第九章 平面直角坐标系（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第九章 平面直角坐标系思维导图 【类型覆盖】 类型一、有序数对 【解惑】如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，．下列对于，，，四个点的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（   ） A．河南省中北部 B．东经，北纬 C．嵩山东麓，黄河之滨 D．黄河中下游分界处 2．如图是长清区灵岩寺旅游景点地图简图的一部分，若图中“功德林”所在的区域是区，则“鲁班洞”所在的区域是 区． C D E 3 辟支塔 千佛殿 4 功德林 五步三泉 5 鲁班洞 大雄宝殿 3．如果用有序数对表示第一单元3号的住户，那么第3单元2号的住户用有序数对表示为 ． 类型二、判断所在的象限 【解惑】若点在第四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【融会贯通】 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点，且，，则点位于第 象限． 3．如果，，则点在第 象限． 类型三、方向角确定物体的位置 【解惑】外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 【融会贯通】 1．乐乐一家要到龙门石窟游玩．如图，龙门石窟位于乐乐家南偏西方向处，则乐乐家位于龙门石窟（    ） A．南偏西方向处 B．南偏东方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 2．如图，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置． 3．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．    类型四、求沿x轴、y轴平移的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 3．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 类型五、已知点平移前后坐标，判断平移方式 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)画出三角形，并求它的面积． (2)在三角形中，点C经过平移后的对应点为，将三角形做同样的平移得到三角形，画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 类型六、坐标系中的规律问题 【解惑】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点Р的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 类型七、坐标系中的网格作图 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)把向左平移个单位，向下平移个单位得到，画出 ； (2)点为内一点，则平移后点的对应点 的坐标为 ； (3)求的面积． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中．现将三角形沿 的方向平移，使得点A平移至的位置． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标为 ．点的坐标为 ； (2)三角形的面积为 ． (3)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别是，． (1)请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系； (2)把先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到，请在图中画出． (3)在图中存在点，使，．直接写出点坐标． 3．如图，的顶点都在网格上，建立如图的平面直角坐标系． (1)写出各点的坐标． A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）． (2)把平移到，使点B与原点O重合，画出； (3)已知内有一点P坐标为，则它平移后的对应点P1点的坐标为 ． (4)求出的面积． 类型八、坐标系中的面积问题 【解惑】如图，已知，，， (1)求的面积； (2)设为轴上一点，若，求点坐标． 【融会贯通】 1．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 2．如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________． 过点C作轴于点，_____________． ， ∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________； 【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标； 【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 类型九、坐标系中的动点问题 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点P从点A出发，沿路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为． (1)当P，Q两点出发时，试求三角形的面积； (2)设两点运动的时间为，用含t的式子表示运动过程中三角形的面积S（单位：）． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． (1)用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． (2)若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； (3)若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 类型十、坐标系中的新定义问题 【解惑】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点．例如：，，则点是点和的衍生点．已知点，点，点是点和的衍生点． (1)若点，则点T的坐标为 ； (2)请直接写出点T的坐标（用m表示）； (3)若直线交轴于点，当时，求点E的坐标． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)求点的“长距”； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值． 2．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，Q两点为“等距点”．如图中的，Q两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是______； (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)在（2）的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【一览众山小】 1．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了和两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为，如图，藏宝地点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．点到轴的距离为3，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为 ． 5．已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 6．如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 7．若点到轴，轴的距离之和为13，求点的坐标． 8．临黄河而知中国，临河洛而知华夏．洛阳因地制宜、科学规划实施“一中心六组团”城市发展战略，一座座地标性建筑点缀在历史、现代、未来3个城市轴线上，一个错落有致、疏密有度、古今辉映、山环水润，具有洛阳特色的城市格局跃然而现．