精品解析：山东省聊城市阳谷县阳谷四校2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

八年级上学期期末水平调研数学试卷 一、单选题（每题3分共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，，中，分式有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是( ) A. 92 B. 91.5 C. 91 D. 90 4. 如图，D是上的一点，已知，平分，下列所给选项不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 6. 如图，在中，角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别30、24，则的长为（ ） A. 8 B. 15 C. 12 D. 6 7. 如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 下列命题的逆命题一定成立的是（ ） ①对顶角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③若，则； ④若，则． A ①②③ B. ①④ C. ②④ D. ② 9. 学校组织720名师生去观看纪念建党百年的演出，有甲、乙两种大巴车可以租用．甲种大巴车比乙种大巴车每辆少载15人，学校只租甲种大巴车的辆数是只租乙种大巴车的2倍，且都刚好可以把师生全部载完，没有多余座位．设甲种大巴车每辆可载人，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连结，使．有以下四个结论：①；②若点为中点，则；③若，则；④的面积是面积的倍．以上结论中正确的结论有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分共18分） 11. 若点与点关于轴对称，则的值为__________． 12. 若，则分式的值为___________． 13. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 _______． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为___________． 15. 如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为______． 16. 记，设A为代数式，若，则_____． 三、解答题（共72分） 17. （）化简：； （）化简：． 18. 先化简：，然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值． 19. 解下列分式方程： （1）； （2）． 20. 如图，四边形中，，E是的中点，平分． （1）判断、、之间的数量关系，并证明； （2）若，，求和的面积之和． 21 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 22. 为了解初二学生的体育水平，体育老师共抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表． 抽测体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 7.9 7 女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次测试中，女生得10分的人数为4人，则这次抽测中有女生______人； （2）补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上； （3）补全抽测体育模拟测试成绩分析表； （4）这个年级共有男生240人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀． 23. 证明：等腰三角形两底角的角平分线相等． 24. 从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． （1）求高铁的平均速度； （2）某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 25 （1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期期末水平调研数学试卷 一、单选题（每题3分共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 在，，，，，中，分式有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 3. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是( ) A. 92 B. 91.5 C. 91 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，91分别乘以它们的百分比，再求和即可． 【详解】解：根据题意得 即小强这学期的体育成绩是 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键． 4. 如图，D是上的一点，已知，平分，下列所给选项不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由等腰三角形的性质推出，由角平分线定义得到，因此，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：如图，设相交于点O， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， A、由判定，故A不符合题意； B、由，得到，由判定，故B不符合题意； C、和分别是和的对边，不能判定，故C符合题意； D、由，，推出，由判定，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到，进而得到，进而得到的最小值为的长，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 6. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别30、24，则的长为（ ） A. 8 B. 15 C. 12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 故选：D． 7. 如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵点关于对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 8. 下列命题的逆命题一定成立的是（ ） ①对顶角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③若，则； ④若，则． A. ①②③ B. ①④ C. ②④ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】题目考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，错误； ②同位角相等，两直线平行，逆命题：两直线平行，同位角相等，正确； ③若，则，逆命题为：若，则，错误； ④若，则，逆命题为：若，则，错误． 故选D． 9. 学校组织720名师生去观看纪念建党百年的演出，有甲、乙两种大巴车可以租用．甲种大巴车比乙种大巴车每辆少载15人，学校只租甲种大巴车的辆数是只租乙种大巴车的2倍，且都刚好可以把师生全部载完，没有多余座位．设甲种大巴车每辆可载人，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲种大巴车每辆可载人，则乙种大巴车每辆可载人，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设甲种大巴车每辆可载人， 根据题意，可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，理清题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 10. 如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连结，使．有以下四个结论：①；②若点为中点，则；③若，则；④的面积是面积的倍．