专题04 平方根与立方根的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题04 平方根与立方根的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 3 类型二、利用算术平方根的非负性解题 4 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 6 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 7 类型五、利用平方根、立方根解方程 11 类型六、平方根与立方根的综合 13 压轴能力测评（18题） 16 解题知识必备 知识点1 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点2 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点3 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 知识点3 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点4 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 压轴题型讲练 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 例1.（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是 ；的算术平方根是 ； ． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）4的平方根是 ；（2）36的算术平方根是 ；（3）-8的立方根是 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）64的平方根是 ，立方根是 ；6的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 类型二、利用算术平方根的非负性解题 例2. （24-25八年级上·广东深圳·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·江西九江·期中）与互为相反数，求 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根 ． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 例3. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【变式训练1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式训练3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 例4. （23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． a 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 【变式训练2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 类型五、利用平方根、立方根解方程 例5. （23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程 (1) (2) 【变式训练1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组） (1) (2) 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 类型六、平方根与立方根的综合 例6. （23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【变式训练3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在实数中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 4．（21-22七年级下·湖北孝感·期中）已知，，，则的值为（    ） A．162.4 B．75.36 C．34.98 D．349.8 5．（24-25七年级上·陕西西安·期中）若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 二、填空题 6．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ；125的立方根是 ． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期中）若正数a满足，则a的值是 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知为正整数，若，则 ． 9．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是 ． 10．（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 三、解答题 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级上·四川眉山·期中）解方程： (1) (2) 13．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知的平方根为，的立方根是3． (1)求的值． (2)求的平方根． 14．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）（1）若满足等式．求的算术平方根． （2）若的平方根为，．求的立方根． 15．（2025七年级·全国·专题练习）有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 16．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题： （1）①______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． ②______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 17．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平方根与立方根的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 3 类型二、利用算术平方根的非负性解题 4 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 6 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 7 类型五、利用平方根、立方根解方程 11 类型六、平方根与立方根的综合 13 压轴能力测评（18题） 16 解题知识必备 知识点1 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点2 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点3 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 知识点3 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点4 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 压轴题型讲练 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 例1.（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）的平方根是 ，算术平方根是 ，立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，根据概念及计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ∴，，， ∴平方根是，算术平方根是，立方根是， 故答案为：①；②； ③． 【变式训练1】（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是 ；的算术平方根是 ； ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握求一个数的平方根、算术平方根、立方根是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，立方根概念求解即可． 【详解】解：的平方根； ∵， ∴的算术平方根； ． 故答案为：；；． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）4的平方根是 ；（2）36的算术平方根是 ；（3）-8的立方根是 ． 【答案】 6 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的概念的运用以及应用，难度不大，属于基本知识．根据平方根，算术平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解：（1）4的平方根是； 故答案为：； （2）36的算术平方根是； 故答案为：6； （3）的立方根是 故答案为： 【变式训练3】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）64的平方根是 ，立方根是 ；6的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 4 2 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根性质是关键． 根据平方根、算术平方根，立方根性质解答即可． 【详解】解：64的平方根是， 64的立方根是， 6的算术平方根是， ∵， ∴算术平方根，即4的算术平方根为． 故答案为：；4；；2． 类型二、利用算术平方根的非负性解题 例2. （24-25八年级上·广东深圳·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题主要考查非负数的性质，平方根，解二元一次方程组．先根据平方和被开方数的非负性得出，，联立求出x和y的值，再求平方根即可． 【详解】解：，，且与互为相反数， ，， 联立，解得， ， 的平方根为． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级上·江西九江·期中）与互为相反数，求 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性列方程求解，即可求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，利用算术平方根的非负性解题，绝对值非负性，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握几个非负数的和为时这几个非负数都为是解题的关键． 【变式训练2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根 ． 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5； 故答案为5． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 例3. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【变式训练1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【答案】． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 例4. （23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【变式训练2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律； （1）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 故答案为：，． （2）解：由题意得：，， 故答案为：，； （3） ． 类型五、利用平方根、立方根解方程 例5. （23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的知识求解方程的解的知识，掌握平方根和立方根的求解方法是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义解方程即可； （2）利用平方根的意义解方程即可． 【详解】（1）原式为， 解： ． （2）原式为， 解： 即或 或． 【变式训练1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组） (1) (2) 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查了考查实数的综合运算能力以及立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的运算是本题的关键． （1）开平方得出两个一元一次方程，继而可得出x的值． （2）化简后，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可． 【详解】（1）， 化简为：， 开平方得：， 即和， 解得：和． （2）， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，能把方程利用平方根和立方根转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据平方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1） ∴或 解得或； （2） 解得． 【变式训练3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， 解得：． 类型六、平方根与立方根的综合 例6. （23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 【变式训练3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在实数中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数中，无理数有，，共2个, ,,不是无理数． 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求平方根、立方根．根据立方根平方根和算术平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、有理数的定义 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键． 本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可． 【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是． 故选：D． 4．（21-22七年级下·湖北孝感·期中）已知，，，则的值为（    ） A．162.4 B．75.36 C．34.98 D．349.8 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】由立方根的计算规律，被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍，即可得到答案 【详解】解：， ∵， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查了立方根的应用，解题的关键是掌握立方根的运算规律进行计算 5．（24-25七年级上·陕西西安·期中）若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，平方根，熟练掌握运算法则确定与的值是解本题的关键． 根据题意，利用平方根的定义求出与的值，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵的平方是9，的平方是25， ∴，， 又∵，即， ∴或， ∴或， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ；125的立方根是 ． 【答案】 5 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键． 根据算术平方根、平方根以及立方根的定义，即可进行解答． 【详解】的算术平方根是3； 的平方根是； 125的立方根是5． 故答案为：，，5． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期中）若正数a满足，则a的值是 ． 【答案】4 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：4． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知为正整数，若，则 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法，找出与相邻的两个平方数，即可得到答案，掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是 ． 【答案】或/或 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可． 【详解】解：∵a的立方根是2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵c是9的平方根， ∴， 当时，，算术平方根为； 当时，，算术平方根为； 综上分析可知，的算术平方根为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，考查分类讨论的思想，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解． 10．（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键；根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】由数轴可得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 12．（24-25八年级上·四川眉山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键． （1）移项后开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先两边同时除以4，再直接开平方求解得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解． 【详解】（1）， ， ， 解得． （2）， ， ， 解得或． 13．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知的平方根为，的立方根是3． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根，立方根的运算，掌握以上知识及其运算是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的运算即可求解； （2）代入求值，再根据求一个数的平方根的运算即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得，， ∵的立方根是3， ∴，且， ∴，解得，， ∴，； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴4的平方根为， ∴的平方根为． 14．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）（1）若满足等式．求的算术平方根． （2）若的平方根为，．求的立方根． 【答案】（1）2；（2）3 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）先根据完全平方公式得到，再由非负性的性质得到，则可求出，据此计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据立方根，平方根的定义求出a、b的值，进而求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2； （2）∵的平方根为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵27的立方根为3， ∴的立方根为3． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，完全平方公式，非负数的性质，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根． 15．（2025七年级·全国·专题练习）有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)1或0，见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的值为； （2）解：满足要求的x的值是1或0． 理由如下： 一个有理数，若算术平方根等于其本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y的值，而算术平方根等于本身的数是1和0， 所以满足要求的x的值是1或0． 16．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题： （1）①______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． ②______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】（1）①3，0，2，，；②3，0，，，；（2） 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、化简绝对值 【分析】本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义和求法是解决本题的关键． （1）①先计算被开方数，再算算术平方根，根据被开方数和结果得结论； ②先计算被开方数，再算立方根，根据被开方数和结果得结论； （2）根据数轴和（1）的结论，化简绝对值和各式． 【详解】解：（1）①；；；． 综上，对于任意有理数，． ②；；；． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：①3，0，2，，；②3，0，，，． （2）由数轴知，，，． 17．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$