下图是洛阳内部分建筑物的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若丽景门的坐标为，洛阳博物馆的坐标为． (1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出白马寺的坐标； (2)若洛邑古城的坐标为，龙门石窟的坐标为，请在图中标出洛邑古城和龙门石窟的位置． 9．已知当m，n都是实数，且满足时，就称点为“爱心点”． (1)点中哪个点为“爱心点”？请说明理由； (2)若点是“爱心点”，则点M在第几象限？请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 平面直角坐标系思维导图 【类型覆盖】 类型一、有序数对 【解惑】如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，．下列对于，，，四个点的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对确定位置，首先根据点，的表示方法可知，有序数对的第一个数代表目标在第几个圆圈上，第二个数代表对应的角的度数；根据有序数对的确定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原表示不正确； B．，故原表示不正确；     C．，故原表示不正确；     D．，正确． 故选D． 【融会贯通】 1．北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（   ） A．河南省中北部 B．东经，北纬 C．嵩山东麓，黄河之滨 D．黄河中下游分界处 【答案】B 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据坐标确定位置需要两个数据解答． 【详解】解：东经，北纬能确定郑州位置 故选：B． 2．如图是长清区灵岩寺旅游景点地图简图的一部分，若图中“功德林”所在的区域是区，则“鲁班洞”所在的区域是 区． C D E 3 辟支塔 千佛殿 4 功德林 五步三泉 5 鲁班洞 大雄宝殿 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解位置的表示方法是解题关键．根据景点的位置由所在竖列字母和横列的数字组成，即可写出“鲁班洞”所在的区域． 【详解】解：“鲁班洞”所在的区域：， 故答案为：． 3．如果用有序数对表示第一单元3号的住户，那么第3单元2号的住户用有序数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确得出有序数对的意义是解题关键． 根据有序数对表示第一单元号的住户，得出数字对应情况，进而得出答案． 【详解】解：第单元号的住户用有序数对表示为． 故答案为：． 类型二、判断所在的象限 【解惑】若点在第四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第四象限的点的坐标特征可得，，从而可得，即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C． 【融会贯通】 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据非负数的性质判断出点P的纵坐标是负数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．若点，且，，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据已知，可得，再根据各象限内点的坐标特征解答即可．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴， 点M在第二象限， 故答案为：二． 3．如果，，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．牢记四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，本题根据这些进行解答即可解决. 【详解】，， ∴点在第一象限， 故答案为：一 类型三、方向角确定物体的位置 【解惑】外婆生病住院，洋洋想去医院看望外婆，如图是外婆家、洋洋家、医院的大致位置，则下列说法正确的是（   ） A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处 B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处 C．洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处 D．医院在外婆家南偏东方向，距离400米处 【答案】B 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键．根据图形逐项分析即可． 【详解】解：A．医院在洋洋家北偏东方向，距离400米处，故不正确； B．外婆家在医院北偏西方向，距离300米处，正确； C洋洋家在医院南偏西方向，距离400米处，故不正确； D．医院在外婆家南偏东方向，距离300米处，故不正确； 故选B． 【融会贯通】 1．乐乐一家要到龙门石窟游玩．如图，龙门石窟位于乐乐家南偏西方向处，则乐乐家位于龙门石窟（    ） A．南偏西方向处 B．南偏东方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 【答案】D 【分析】本题考查了位置与方向角；龙门石窟对于乐乐家的方向，与乐乐家对于龙门石窟的方向是相反的．由此即可解答． 【详解】解：龙门石窟位于乐乐家南偏西方向处，则乐乐家位于龙门石窟北偏东方向处． 故选D． 2．如图，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置． 【答案】南偏东， 【分析】本题考查了方向角的概念，利用有序实数对表示位置，根据题意算出，再结合题干的条件，即可解题． 【详解】解：如图所示： 由平行线的性质可得：， 食堂在教室的北偏西，的位置， ∴教室在食堂的南偏东，的位置； 故答案为：南偏东，． 3．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．    【答案】070066 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2、3、4位数字表示时间，第5、6位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可． 【详解】解：∵南偏西方向的时刻是， ∴南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为070066． 故答案为：070066． 类型四、求沿x轴、y轴平移的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点平移的特点，将点横坐标加2，纵坐标加3，即可解题． 【详解】解：由点向右平移2个单位长度再向上平移3个单位， 所以平移后的坐标是， 故选B． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化．根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】解：∵点， ∴先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点的坐标是， 即， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点， 则点的坐标为，即． 故答案为：． 3．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 类型五、已知点平移前后坐标，判断平移方式 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为， ∴线段向左平移4个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B 2．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)画出三角形，并求它的面积． (2)在三角形中，点C经过平移后的对应点为，将三角形做同样的平移得到三角形，画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，； (2)如图所示，的坐标为，点的坐标为． 