专题07 一元一次不等式（组）中含参数问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题07 一元一次不等式(组)中含参数问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 5 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 6 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 7 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 11 压轴能力测评（18题） 16 解题知识必备 1. 一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2. 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4. 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ． 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式训练1】若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【变式训练2】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【变式训练3】已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【变式训练1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【变式训练2】（22-23七年级下·重庆江津·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 5．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）对x，y定义一种新的运算F，规定：F（x，y）＝时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024七年级下·安徽·专题练习）当 时，不等式是一元一次不等式． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式的正整数解有3个，则a的取值范围是 ． 8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 无解，则a的取值范围是 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 10．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知是关于的一元一次不等式． (1)求的值； (2)求出原一元一次不等式的解集． 13．（23-24八年级下·全国·期中）在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 15．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知关于，的方程组. (1)若方程组的解满足，求的值； (2)不论取何值，的值是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，求的取值范围. 16．（23-24七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 18．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式(组)中含参数问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 5 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 6 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 7 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 11 压轴能力测评（18题） 16 解题知识必备 1. 一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2. 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4. 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【答案】0 【知识点】零指数幂、一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义和零指数幂，根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：0． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，且，解得， 题中的不等式为，解得， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且 ∴ 故答案是：． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质．首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围． 【详解】解：解不等式得：， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【详解】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同解不等式，求出两个不等式的解，根据解相同，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：解得：， 解，得：， ∵两个不等式的解集相同， ∴，解得：； 故答案为：． 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解得出，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式组得： ， ∵不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m的范围． 【详解】解：不等式，得：， 不等式组，的解集是， ， 故答案为：． 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 得， 将代入②，得， 解得， ∴ ， ， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，求一元一次不等式的解集，根据题意得出，解不等式，即可求解． 【详解】解： 解得： ∵关于的一元一次方程的解是负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【变式训练1】若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或， 或或， 当时，，此时是整数，符合题意； 当时，，此时是整数，符合题意； 当时，，此时是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式训练2】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式训练3】已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)p的最大值是5，最小值是 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围； （2） 解不等式 ，再根据即可求解； （3）分，，三种情况进行分类讨论； 【详解】（1）解原方程组得：， 因为 为非正数， 不大于 0 ， 所以可得：， 解得： ； （2）解不等式 得： ， 因为 ， 所以 ， 解得: ， 所以 ， 所以整数 的值为 或 ； （3）因为 ， 当 时，， 因为 ， 所以当 时， 有最大值是 5 ； 当 时， 有最小值是 ， 当 时，， 综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是； 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解) 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解新定义运算的含义是解题的关键． （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）由，得， 解得， 为正整数， ； （2）解不等式，得， 由，得， 解得， 不等式的解集和关于的不等式的解集相同， ， 解得． 【变式训练1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 【变式训练2】（22-23七年级下·重庆江津·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的取值范围是 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （2）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组得：． 解方程得：， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键. （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）①， 解得：， ②， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， ∴； （3）方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得：. 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为0、1、2， ∴， 解得， 故选：B． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数， ∴k可取，1，，4，5，， 解关于z的不等式组得， ∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得：， ∴整数k为，1，，4， 其和为， 故选：A． 5．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）对x，y定义一种新的运算F，规定：F（x，y）＝时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】分类讨论和的情况即可求解． 【详解】解：时： 由得 由得：（舍去） 时： 由得 解得： ∵不等式组恰好有2个整数解 ∴ 解得： 故选：D 【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况确定参数的取值范围．掌握不等式组的求解步骤是解题关键． 二、填空题 6．（2024七年级下·安徽·专题练习）当 时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式的正整数解有3个，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式整数解的个数得出关于某个字母的不等式组是解题的关键．解出不等式求出的范围，根据不等式有且只有3个正整数解列出关于a不等式，解之可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得：， 不等式有3个正整数解，则最大的正整数解一定是3． ， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 无解，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数的取值范围、一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．根据原不等式组无解列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：∵无解， ， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据得变形为，得到解集为，根据不等式的解集为，得到，解答即可． 本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 解得， 不等式的解集为， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出的范围，不等式组整理后，根据解集确定出的范围，进而求出整数的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程有负整数解，得到且， 即，且， 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， ∴整数， ∵由分式方程有负整数解， ∴取整数， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知是关于的一元一次不等式． (1)求的值； (2)求出原一元一次不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【详解】（1）根据题意，得且， 解得且， 所以． （2）原一元一次不等式为， 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 13．（23-24八年级下·全国·期中）在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）根据新定义可得，解不等式即可； （2）根据新定义得到，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 15．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知关于，的方程组. (1)若方程组的解满足，求的值； (2)不论取何值，的值是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是，； (3) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，不等式，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法． （1）先将方程组的两个方程相加，得到，再结合，即可求解； （2）先用消元法得到、关于的表达式，再求，即可判定； （3）先用消元法将消去，得到与的关系式，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ， ； （2） 得：， ，得： ， ， 的值为定值； （3）， 得：， ， ， ， ． 16．（23-24七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【详解】（1）解：①，，    解得： ，．    ②由①得：，    解得：    ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ，    ． （2）解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，     解得：     ， ∴该定值为． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2），，；（3） 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组、含参数的一元一次不等式组，（1）由王磊解决的思路可得，把整体代入求解即可； （2）由王磊解决的思路可得，先利用加减消元法求得，，再代入求a得值即可； （3）由，得，，再由得，，把代入不等式求解即可． 【详解】解：（1）， 将可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：5； （2）， 将，，得， 由得：， ∵， ∴， 由得，， 解得， 把代入⑤得，， 解得， 把，代入⑦得，， 解得； （3）， 由，得，， 由得，， ∵， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$