专题06 一元一次不等式（组）的解法的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题06 一元一次不等式（组）的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、不等式的性质 2 类型二、求一元一次不等式的整数解 4 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 5 类型四、求一元一次不等式组的整数解 8 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 9 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 12 压轴能力测评（18题） 15 解题知识必备 1．不等式的性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 压轴题型讲练 类型一、不等式的性质 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型二、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解为 ． 【变式训练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【变式训练3】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【变式训练4】（23-24八年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式把解集在数轴上表示出来． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 类型四、求一元一次不等式组的整数解 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【变式训练2】（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ； 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【变式训练3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务， 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)填空： ①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． (2)请直接写出该不等式的正确解集，并在数轴上表示解集（要求正确使用作图工具，做到规范美观）． 【变式训练2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【变式训练3】（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广西贺州·期末）如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（    ） A．5 B．6 C．10 D．11 二、填空题 6．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）不等式的解集为 ． 7．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    8．（2024·河南南阳·二模）已知点 A、B在数轴上表示的数如图所示，则 x 的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）解不等式，用数轴表示其解集，并写出所有的负整数解． 12．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．    13．（24-25九年级下·广西柳州·开学考试）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的整数解为______． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）（）解不等式组：； （）解不等式组，并将集表示在数轴上． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 16．（23-24八年级下·江西吉安·期中）已知方程组的解，都为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为，求的值． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式（组）的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、不等式的性质 2 类型二、求一元一次不等式的整数解 4 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 5 类型四、求一元一次不等式组的整数解 8 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 9 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 12 压轴能力测评（18题） 15 解题知识必备 1．不等式的性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 压轴题型讲练 类型一、不等式的性质 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，则，不等式一定成立，不符合题意； D、若，则；若，则，不等式不一定成立，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； C、若，则，故原选项错误，不符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故原选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， 当时， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 类型二、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式，然后可得其正整数解． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解为 ． 【答案】1、2、3、4 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据x的取值范围求出其正整数解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解为：1，2，3，4． 【变式训练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．解不等式得，即可求得答案． 【详解】， ， ， 不等式的非负整数解是0，1，2，3． 故答案为：0，1，2，3． 【变式训练3】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【答案】0，1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式，解出不等式的解集即可求解． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 【变式训练4】（23-24八年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3，4，5 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 非负整数解是0，1，2，3，4，5． 故答案为：0，1，2，3，4，5． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后将解集表示在数轴上即可．解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 在数轴上表示如下： 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 ． 【答案】，解集表示在数轴上见详解 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据不等式的性质，解一元一次不等式的方法，把解集表示在数轴上的方法即可求解． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，， 解集表示在数轴上，如图所示， 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 类型四、求一元一次不等式组的整数解 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【答案】，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，，． 故答案为：，，，． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的正整数即可． 【详解】解：， 解①得 解②得 ∴ ∴正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 【变式训练2】（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ； 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先解不等式组求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再把所有整数解求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∴不等式组的所有整数解是与之间的所有整数（包括，不包括）， ∴不等式组的所有整数解的和为， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， 故不等式的解集为， 故不等式组的正整数解是． 故答案为：． 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，分别求出两个不等式的解集，即可得出答案，并在数轴上表示出来． 【详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 把不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式训练3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键，在数轴上表示时注意大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆． 分别解两个不等式，再取公共解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①： 移项、合并同类项得： 解不等式②： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 所以原不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示为： 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】小明的解答过程错误，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务， 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)填空： ①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． (2)请直接写出该不等式的正确解集，并在数轴上表示解集（要求正确使用作图工具，做到规范美观）． 