【分析】本题主要考查了平移规律、坐标与图形等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先描点，然后画出图形，再利用所在梯形面积减去周围三角形面积即可； （2）先根据点C的平移判定平移方式，然后根据平移方式平移三角形得到三角形，再直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ． （2）解：∵点经过平移后的对应点为， ∴点向右平移5个单位长度、向上平移1个单位长度得到， ∴三角形向右平移5个单位长度、向上平移1个单位长度得到三角形， ∴如图：三角形即为所求； ∴的坐标为，点的坐标为． 类型六、坐标系中的规律问题 【解惑】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题，按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案． 【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下， 由题意得，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次， ， 点的坐标与相同， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点Р的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律；根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：的坐标为，且对于点，我们把点叫作点P的伴随点． ，，，， ， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ， 点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A． 2．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2025次碰到长方形边上的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先根据反射规律得出前6个点的坐标，即可得出点的坐标的变化规律，再确定2025次是循环中的第几个点，进而得出答案． 【详解】解：由反射线前后对称规律可知第1-6次碰到长方形的边的点的坐标依次为：， 由此可以得出运动周期为6次一个循环． ∵， ∴第2025次碰到长方形的边的点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 类型七、坐标系中的网格作图 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)把向左平移个单位，向下平移个单位得到，画出 ； (2)点为内一点，则平移后点的对应点 的坐标为 ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据向左平移个单位，向下平移个单位，找到对应点，，，然后连接即可； （）根据平移即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图——平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵向左平移个单位，向下平移个单位， ∴顶点，，对应点，，， 连接，，， ∴即为所求； （2）解：∵向左平移个单位，向下平移 个单位 ∴平移后点点的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：的面积． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中．现将三角形沿 的方向平移，使得点A平移至的位置． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标为 ．点的坐标为 ； (2)三角形的面积为 ． (3)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 【答案】(1)画图见解析，， (2)7 (3)24 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形： （1）根据点A和的坐标可得平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，据此得到B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （3）只需要计算出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴，； （2）解：； （3）解：， ∴线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是24． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别是，． (1)请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系； (2)把先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到，请在图中画出． (3)在图中存在点，使，．直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—平移变换，建立平面直角坐标系，熟练掌握平移的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点的坐标分别是，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平移的性质作出即可； （3）根据题意画出点，再写出坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图，即为所作， （3）解：如图，点即为所求，， 3．如图，的顶点都在网格上，建立如图的平面直角坐标系． (1)写出各点的坐标． A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）． (2)把平移到，使点B与原点O重合，画出； (3)已知内有一点P坐标为，则它平移后的对应点P1点的坐标为 ． (4)求出的面积． 【答案】(1)；4；，；1；1 (2)见解析 (3) (4)9.5 【分析】此题主要考查了作图--平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置． （1）利用坐标系可得答案； （2）首先确定、两点平移后的位置，然后再连接即可； （3）根据和的位置可得平移方法，从而可得点的坐标的变化规律； （4）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， 故答案为：；4；，；1；1； （2）如图所示：即为所求； （3）点P坐标为平移后的对应点P7点的坐标为， 故答案为：； （4）的面积：． 类型八、坐标系中的面积问题 【解惑】如图，已知，，， (1)求的面积； (2)设为轴上一点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，解一元一次方程，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先计算出，然后根据三角形的面积公式计算的面积； （2）设点坐标为，再根据列出方程计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：设点坐标为， 当点在之间，即时， ， ， ， 解得：， 当点在点左边，即时， ， ， 解得：， 点的坐标为或． 【融会贯通】 1．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可； （3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4， ． 点到轴的距离为4， ， ， ． 点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或 点的坐标为或． （3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则， ，． 