精品解析：安徽省淮南市谢家集区淮南市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

淮南五中高三开学考质量检测 数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：徐王军 审题人：卢培梅 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得复数，求出，再求即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数，所以， 则. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数单调性计算集合A,绝对值不等式化简得出集合B,再根据并集定义计算即得. 【详解】集合， 则， 故选:D． 3. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出，以及，即可计算出的值. 【详解】函数是定义在上的奇函数，，且时，， ，． 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，要结合函数的定义域选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知向量 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可得出， 解出即可. 【详解】，∴ ∴. 故选： C. 5. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程. 故选：C 6. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果. 【详解】因为，则，， 又因为， 则①， 等式①的两边同时除以 可得，解得. 故选：D. 7. 如图，准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，涂色分步进行，第一步对于区域，有种颜色可选，第二步对于区域，与区域相邻，有种情况，第三步对于区域，与、区域相邻，有种情况，第四步对于、区域，分种情况讨论，然后利用分步乘法计数原理可得结果 【详解】根据题意，涂色分步进行分析： 对于区域，有种颜色可选，即有种情况， 对于区域，与区域相邻，有种情况， 对于区域，与、区域相邻，有种情况， 对于、区域，分种情况讨论： 若区域与区域涂色的颜色相同，则区域有种颜色可选，即有种情况， 此时、区域有种情况； 若区域与区域所涂的颜色不相同，则区域有种情况，区域有2种情况， 此时、区域有种情况， 则、区域共有种情况， 则不同涂色的方案种数共有种． 故选：C． 8. 已知点在直线上，若存在满足该条件的a，b使得不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的最小值，再利用不等式有解问题，可得，再解不等式即可. 【详解】解：因为点在直线上， 则，即， 则， 当且仅当，即时取等号， 即，即， 解得或， 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式有解问题，重点考查了重要不等式的应用，属中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 10. 已知等比数列是递增数列，是数列的前项和，公比为，若，，则下列说法正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据条件求解出的值，然后根据的单调性求解出的通项公式，由此可判断AD；根据条件计算出，则BC可判断. 【详解】因为是等比数列，所以， 又因为，所以或， 又因为数列是递增数列，所以， 所以，则，所以， 所以，所以是等差数列，但公差不是，所以A正确，D错误； 因为，所以，所以， 所以且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以B正确； 由得，所以C正确 故选：ABC. 11. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，先求出和；再分别令，，代入题中式子，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为展开式的第项为， 又， 所以，，则，故A正确； 令，则， 令，则； 令，则， 故，即B错； ，即C正确； ，即D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 求解二项展开式各项系数和或部分项的系数和时，一般利用赋值法，结合所给二项展开式进行求解即可. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_______。（用分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】各次投篮是否投中相互独立，可以看成独立重复试验，利用独立事件概率求法计算得解. 【详解】由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次， 所以其概率为. 故答案为： 【点睛】此题考查计算独立事件的概率，将问题抽象出来就是进行独立重复试验，根据概率公式求解. 13. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】函数图象的对称轴为． 由可知函数在R上为减函数， 故有，解得． 即实数数的取值范围是．答案：． 点睛：已知分段函数在实数集R上的单调性求参数取值范围的两个关注点： ①保持分段函数在各段上的单调性一致； ②注意在分界点处的函数值的大小关系； 然后根据以上两个条件得到关于参数的不等式组，通过解不等式组得到参数的取值范围． 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有_____人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【解析】 【分析】设男生人数为x，由题意得列联表，计算，对照临界值列出不等式，求出x的取值范围. 【详解】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又， 所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人. 故答案为：30. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理的角化边公式化简得到，结合余弦定理解出角的大小； （2）利用两边平方得到,再利用基本不等式得出最大值. 【详解】（1）由题意得 （2） ,当且仅当时，等号成立. 故△ABC的面积的最大值是 【点睛】用三角形中线向量进行转化是解题关键. 16. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求的前项和， 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得数列的通项公式. （2）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得数列的前项和公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为， 所以，解得. 所以. （2）设等比数列的公比为. 因为， 所以，即. 所以的前项和公式为. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间. 【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 求导，. 由点斜式得切线方程为：，即. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，， 令，得， 当x变化时，，的变化情况如下表： x 3 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 18. 已知等腰直角 C，D 分别为 的中点，将 沿CD折到 的位置， 取线段SB的中点为E. （1）求证： 平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，易知 ， ，即四边形 为平行四边形，则 ，再由线面平行的判定可得 平面 ； （2）由已知可得 两两互相垂直，分别以 为 轴建立空间直角坐标系 - ，分别求出平面 与平面 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的平面角的余弦值. 【小问1详解】 取 中点 ，连接 ， 为 的中点，则 ， 又 ， 分别为 的中点，则 ， ， 四边形 为平行四边形，则 . 平面 平面 ， 平面 ； 小问2详解】 由题知， 所以. ，则 ， 在 中， 分别为 的中点， ， 两两互相垂直. 如图所示，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、的轴建立空间直角坐标系 - ， 则 ， 设平面和平面的法向量分别为 则 取 可得 则取得 ∴平面和平面的夹角的余弦值为 . 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，，直线与直线的斜率之积为，证明直线过定点并求出该定点坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【解析】 【分析】 （1）由离心率和短轴长列方程组解得，可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率不存在时，是否符合题意，斜率存在时设直线方程为，，，直线方程代入椭圆方程，有，应用韦达定理得，然后代入中求得值，即得定点坐标． 【详解】解：（1）由得 ∴椭圆C的标准方程为 （2）若直线的斜率不存在，设，则， 此时，与题设矛盾， 故直线的斜率必存在. 设，，，联立得：，， ∴， ∵ 代入，整理得：， 解得：或（舍去），即直线过定点. 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得（需要根据方便性，可能得），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标，利用基本不等式或函数的性质求得最值等等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淮南五中高三开学考质量检测 数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：徐王军 审题人：卢培梅 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 5. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，准备用种不同的颜色给、、、、五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上，若存在满足该条件的a，b使得不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 10. 已知等比数列是递增数列，是数列前项和，公比为，若，，则下列说法正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 11. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_______。（用分数表示） 13. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________． 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有_____人. 附： ， 其中， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值. 16. 已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求前项和， 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间. 18. 已知等腰直角 C，D 分别为 的中点，将 沿CD折到 的位置， 取线段SB的中点为E. （1）求证： 平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，，直线与直线的斜率之积为，证明直线过定点并求出该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$