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得． ∵a为正整数， ∴， 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9． 32．某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生，准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4元，而用300元购买A种文具的数量是用200元购买B种文具的数量的2倍． (1)求A种文具的单价； (2)根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的总费用不超过2820元，求学校购买A种文具数量至少多少件？ 【答案】(1)A种文具的单价为元 (2)学校购买A种文具数量至少件 【分析】（1）根据题意列分式方程并求解，即可得到答案； （2）根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】（1）设A种文具的单价为元，则B种文具的单价为元 根据题意，得： ∴ ∴ 经检验，是原分式方程的解 ∴A种文具的单价为元 （2）设购买A种文具数量为件，则购买B种文具数量为件 根据题意，得： ∴ ∴学校购买A种文具数量至少件． 【点睛】本题考查了分式方程、一元一次不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的应用，从而完成求解． 33．无锡水蜜桃享誉海内外，老王用3000元购进了一批水蜜桃．第一天，很快以比进价高40% 的价格卖出150千克．第二天，他发现剩余的水蜜桃卖相已不太好，于是果断地以比进价低20%的价格将剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共获利750元． (1)求这批水蜜桃进价为多少元？ (2)老王用3000元按第一次的价格又购进了一批水蜜桃．第一天同样以比进价高40% 的价格卖出150千克，第二天，老王把卖相不好的水蜜桃挑出，单独打折销售，售价为10元/千克，结果很快被一抢而空，其余的仍按第一天的价格销售，且当天全部售完．若老王这次至少获利1000元，请问打折销售的水蜜桃最多多少千克？（精确到1千克．） 【答案】(1)水蜜桃的进价为15元/千克 (2)打折销售的水蜜桃最多18千克 【分析】（1）设水蜜桃的进价为x元/千克，则降价销售了（(3000x−150)千克，根据利润=销售收入-成本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价出÷单价可求出第二批购进水蜜桃的重量，设打折销售了y千克水蜜桃，则原价销售了（200-y）千克水蜜桃，根据利润=销售收入-成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最大的整数即可得出结论． 【详解】（1）解：设水蜜桃的进价为x元/千克，则降价销售了（﹣150）千克， 根据题意得：150×（1+40%）x+（﹣150）×（1﹣20%）x﹣3000＝750， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意． （2）购进第二批水蜜桃的重量为3000÷15＝200（千克）， 设打折销售了y千克水蜜桃，则原价销售了（200﹣y）千克水蜜桃， 根据题意得：15×（1+40%）×（200﹣y）+10y﹣3000≥1000， 解得：y≤18． 所以打折销售的水蜜桃最多18千克． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 34．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价） 【答案】（1）购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当；种70件，种30件时可获利最多；当，种60件，种40件时可获利最多 【分析】（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意得出分式方程，解方程组即可得出结论； （2）设购进种纪念品件，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出结论； （3）找出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，由一次函数的性质确定总利润取最值时的值，从而得出结论． 【详解】解：（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知： ，解得：， ． 答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元． （2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得： ， 解得：， 只能取正整数， ，共有11种情况， 故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件． （3）销售总利润为， 商家出售的纪念品均不低于成本价， ， 根据一次函数的性质， 当时，即， 随着增大而增大， 当时，取到最大值； 即方案为：种70件，种30件时可获利最多； 当时，即， 随着增大而减小， 当时，取到最大值； 即方案为：种60件，种40件时可获利最多． 【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的分式方程；（2）列出关于购买种纪念品件数的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题． 35．北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志着京张高铁延庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务中心是集高铁、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施，该中心将在冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李计划周末到延庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？ 【答案】km/h 【分析】根据驾车速度是骑自行车速度的4倍可以分别分别设出自行车速度为x，驾车速度为4x，根据两种交通方式的时间差为45分钟列分式方程解题即可． 【详解】解：设骑自行车的平均时速为km/h，则驾车的平均时速为km/h， 由题意 得：        解得     经检验：是所列方程的解，且符合实际问题的意义．        当时， 答：小李驾车的平均时速为km/h． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，难度一般，注意解分式方程时要检验，列方程时注意单位要化统一． 考点八 分式方程的新定义问题（共5题） 36．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得：， 把代入得，， ∴是原方程的解， 故选；A． 37．定义运算“※”：．若，则x的值为（    ） A． B．或10 C．10 D．或 【答案】B 【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出的值． 【详解】解：当时，，即：， 解得：； 经检验是分式方程的解； 当时，，即， 解得：； 经检验是分式方程的解； 故答案为：或． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验． 38．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中新运算法则列分式方程求解即可． 【详解】解：由题意，方程为， 即， 去分母，得， 去括号，得 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 经检验，是分式方程的解， 故选：A． 【点睛】本题考查解分式方程，理解题中新运算法则，正确列出分式方程是解答的关键． 39．定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 40．