精品解析：重庆市育才中学校2024-2025学年九年级下学期第一次定时作业数学试题

重庆育才中学教育集团初2025届初三（下）第一次定时作业 数学试卷 （全卷三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 5 C. D. 20 4. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，且，点A坐标为，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6个“○”，第②个图案有10个“○”，第③个图案有14个“○”，……按此规律，第⑨个图案中“○”个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 8. 如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径画弧，点E为中点，以E为圆心，为半径画弧，过点E作的垂线交弧于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过D作于F，连接．则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 对于、，定义一种新运算“”，当时，，当时，，下列说法： ①已知，，的值与的取值无关，则，； ②对于任意的实数、，若，， 则； ③满足的整数解共有种． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 计算：_______________ 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小育从中随机抽取两张刮开，则小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率是______． 14. 如果关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 15. 如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为．作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点，，则的长为______，的长为______． 16. 一个四位正整数，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数，并且规定：，等于的后两位数字之和．若是的倍数，则为“超越数”．例如：四位数，则，因为是的倍数，所以是“超越数”．则______；如果四位数（，且、为整数）是一个“超越数”，且为偶数，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 18. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆某校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， 度． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若八年级共有1000名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 19. 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和填空： （1）尺规作图：过点作，分别交边、于点． （2）已知：在正方形中，点是对角线上一点，，分别交边、于点．求证：． 证明：∵四边形是正方形， ∴平分，，． ∴ ． 在和中，， ∴（SAS）． ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴ ． ∵；且， ∴， ∵ ， ∴． ∴ ． ∴． 20. 某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． （1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ （2）某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 21. 如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． （1）求点到山脚的水平距离； （2）求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 23. 如图，抛物线与x轴交于点，点，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P在直线上方抛物线上运动，K是线段的动点，过点P作，轴于点F，求的最大值时，的最大值； （3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点，点B的对应点为，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 24. 点是三角形内一点，连接、，． （1）如图，若、分别平分、，，，求的长； （2）如图，连接，若，且，是的中点，求证：； （3）在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团初2025届初三（下）第一次定时作业 数学试卷 （全卷三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，根据两个负数比较，绝对值大的反而小，正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴四个数中，最小的数是， 故选：C． 2. 下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据概念正确判断图形是解题关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 5 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 将点代入，得，解方程即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 故选：． 4. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质及三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，且，点A坐标为，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，以原点为位似中心，在位似中心两侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比的相反数。相似比为，则对应的坐标比为，由此可解得点C的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴和是以点为位似中心，相似比为的位似图形， ∵坐标为， ∴点C的坐标为，即， 故选：B． 6. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，不等式的性质等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 利用不等式的性质可得，即，进而可得出答案． 【详解】解：， ， 即：， ， 故选：． 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6个“○”，第②个图案有10个“○”，第③个图案有14个“○”，……按此规律，第⑨个图案中“○”个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据前几个图形，发现的个数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①个图案用了“○”的个数为， 第②个图案用了“○”的个数为， 第③个图案用了“○”的个数为， 第④个图案用了“○”个数为， ， 第n个图案用了“○”的个数为， ∴第⑨个图案中“○”的个数为个， 故选：D． 8. 如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径画弧，点E为中点，以E为圆心，为半径画弧，过点E作的垂线交弧于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，再分别求出扇形的面积及的面积，把它们相减，再减去小半圆面积的一半即可解决问题． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， ． 在中，， ， ， ． 又小半圆面积四分之一为， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、解直角三角形、线段垂直平分线的性质及正方形的性质，熟知扇形的面积公式及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过D作于F，连接．则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上截取，连接，延长，交于点，由正方形的性质可得，，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，则，利用可证得，于是可得，由可得，于是可得，结合，可得，设，则，由勾股定理可得，可证得，于是可得，即，进而可得，则，由勾股定理可得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值． 【详解】解：如图，在上截取，连接，延长，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 10. 对于、，定义一种新运算“”，当时，，当时，，下列说法： ①已知，，的值与的取值无关，则，； ②对于任意的实数、，若，， 则； ③满足的整数解共有种． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及整式的加减，完全平方公式，整式的加减，根据新定义运算列出式子，再根据整式加减运算和代数式求值解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴，，故①正确； ∵，， ∴ ，故②正确； ③∵， ∴， 即， ∵，， ∴满足的整数解为，，共种，故③错误； 故选：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 计算：_______________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算，再进行减法运算即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小育从中随机抽取两张刮开，则小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 先列表展示所有等可能的结果，再找出小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表如下： 第一张 第二张 表扬卡1 表扬卡2 加分卡 零食卡 表扬卡1 表扬卡1 表扬卡2 表扬卡1 加分卡 表扬卡1 零食卡 表扬卡2 表扬卡2 表扬卡1 表扬卡2 加分卡 表扬卡2 零食卡 加分卡 加分卡 表扬卡1 加分卡 表扬卡2 加分卡 零食卡 零食卡 零食卡 表扬卡1 零食卡 表扬卡2 零食卡 加分卡 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的结果有种， 小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率， 故答案为：． 14. 如果关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解两个不等式，再根据关于y的分式方程的解为非负整数解得到，进而即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于x的不等式组至少有2个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数解， ∴， ∴， ∴， ∵为非负整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为．作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点，，则的长为______，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，根据含度角的直角三角形的性质得，然后根据证明，得到，，再由勾股定理求出的长，即可求出的长，过点作于点，证明求出，进而求出，从而得到，又证明求出，然后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 与相切于点， ∴ ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 过点作于点 ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 一个四位正整数，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数，并且规定：，等于的后两位数字之和．若是的倍数，则为“超越数”．例如：四位数，则，因为是的倍数，所以是“超越数”．则______；如果四位数（，且、为整数）是一个“超越数”，且为偶数，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查列代数式及新定义问题，根据新定义可求得，列出代数式，再根据题意进行计算求解满足条件的的最大值． 【详解】解：， 由题意得 是的倍数， ∵是偶数 ∴是奇数， ∴时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，是的倍数， ∴的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，整式乘法运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，乘方运算法则进行计算即可； （2）用代入消元法解二元一次方程组即可； （3）根据完全平方公式，整式乘法运算法则进行计算即可； （4）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：； （3） ； （4） ． 18. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆某校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， 度． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若八年级共有1000名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1），， （2） 解：八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数与众数高于七年级，所以八年级的成绩更好， 答：八年级的成绩更好； （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义可得、的值，由八年级、等级的人数可求出等级的人数，用乘等级的人数所占比例即可得出的值； （2）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可； （3）用八年级参赛总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：把八年级名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是，， 中位数， 在抽取的七年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是， 众数， 由扇形统计图可得，八年级等级的有：（人）， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约为人． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，运用中位数做决策，运用众数做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． 19. 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和填空： （1）尺规作图：过点作，分别交边、于点． （2）已知：在正方形中，点是对角线上一点，，分别交边、于点．求证：． 证明：∵四边形是正方形， ∴平分，，． ∴ ． 在和中，， ∴（SAS）． ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴ ． ∵；且， ∴， ∵ ， ∴． ∴ ． ∴． 【答案】（1）见解析； （2）；；；． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）根据要求作出图形；（2）证明（SAS），推出，再证明，可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴平分，，． ∴． 在和中，， ∴（SAS）． ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴． ∵；且， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：；；；． 20. 某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． （1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ （2）某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【答案】（1）比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米 （2）该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时 【解析】 【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米，利用“从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟”完成求解即可； （2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据“从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟”列方程求解即可． 【小问1详解】 设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米． 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米； 【小问2详解】 该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时． 根据题意，得：， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， 答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时． 【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 21. 如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；由勾股定理得：，根据直角三角形斜边中线得到，则，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到,；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出 反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象下方时，交点的横坐标取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵与共过点作边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：记函数与函数的交点为 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 22. 重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． （1）求点到山脚的水平距离； （2）求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 【答案】（1）点到山脚的水平距离为米 （2）建筑物的的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得 米，，先由斜坡的坡度为：，设米，米，从而利用勾股定理求出，再根据米，求出的值，从而求出，的长，进行计算即可解答； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，根据题意可得米，，先米，从而表示出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义，列出关于的方程，即可求出的值，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则米，， 斜坡的坡度为：， ， 设米，米， （米）， 米， ， ， （米），（米）， 米， （米）， 点到山脚的水平距离为米； 【小问2详解】 延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 则米，， 设米， 米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， 米，米， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的的高度为米． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，点，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P在直线上方抛物线上运动，K是线段的动点，过点P作，轴于点F，求的最大值时，的最大值； （3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点，点B的对应点为，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，进而得，作关于的对称点连接，则设，则，利用勾股定理及三角形的三边关系即可得解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴， 如图，作关于的对称点连接，则设 ∵，，． ∴ 解得， ∴， ∴ ∵ ∴由三角形的两边之差小于第三边可得， ∴的最大值时，的最大值为； 【小问3详解】 解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，勾股定理，三角形的三边关系，二次函数的平移，等腰三角形的性质，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 24. 点是三角形内一点，连接、，． （1）如图，若、分别平分、，，，求的长； （2）如图，连接，若，且，是的中点，求证：； （3）在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点，作，交于点， ， ，，， 点是中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，由直角三角形的性质可求，的长，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，可得结论； （3）通过证明，可得，则当时，有最小值，即有最小值，再求出的面积，由相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交的垂线于点，连接，过点作于， 、分别平分、， 平分， ， ，， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 点在上运动， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，，， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判断和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $