精品解析：河北省保定市阜平县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024~2025学年八年级第一学期期末质量监测 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. x B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 3. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 4. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A.    B.   C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 5. 珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，正六边形的每个内角都为，再根据点B对应的周角为360度，可计算出的度数． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故选：B． 6. 王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（ ） A. 只携带①去 B. 只携带②去 C. 只携带③去 D. 携带②和③去 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：只第①块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合． 故选A． 7. 下列正确的是（ ） A. 是分式 B. C. 是最简分式 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式、科学记数法、最简分式、同底数幂的乘法，熟练掌握分式、科学记数法、最简分式、同底数幂的乘法的定义和计算方法是解题关键． 根据分式、科学记数法、最简分式、同底数幂的乘法的定义和计算方法分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．是整式，原说法错误，故不符合题意； B．，原式计算错误，故不符合题意； C．，不是最简分式，原说法错误，故不符合题意； D．，正确，故符合题意； 故选：D． 8. 如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，然后根据“的周长”即可得解． 【详解】解：垂直平分边， ， 的周长 ， 故选：． 9. 嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是（ ） 解：方程两边乘，得第一步 整理，得第二步 解得，所以原方程的解为第三步 A. 第一步开始出错 B. 第二步开始出错 C. 第三步开始出错 D. 嘉淇解方程的过程正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．根据解分式方程的步骤得第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有检验． 【详解】解：根据分式方程的解题过程可知：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的解进行检验． 故选：C． 10. 将一个边长为米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长米，则扩建后广场面积增大了（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及完全平方公式，列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式是解题的关键． 由题意得，扩建后广场面积增大了，利用完全平方公式将算式展开，然后去括号、合并同类项即可． 【详解】解：由题意得： 扩建后广场面积增大了： （平方米）， 故选：． 11. 如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据角平分线的判定可以直接判定平分，判断A不符合题意；根据三角形全等的判定和性质可以直接判断B、D不符合题意，C选项无法判断平分． 【详解】解：A．根据，，，利用角平分线的判定可知平分，故A不符合题意； B．∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； C．，，不能判定平分，故C符合题意； D．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 故选：C． 12. 已知．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：若M是单项式，则；结论Ⅱ：若x为整数，则使A的值为整数的x共有4个 A. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 C. 只有结论Ⅰ正确 D. 只有结论Ⅱ正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算；根据，化简即可判断结论Ⅰ；将A化简得到，根据x为整数，A的值为整数，即可判断结论Ⅱ． 【详解】解：由题意得，结论Ⅰ正确； ， ∵x为整数，A的值为整数， ∴或， 解得或1或7或， ∴若x为整数，则使A的值为整数的x共有4个，结论Ⅱ正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此可直接得到结果． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理，等腰三角形中有两条边相等，根据等边对等角可知等腰三角形中一定有两个相等的角，再根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：， ， 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，； 综上所述，的度数为或或． 故答案为： 或或． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：24． 16. 如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）． 【答案】a 【解析】 【分析】本题考查了关于动点的最小距离问题，三角形三边关系，折叠的性质，等边三角形的性质，先由三角形三边关系得出当点在上时，点C与点之间的距离最小，再根据折叠的性质和等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∴在中，， ∴当点在上时，点C与点之间的距离最小为， 如图，当点在上时， 由折叠的性质得：，，，， ∵在等边三角形中，是角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：a． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题． （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，整式的四则混合运算，运用平方差公式进行运算等知识点，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式及单项式乘多项式将整式展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式化简求值等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，解方程后进行检验即可； （2）先化简，得到化简结果后再将代入化简结果求值即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ； 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式． 19. 某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； （2）如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】（1） 如图，点D即为所求． （2）如图， 点E即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【小问1详解】 解∶作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． 【小问2详解】 解：取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 20. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2）池塘宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为含30度角的直角三角形，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而可解得，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：池塘宽度为． 21. 【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 证明： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【解析】 【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； 证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】解：验证： ， 是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确； ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； 证明：略 【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 22. 在中，，的作图痕迹如图所示，交于点，垂直平分边，交于点，交于点，交于点，连接． （1）若，，求的周长． （2）若，，求与的面积比； （3）若，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）根据等角对等边可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解； （2）过点作于点．先求得，进而根据作图可得平分．根据角平分线的性质可得，进而求得面积比； （3）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义，以及垂直平分线的性质可得，则，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴的周长为； 【小问2详解】 过点作于点． ∵； ∴，， ∴． 由作图痕迹可知平分． 又∵， ∴． ∵，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵垂直平分边， ∴， ∴， ∴． 23. 创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①甲组完成该任务需要____________天，乙组完成该任务需要____________天；（均用含x的式子表示） ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小． 即要比较代数式A，B的大小，只要算的值． 若，则；若，则，若，则． 【答案】（1） （2）， 嘉淇的说法正确 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减的实际应用（作差法），列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，解方程即可求出的值，切记：勿忘检验； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法，可得，再结合，即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【小问1详解】 解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值是； 【小问2详解】 解：①甲组每天植树棵，乙组每天植树棵， 甲组完成棵任务需要天，乙组完成棵任务需要天， 故答案为：，； ② ， ， ， ， 即：， ， 甲组完成任务所用的时间更少， 嘉淇的说法正确． 24. 【问题情境】如图，在中，，D是的中点，点E，F分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）若，，求证：点F在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】 （3）若与全等（点B与点C是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1） （2）证明：连接，． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上； （3）或 （4）存在，的度数为 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可． （2）证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出点F在线段的垂直平分线上． （3）先求出边长，由线段中点得出，然后分两种情况当时和，然后利用全等三角形的性质求解即可． （4）根据全等三角形的性质得出，根据成轴对称的图形的性质得出，进一步证明是等边三角形，是等边三角形，则可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）略 （3）∵的周长为14，，， ∴． 又∵D是的中点， ∴． 当时，，， ∴． 当时，； （4）存在；的度数为． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，轴对称的性质，以及三角形内角和定理等知识，掌握这些知识解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年八年级第一学期期末质量监测 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. x B. C. D. 3. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 4. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A.    B.   C. D. 5. 珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是（ ） A. 只携带①去 B. 只携带②去 C. 只携带③去 D. 携带②和③去 7. 下列正确的是（ ） A. 是分式 B. C. 是最简分式 D. 8. 如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 14 9. 嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是（ ） 解：方程两边乘，得第一步 整理，得第二步 解得，所以原方程的解为第三步 A. 第一步开始出错 B. 第二步开始出错 C. 第三步开始出错 D. 嘉淇解方程的过程正确 10. 将一个边长为米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长米，则扩建后广场面积增大了（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 11. 如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 12. 已知．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：若M是单项式，则；结论Ⅱ：若x为整数，则使A的值为整数的x共有4个 A. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 C. 只有结论Ⅰ正确 D. 只有结论Ⅱ正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 14. 如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：____________． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为____________． 16. 如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题． （1）因式分解：； （2）计算：． 18. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； （2）如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 20. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 21. 【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 22. 在中，，的作图痕迹如图所示，交于点，垂直平分边，交于点，交于点，交于点，连接． （1）若，，求的周长． （2）若，，求与的面积比； （3）若，求的度数． 23. 创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①甲组完成该任务需要____________天，乙组完成该任务需要____________天；（均用含x的式子表示） ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小． 即要比较代数式A，B的大小，只要算的值． 若，则；若，则，若，则． 24. 【问题情境】如图，在中，，D是的中点，点E，F分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）若，，求证：点F在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】 （3）若与全等（点B与点C是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $