专题05 实数的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题05 实数的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、实数的分类 2 类型二、实数与数轴 4 类型三、实数的大小比较 6 类型四、实数的混合运算 8 类型五、程序设计与实数运算 10 类型六、新定义下的实数运算 11 类型七、与实数运算相关的规律题 15 压轴能力测评（16题） 18 解题知识必备 1.无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 压轴题型讲练 类型一、实数的分类 例1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一） 有理数集合： ． 无理数集合： ． 分数集合： ． 【变式训练1】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在实数，，1.313313331…，，中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数：，，，，，，，…….分别填入相应的集合中. 【变式训练3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 类型二、实数与数轴 例2. （24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 D，则点 D 表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【变式训练3】（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 类型三、实数的大小比较 例3. （23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填、或） 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小： 9（填“”，“”或“”）． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【变式训练3】（23-24七年级下·山东滨州·期中）比较大小： ， ， ． 类型四、实数的混合运算 例4. （24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)． (2)． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 类型五、程序设计与实数运算 例5. （23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【变式训练1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图： 当输入的时，输出的等于 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．    （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 类型六、新定义下的实数运算 例6. （23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是______； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______． 类型七、与实数运算相关的规律题 例7. （23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数． （1）当，时，为 ； （2）则表示的数是 ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）数轴上，点在处，点在处；点是的中点，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）绝对值小于的所有整数有 个． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小： （用“”，“”或“”填空）． 8．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）与 互为相反数，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算 (1) (2) 12．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）（1）已知，其中，为有理数，则 ， ； （2）已知，其中，为有理数，求，的值． 13．（22-23七年级下·福建莆田·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 15．（21-22八年级下·山东·单元测试）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 16．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 实数的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、实数的分类 2 类型二、实数与数轴 4 类型三、实数的大小比较 6 类型四、实数的混合运算 8 类型五、程序设计与实数运算 10 类型六、新定义下的实数运算 11 类型七、与实数运算相关的规律题 15 压轴能力测评（16题） 18 解题知识必备 1.无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 压轴题型讲练 类型一、实数的分类 例1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一） 有理数集合： ． 无理数集合： ． 分数集合： ． 【答案】见解析 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的分类，解题关键是掌握实数的概念，注意有理数包含了整数与分数（无限循环小数也是分数），无理数则是无限不循环小数，含有的式子和有特殊结构的无限不循环小数都是无理数，本题要先对含有立方根和平方的式子进行化简再判断． 【详解】解：∵，， ∴有理数集合：{②③④⑤⑦⑧⑨…}． 无理数集合：{①⑥⑩…}． 分数集合：{②④⑤…}． 【变式训练1】（23-24七年级下·四川泸州·期中）在实数，，1.313313331…，，中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数，计算立方根，再根据无限不循环小数是无理数进行判断即可． 【详解】解：是整数，是分数，它们不是无理数； ，1.313313331…，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数：，，，，，，，…….分别填入相应的集合中. 【答案】见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根和立方根，有理数分为整数和分数，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此求解即可． 【详解】解：， ∴。 【变式训练3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类， 对于（1），根据正数的定义进行判断即可； 对于（2），根据负整数的定义进行判断即可； 对于（3），根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：由，负整数集合：； （3）解：无理数集合：． 类型二、实数与数轴 例2. （24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可． 【详解】解：在中，，， ， 设点A所表示的数为， ∵， ∴， ∴， 数轴上点所表示的数是：． 故选：D． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 D，则点 D 表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，进而可而出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点B对应的数是2， ∴D点表示． 故选：D． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、实数的性质 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式训练3】（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的性质、实数与数轴、无理数整数部分的有关计算、整式的加减运算 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）由数轴可得：， 则， 则 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 类型三、实数的大小比较 例3. （23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填、或） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）比较大小： 9（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出两个实数的平方是关键．先求两个数的平方，进而即可比较大小． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【答案】 【知识点】有理数大小比较、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】①根据实数的大小比较解答即可. ②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可. 本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 【详解】解：①∵，且， ∴； 故答案为：. ②∵， ∴ ∴， ∵是负数， ∴， 故答案为：. 【变式训练3】（23-24七年级下·山东滨州·期中）比较大小： ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的方法，即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：，，． 类型四、实数的混合运算 例4. （24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）先计算算术平方根，立方根，求绝对值，乘方，再计算加减即可解答； （2）先计算立方根，绝对值，乘方，再计算加减即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】（1）按顺序先分别进行算术平方根的运算、立方根运算、化简绝对值，然后合并计算即可； （2）按顺序先分别进行立方根运算、化简绝对值、平方与负整数指数次幂运算，然后合并计算即可． 