【答案】(1)①乘法分配律；②五；不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变 (2)，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤进行解答即可； （2）按照正确步骤解不等式，写出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变． 故答案为：①乘法分配律；②五；不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变 （2）解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ∴该不等式的正确解集是，在数轴上表示出来： 【变式训练2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；第二步，去分母时，没有对所有项进行操作 (2)见解析 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，第一步移项，以及化系数为1 的步骤出错了； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是第一步，原因是不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；出现错误二的步骤是第二步，原因是去分母时，没有对所有项进行操作． （2）解：， 由①得， 解得：． 由②，得， ∴， 解得：． ∴原不等式组的解集是． 【变式训练3】（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有进行改变，；任务二：，见详解 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）． 任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； 任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有改变； 不等式①的解集是 任务二：令 由任务一可知：解不等式①，得， 解不等式②，， 移项，得， 解得：， ∴不等式组的解集为：， 如图：将不等式组的解集表示在数轴上： 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为，求出，的解集为 ，根据解集在数轴上表示可得，解方程即可． 【详解】解：设被墨迹污染的数字为， 解不等式，得 ， 由题图可知该不等式的解集为， 所以 ，解得． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故选项A不符合题意； B．若，则，故选项B不符合题意； C．若，则或，故选项C不符合题意； D．若，则，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、求不等式组的解集 【分析】本题考查了数轴上实数大小的比较，解不等式组．根据数轴上数的大小关系可得关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】由题意得：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 故选：B． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别解每个不等式组求得的范围，依据不等式组有解得出关于的不等式组，解不等式即可得． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组有解， ， 解得：， 故选：A 5．（23-24七年级下·广西贺州·期末）如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（    ） A．5 B．6 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查流程图与不等式，根据流程图列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴x的值可能是6； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了有理数大小比较以及不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据题意可得，，再根据不等式的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ， 、、三人中体重最小的是， 故答案为：B 8．（2024·河南南阳·二模）已知点 A、B在数轴上表示的数如图所示，则 x 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、求不等式组的解集 【分析】根据考查了实数与数轴的对应关系，根据数轴得到关于x不等式组是解题的关键．根据数轴得到，解不等式组即可． 【详解】根据数轴得，， 解，得， 解，得， 不等式组的解集为， 故答案为：. 9．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解，得，由不等式组无解，可得． 【详解】解：， ， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，求不等式组的解集，根据长方形和正方形面积计算公式求出，进而得到，再根据满足条件的整数有且只有2个得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵满足条件的整数有且只有2个， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）解不等式，用数轴表示其解集，并写出所有的负整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，再数轴上表示不等式的解集，求不等式的整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，接着在数轴上表示出不等式的解集，进而求出其负整数解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： ∴不等式的负整数解为． 12．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来如下：    13．（24-25九年级下·广西柳州·开学考试）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的整数解为______． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）、、、0． 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集、不等式组的整数解等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． （1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）将（1）（2）所的的解集表示在数轴上即可； （4）根据（3）确定不等组的解集，然后确定不等式组的整数解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ． 故答案为：． （2）， ， ． 故答案为：． （3）在数轴上表示如下： ． （4）由（3）可得不等式组的解集为：， 所以该不等式组的整数解为：、、、0． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）（）解不等式组：； （）解不等式组，并将集表示在数轴上． 【答案】（），（），数轴表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 【答案】（1）五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变 （2）不等式的性质2 （3） 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）根据不等式的性质2即可得出答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由解题过程可知，第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变， 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变； （2）由解题过程可知，第三步是不等式两边同时乘以2去分母，因而第三步的依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （3）， 由不等式①，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 由不等式②，去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 不等式组的解集为：， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江西吉安·期中）已知方程组的解，都为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据不等式的解集求出a的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得， 由题意，得 不等式①的解集是，不等式②的解集是． 则原不等式组的解集为． （2）解：∵不等式的解集为， ∴即． 由（1）知 ∴，故． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； （2）， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； （3），， ， ， ， ． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 【答案】(1)构成“和谐不等式”，理由见解析 (2)或2 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是： （1）根据“和谐不等式”的定义判断即可； （2）分，，三种情况讨论即可； （3）分，，三种情况讨论，依据新定义求出a，b 的关系，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：构成“和谐不等式” 理由：∵的解集为， ∴代数式，，是构成“和谐不等式” （2）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上，m的值为或2； （3）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得， ∴不等式无解； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$