以上结论中正确的结论有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线；先利用证明可判断①、再利用证明可判断②，再利用全等三角形的性质与三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③，④；能够确定清晰的解题思路是解题关键． 【详解】解：∵为中线， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A为中点， ∴， ∴，故②正确； ∵，（已证）， ∴， ∵点A不一定是中点， ∴不一定相等，故③错误； ∵，，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有3个， 故选：C． 二、填空题（每题3分共18分） 11. 若点与点关于轴对称，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的性质，代数式求值，根据两点关于y轴对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此得出m，n的值，代入求值即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， ； 故答案为：1． 12. 若，则分式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 _______． 【答案】##8度 【解析】 【分析】本题考查了角的计算．熟练掌握角的计算是解题的关键． 由于折叠，，，根据题意可得，因，，，可得的度数． 【详解】解：由于折叠，，， ∵四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8°． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【详解】解：假设方程有解，解得：， ∵该方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴是该方程的增根， ∴， ∴． 综上，m的值为或． 故答案为：或． 15. 如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接，，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 16. 记，设A为代数式，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式化简，由此可得，进而得到，化简右边分式即可解答． 【详解】， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的除法、完全平方公式、因式分解和分式的性质，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 三、解答题（共72分） 17. （）化简：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）根据分式的性质和运算法则计算即可； （）根据分式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 18. 先化简：，然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先按照分式的运算顺序：先计算除法，再计算减法，得到化简结果，根据分式有意义的条件选取适当的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 由题意知，，， ∴，， ∴在3，2，和四个数中，a只能取， 当时，原式． 19. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 20. 如图，四边形中，，E是的中点，平分． （1）判断、、之间的数量关系，并证明； （2）若，，求和的面积之和． 【答案】（1），证明见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，继续证明得到，即可得出结论； （2）根据，求出梯形与的面积即可求解． 【小问1详解】 解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 为了解初二学生的体育水平，体育老师共抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表． 抽测体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 7.9 7 女生 7.92 1.99 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次测试中，女生得10分的人数为4人，则这次抽测中有女生______人； （2）补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应数据标注在统计图上； （3）补全抽测体育模拟测试成绩分析表； （4）这个年级共有男生240人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀． 【答案】（1）25 （2）见解析 （3）见解析 （4）估计大约有96名男生的成绩能够达到优秀 【解析】 【分析】（1）利用抽测女生得分的人数除以抽测女生得分的人数所占百分比即可得； （2）先求出抽测男生的人数，再求出男生得分的人数，据此补全条形统计图即可得； （3）根据方差的公式、中位数、众数的定义即可得； （4）成绩达到9分及以上（包含9分）的比例乘以240即可得． 【小问1详解】 解：抽测女生总人数为（人）； 【小问2详解】 解：抽测男生的人数为（人）， 男生得分的人数为（人）． 则补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解： 抽测男生方差为， 抽测男生的中位数位于成绩排在第10位和第11位成绩的平均数，即， 由女生成绩的扇形统计图可知，在女生的成绩中，8分的人数最多， 则女生成绩众数是8， 补全成绩分析表如下： 平均分 方差 中位数 众数 男生 7.9 1.69 8 7 女生 7.92 1.99 8 8 【小问4详解】 解：（人） 答：估计大约有96名男生的成绩能够达到优秀． 23. 证明：等腰三角形两底角的角平分线相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】画图，根据等腰三角形可知两底角相等，即∠ABC＝∠ACB，根据底角的角平分线可得∠DBC＝∠ECB，又有公共边BC＝CB，可证得△EBC≌△DCB，进而证得两角平分线相等. 【详解】证明：如图所示， ∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线． ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， 又∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（ASA）， ∴BD＝CE． 【点睛】本题利用等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的性质和判定解题，灵活运用即可解题. 24. 从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． （1）求高铁的平均速度； （2）某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【答案】（1）高铁的平均速度是每小时240千米 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． （1）设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米，根据题意可得，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时，据此列方程求解； （2）求出陈老师所用的时间，然后进行判断． 【小问1详解】 解：设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米 根据题意列方程得 解方程得 经检验是原分式方程的解， 高铁的平均速度： 答：高铁的平均速度是每小时240千米 【小问2详解】 能，（小时） 小时，从11点20分开始3个小时后是14点20分． 答：他能在开会之前到达 25. （1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$