本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北恩施·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减； （2）先计算绝对值，立方根，算术平方根，再计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）先求出算术平方根、立方根，然后计算加减法即可； （2）先化简绝对值、去括号、求出立方根，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型五、程序设计与实数运算 例5. （23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图： 当输入的时，输出的等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，，是无理数，输出； 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的分类及运算．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数， 再取5的平方根，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是． 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．    （1）当输入的x为16时，输出的 ． （2）若始终输不出y值、则输入的 ． 【答案】 0或1/1或0 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． （1）根据数值转换器，输入，进行计算即可； （2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案． 【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 因此输出结果是； 故答案为：； （2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数， ∴输入的或0始终输不出y值． 故答案为：0或1． 类型六、新定义下的实数运算 例6. （23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 26． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南昆明·期中）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 【变式训练3】（23-24七年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是______； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了新定义的实数运算： （1）利用“和谐数对”的规定解答即可； （2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可； （3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可． 【详解】（1）解：数对的一对“和谐数对”是和，即和； 故答案为：， （2）解：∵数对的一对“和谐数对”相同， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵数对的一个“和谐数对”是， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：， 类型七、与实数运算相关的规律题 例7. （23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【答案】 【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数． 【详解】一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第100个数应是， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 【答案】 2 【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第7排从左向右第3个数， ， ， 则所表示的数是； 从图示中知道，所表示的数是； 第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数， ， 表示的数是． 与表示的两数之积是：． 故答案为：；． 【变式训练3】（23-24八年级下·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数． （1）当，时，为 ； （2）则表示的数是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了无理数，数字类规律探索； （1）根据图可知第4排第3个数为1； （2）由图得出规律：前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，然后计算即可． 【详解】解：（1）由图得：当，时，为1， 故答案为：1； （2）由图可得：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…第7排有7个数，则前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环， ∵， ∴表示的数是， ∴表示的数是， 故答案为：． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，因为，则，再结合数轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 则表示数的点应在O，B之间， 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）数轴上，点在处，点在处；点是的中点，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了数轴上中点坐标公式以及实数的运算，解题的关键是掌握数轴上中点所表示的数的计算方法． 利用数轴上两点中点所表示的数是这两点所表示数之和的一半来计算点所表示的数． 【详解】解：已知点在处，点在处，因为数轴上中点所表示的数为，对其化简：， 所以点所表示的数是， 故答案选： D． 3．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小． 【详解】解：由题可得，，， 由， 故选A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 【详解】解：． ∴对只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）绝对值小于的所有整数有 个． 【答案】9 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，先估算，然后写出符合要求的整数即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有，，，，，共个， 故答案为：9． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小： （用“”，“”或“”填空）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先分析出，易得，然后比较和大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）与 互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义、实数的混合运算 【分析】本题考查了非负数的性质和相反数的定义，熟练掌握非负数的性质和相反数的定义是解答本题的关键． 根据非负数的性质和相反数的定义解答即可． 【详解】解：与 互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算．先由正方形面积为2可知边长为，而后根据点A表示的数为0即可得到答案． 【详解】解：∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为0， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解： 又a和b为两个连续正整数， 的立方根为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数的运算， （1）先根据算术平方根及立方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先根据绝对值的意义，算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则和定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）（1）已知，其中，为有理数，则 ， ； （2）已知，其中，为有理数，求，的值． 【答案】（1）， （2）， 【知识点】实数的混合运算、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二元一次方程组的应用（其他问题）等知识点，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）由“，其中，为有理数”即可直接得出答案； （2）由可得，再结合“，为有理数”，可得，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1），其中，为有理数， ，， 故答案为：，； （2）， ， 其中，为有理数， ， 解得：， 的值为，的值为． 13．（22-23七年级下·福建莆田·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】与实数运算相关的规律题、求一个数的算术平方根 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【答案】(1)； (2)2； (3)0． 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数与数轴： （1）根据题意可知，点A与原点的距离为该圆的周长，据此求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的运算法则求解即可； （3）根据题意只需要计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴ ， ∴的算术平方根为2； （3）解：由题意得按键表示的是． 15．（21-22八年级下·山东·单元测试）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】（1）根据提供的解法可得答案； （2）根据规律推广至一般情况即可； （3）利用上述规律方法解答即可． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）由上述规律可得， ； （3）． 【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键． 16．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析 (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【知识点】实数的混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$