又， ． ②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ； ③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 2．如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________． 过点C作轴于点，_____________． ， ∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________； 【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标； 【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）6，m，， （2）点P的纵坐标为． （3）点H的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形的综合题、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系内求三角形的面积的方法是解题的关键． （1）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可； （2）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可； （3）根据的面积等于3，可得k的值，分情况讨论：①当点H在y轴右侧的直线上时，根据列方程求解即可；②当点H在y轴左侧的直线上时，根据列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积， 又∵， ∴，解得∶， ∴点B坐标为， 故答案为：6，m，，． （2）过点P作轴于点G，轴于点M，连接， 则的面积为，的面积为，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点P纵坐标为； （3）∵的面积为， ∵的面积等于3，， ∴， ∴， 如图：当点H在y轴右侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点H坐标为； ②如图：当点H在y轴左侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为， ∵， ∴，解得， ∴点H坐标为， 综上所述，点H坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了非负性的性质、坐标与图形的性质： （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用割补法求解即可； （3）由点C的纵坐标为b，可知点C的坐标为，从而轴．由得点C在点A右侧，过点B作BD⊥AC于点D．然后画出图形，根据以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：由（1），得，， ∴． （3）解：∵点C的纵坐标为b， ∴点C的坐标为， ∴轴． ∵， ∴点C在点A右侧． 如答图，过点B作BD⊥AC于点D． ∵， ∴， 即， 解得， ∴点C的坐标为． 类型九、坐标系中的动点问题 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点P从点A出发，沿路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为． (1)当P，Q两点出发时，试求三角形的面积； (2)设两点运动的时间为，用含t的式子表示运动过程中三角形的面积S（单位：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平行线的性质，难点在于（3）根据点、的位置，分情况讨论． （1）先求出点、的坐标，再求出、，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）分①时点在上，点在上，利用三角形面积公式列式即可；②时，点在上，点在上，过点作交的延长线于，根据，列式整理即可；③时，点在上，点在上，过点作，过点作交于，交于，，列式整理即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，，； 当时，点运动的路程为，， 点运动的路程为， ， 点运动到点就停止，点与点重合， ，， ，， ； （2）解：①如图1，当时，点在上，点在上， 易知， 则； ②如图2，当时，点在上，点在上， 过点作轴交的延长线于点， 易知，，，， 则， ； ③如图3，当时，点在上，点停在了点处， 过点作轴交的延长线于点，连接． 则，， ． 综上所述，． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． (1)用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． (2)若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； (3)若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 【答案】(1)； (2)向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，或向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点， (3)， 【分析】考查了坐标与图形性质、平移的性质、三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得出点C的坐标，由点B的横坐标的绝对值即可得出点B到y轴的距离点B 到y轴的距离； （2）分两种情况分别讨论：①点在y轴上，点在x轴上；②点在x轴上，点在y轴上，由平移的性质即可解答； （3）设，由围矩法求出，得出，由平移的性质即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：∵点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴． 点到y轴的距离为． 故答案为：； （2）解：当，点，点， 分两种情况讨论： ①如图， 点A、点B同时向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，； ②如图， 点A、点B同时向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点，． （3）解：当时，，， 过A作y轴的垂线，过M作x轴的垂线、过B作x轴的垂线，交x轴于G，交前面垂线点P、Q，如图所示： 设， ∴，，，，， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∵点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到M， ∴点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到N， ∴点． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，梯形面积公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的知识． （1）根据点C，B，D的坐标分别是，，，求出点A的坐标即可； （2）先用t表示出点M的坐标为，点N的坐标为，然后根据轴，得出，解关于t的方程即可； （3）根据以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，， ∴点A的坐标； （2）解：根据题意可知，点M的坐标为，点N的坐标为， 当时，轴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意得：，， ∵以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为，即． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)存在，见解析 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）解：分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 类型十、坐标系中的新定义问题 【解惑】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点．