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 考点九 无理方程（共5题） 41．解方程 【答案】 【分析】本题考查了无理方程，理解转换思想是解题的关键．先通过两边平方把方程转化为有理方程，再求解． 【详解】解：， 移项得：， 两边分别平方得：， 移项、合并同类项得：， 两边再平方得：， 解这个整式方程得：或， 当时，左边右边， 不是原方程的解， 当时，左边右边， 是原方程的解， 原方程份解为． 42．回读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： (1)已知，则的值为______； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解无理方程，二次根式的混合运算，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键． （1）根据题目所给方法，可求的值，然后结合，即可求出的值； （2）根据题目所给方法，可求，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又， ∴ ∴； 故答案为： （2）解： ， 又， ∴， 两式相加，得， 两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 43．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了无理方程的解法． 先把移到等号的右边，再两边进行平方，得到，解一元二次方程从而得出x的值，再进行检验即可. 【详解】解：将原方程移项得， 两边平方得， 化简得， 移项、合并同类项得， 解得或， ∵ ∴不是原方程的解， ∴原方程的解为. 44．【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 (1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： (2)解下列方程：①；②． 【答案】(1)； (2)①，，；②． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二次方程， （1）分别将，代入原无理方程，查看等式是否成立，即可求解； （2）①用因式分解法将原方程分解成三个一元一次方程，解一元一次方程即可；②按照题意步骤，求解方程，最后检验方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入原无理方程，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入原无理方程，可得：左边，左边右边，方程不成立，不符合题意； 故答案为：； （2）解：①， ， ， ∴或或， ∴，，； ②， 移项，得， 两边平方，得， 整理后，得， 解这个一元二次方程，得，， 将代入，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入，可得：左边，右边，左边右边，不符合题意，舍去； 综上，． 45．阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 【答案】(1)，，， (2)， (3)， 【分析】本题考查换元法解方程，根据题目换元法思路解题即可； （1）设，则原方程可变为，解方程即可； （2）设，则原方程可变为，解方程即可； （3）设，则原方程可变为，解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，所以； 当时，，所以； 所以原方程有四个根：，，，； （2）解：设，则原方程可变为， 去分母得， 解得，， 经检验，是的根， 当时，，解得，经检验是的根； 当时，，解得，经检验是的根； 所以原方程有两个根：，； （3）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以原方程有两个根：，． 考点十 二元二次方程和方程组（共5题） 46．解方程组： 【答案】或或 【分析】本题主要考查了解二元二次方程，先由①得到，则或，再讨论当时，当，即时，两种情况根据②解方程组即可． 【详解】解：由①得：， ∴或， 当时，则，解得或， ∴方程组的解为或； 当，即时，则，解得， ∴方程组的解为， 综上所述，方程组的解为或或． 47．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 将方程①因式分解得出方程，将②代入得到，解二元一次方程组即． 【详解】解：， 由①得，， 将②代入，③， ②③得，，解得：， ②③得，，解得：， 则方程组的解为． 48．解方程组： 【答案】 或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．把因式分解为，从而把原方程转化为或，然后分别解两个二元一次方程即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或 解得或． 49．解方程组： 【答案】或或或 【分析】本题考查的是二元二次方程组的解法，先把方程组通过因式分解化为或或或，再解方程组即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴或， 由②得：， ∴或， ∴或或或； 解得：或或或． 50．解方程组． 【答案】， 【分析】本题考查解二元二次方程组，将二元二次方程化成两个二元一次方程组，分别解出两个二元一次方程组即可． 【详解】解：原方程组可以化为：或．     解方程组，得．     解方程组，得．    ∴原方程组的解为，． 考点十一 上海地区特色题（共5题） 51．解方程： 【答案】此方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．观察可得最简公分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 移项、化简得， 检验：当时，，所以是增根， 因此，原方程无解． 52．先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可； （2）令原代数式的值等于，求出a的值，代入原式进行检验即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：能， 由（1）知，原代数式为， 令， 解得， 经检验，符合题意． 53．在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 【答案】(1) (2)原计划每天制作把 【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，设原计划每天制作把，则实际每天制作把，根据“因此提前1天完成”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入函数解析式得：， 解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，， 设原计划每天制作把，则实际每天制作把， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴原计划每天制作把． 54．解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法；其基本思想是用代入法消元；由第一个方程变形得，再代入第二个方程中，求得x的值，即可求得y的值，从而求解． 【详解】解：： 由①得：； 把③代入②中， 整理得：， 解得：， 把上述值代入③中，得：， 故方程组的解为：，． 55．“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本， (1)求A、B两类图书每本的进价： 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解 乙：，解得，经检验是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________． (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【答案】(1)B类图书每本进价；A类图书的数量 (2)书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）根据“书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本”和“书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元”列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B类图书每本进价； 乙所列方程中的表示A类图书的数量； 故答案为：B类图书每本进价；A类图书的数量； （2）根据甲同学计算可得：A类图书每本进价元，B类图书每本进价30元， 根据题意得：， 解得：， ∴书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本， 答：书店分别购进了A类图书50本，B类图书70本． 4 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 代数方程【单元卷·考点卷】（11大核心考点） 考点一 一元整式方程（共5题） 1．不解方程，判断方程的根的情况 2．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是 ． 3．若，则 ． 4．解方程 5． 考点二 二项方程（共5题） 6．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 7．下列关于的方程中，二项方程是（    ） A． B． C． D． 8．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 9．方程 二项方程（填“是”或不是） 10．有一个解为，那么这个方程的另一个解为 ． 考点三 分式方程的解法（共5题） 11．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般式为 ． 12．解方程： 13．解方程： (1)； (2)． 14．解方程：． 15．解方程：． 考点四 分式方程的增根问题（共5题） 16．如果关于的方程的有增根，那么则的值为 ． 17．在去分母解关于的分式方程的过程中产生增根，则 ． 18．当m为何值时，方程会产生增根？ 19．若解分式方程产生增根，则m的值是多少？ 20．若关于x的方程有增根，求k的值． 考点五 分式方程的无解问题（共5题） 21．已知关于x的分式方程无解，则m可能的值为（　　） A． B．和0 C．0和和 D．0和 22．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．或 D．以上都不是 23．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 24．若关于x的分式方程无解，则实数 ． 25．给定关于x的分式方程，求： (1)m为何值时，这个方程的解为？ (2)m为何值时，这个方程无解？ 考点六 根据分式方程解的情况求值（共5题） 26．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 27．已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 29．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 30．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 考点七 分式方程的实际应用（共5题） 31．某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 32．某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生，准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4元，而用300元购买A种文具的数量是用200元购买B种文具的数量的2倍． (1)求A种文具的单价； (2)根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的总费用不超过2820元，求学校购买A种文具数量至少多少件？ 33．无锡水蜜桃享誉海内外，老王用3000元购进了一批水蜜桃．第一天，很快以比进价高40% 的价格卖出150千克．第二天，他发现剩余的水蜜桃卖相已不太好，于是果断地以比进价低20%的价格将剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共获利750元． (1)求这批水蜜桃进价为多少元？ (2)老王用3000元按第一次的价格又购进了一批水蜜桃．第一天同样以比进价高40% 的价格卖出150千克，第二天，老王把卖相不好的水蜜桃挑出，单独打折销售，售价为10元/千克，结果很快被一抢而空，其余的仍按第一天的价格销售，且当天全部售完．若老王这次至少获利1000元，请问打折销售的水蜜桃最多多少千克？（精确到1千克．） 34．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价） 35．北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志着京张高铁延庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务中心是集高铁、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施，该中心将在冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李计划周末到延庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？ 考点八 分式方程的新定义问题（共5题） 36．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 37．定义运算“※”：．若，则x的值为（    ） A． B．或10 C．10 D．或 38．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 39．定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 40．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 考点九 无理方程（共5题） 41．解方程 42．回读材料并解决问题： 小潘在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将两式相加可得，两边平方可得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： (1)已知，则的值为______； (2)解方程． 43．解方程： 44．【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 (1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： (2)解下列方程：①；②． 45．阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 考点十 二元二次方程和方程组（共5题） 46．解方程组： 47．解方程组： 48．解方程组： 49．解方程组： 50．解方程组． 考点十一 上海地区特色题（共5题） 51．解方程： 52．先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 53．在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 54．解方程组： 55．“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本， (1)求A、B两类图书每本的进价： 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解 乙：，解得，经检验是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示_______，乙同学所列方程中的x表示_________． (2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$