例如：，，则点是点和的衍生点．已知点，点，点是点和的衍生点． (1)若点，则点T的坐标为 ； (2)请直接写出点T的坐标（用m表示）； (3)若直线交轴于点，当时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形，理解新定义是解题关键． （1）根据“衍生点”的定义求出T点的横、纵坐标． （2）根据“衍生点”的定义分别用含m的代数式表示出T点的横、纵坐标． （3）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：，， 所以T的坐标为． 故答案为：． （2）解：T的横坐标为：， T的纵坐标为：． 所以T的坐标为：． （3）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，． ． ∴E点坐标为． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)求点的“长距”； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)当，则或；当，则 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为2， ∴点A的“长距”为4． 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4， ∴， 解得或， ∵点D的坐标为，且点D是“完美点” ∴或 当，则或 当，则． 2．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，Q两点为“等距点”．如图中的，Q两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是______； (2)若，两点为“等距点”，求的值． (3)在（2）的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)图见解析， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形性质，读懂题目中的定义，理解定义是解决问题的关键． （1）根据等距点的定义即可解决； （2）分两种情况：①当为最大值时，当为最大值时，根据等距点的定义，列式建立方程解决即可； （3）由题意画出图形即可求解． 【详解】（1）解：到、轴的距离中最大值为， 与点是“等距点”的点是，， 故答案为：，； （2），两点为“等距点”， ①当为最大值时， 或， 解得：（舍去）或． ②当为最大值时， 或， 解得：或（舍去）， 或； （3）如图，由（2）知，这些“等距点”分别为，，，， 这些“等距点”所围成的凸多边形的面积为． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)点是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∴点的“长距”为5． 故答案为：5； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 【一览众山小】 1．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了和两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为，如图，藏宝地点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查坐标确定位置，根据点和点的横坐标，得到藏宝地点在点和点的左边；根据点和点的纵坐标，得到藏宝地点在点和点的中间，即可得到答案．解题的关键是根据点的横坐标和纵坐标来确定位置． 【详解】解：∵藏宝地点的坐标为，且和， 根据点和点的横坐标，可知藏宝地点在点和点的左边；根据点和点的纵坐标，可知藏宝地点在点和点的中间， ∴藏宝地点可能是点． 故选：B． 2．下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，据此逐一判断即可，熟知平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． 【详解】①x轴上的点，其纵坐标均为0，故正确； ②当时，点在第四象限或第一象限，故错误； ③若，则点在第一象限，故正确； ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应，故正确； 故正确的有3个， 故选：C． 3．点到轴的距离为3，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，得到，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：D． 4．某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是求出每小时横纵坐标移动的距离及方向．根据上午两个小时的移动位置确定移动规律，据此规律推算，即可解题． 【详解】解：上午6时到上午8时横坐标向右移动个单位，纵坐标向下移动个单位， 上午10时的位置为，即为， 故答案为：． 5．已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ． 【详解】解：点到轴距离为3， 点的横坐标是， 第三象限内的点横坐标小于 0 ， 点的横坐标是． 横坐标与纵坐标的差为1， 纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 6．如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了坐标系中点平移以及二元一次方程组的应用．由题意可得：做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ，得：， ∴； 故答案为：． 7．若点到轴，轴的距离之和为13，求点的坐标． 【答案】点或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据题意可得，然后进行计算即可解答，熟知点到坐标轴的距离分别为横、纵坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 或， 解得或． 点或． 8．临黄河而知中国，临河洛而知华夏．洛阳因地制宜、科学规划实施“一中心六组团”城市发展战略，一座座地标性建筑点缀在历史、现代、未来3个城市轴线上，一个错落有致、疏密有度、古今辉映、山环水润，具有洛阳特色的城市格局跃然而现．下图是洛阳内部分建筑物的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若丽景门的坐标为，洛阳博物馆的坐标为． (1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出白马寺的坐标； (2)若洛邑古城的坐标为，龙门石窟的坐标为，请在图中标出洛邑古城和龙门石窟的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，正确画出平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据题意画出平面直角坐标系，并写出白马寺的坐标； （2）根据坐标即可确定位置． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示．白马寺的坐标为； （2）解：洛邑古城和龙门石窟的位置如图所示． 9．已知当m，n都是实数，且满足时，就称点为“爱心点”． (1)点中哪个点为“爱心点”？请说明理由； (2)若点是“爱心点”，则点M在第几象限？请说明理由． 【答案】(1)点是“爱心点”，理由见解析 (2)点M在第三象限．理由见解析 【分析】此题考查一元一次方程的应用，点所在的象限的性质， （1）根据“爱心点”定义判断即可； （2）根据“爱心点”定义得到，代入，求出a的值即可判断点M所在象限． 【详解】（1）解：点是“爱心点”． 理由：当时， 解得，则， ，∴点是“爱心点”； 当时， 解得，显然， ∴点B不是“爱心点”． （2）点M在第三象限．理由： ∵点是“爱心点”， ， ， 代入，得， 解得， ， ． 故点M在第三象限． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 6 学科网（北京）股份有限公司 $$