精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二下学期开学检测数学试卷

高台一中2024~2025学年第二学期开学检测考试 高二数学试卷 考试时间：120分 试卷满分150分 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若抛物线的准线方程是，则实数的值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，再得其准线方程，可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为抛物线，即， 则其准线方程为， 因为抛物线的准线方程是， 所以，解得. 故选：A. 2. 从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列组合求解即可. 【详解】第一步，选出5人，共有种不同选法； 第二步，选出5个岗位，共有种不同选法； 第三步，将5人分配到5个岗位，共有种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有（种）. 故选：D. 3. 已知直线 是双曲线的一条渐近线，则 的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，即可根据离心率根式求解. 【详解】的渐近线方程为，故，故， 故离心率为， 故选：B 4. 已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题是等差数列，故都可用表达，又因为恰好是等比数列，所以有，即可求出，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值． 【详解】等差数列中，， 因为恰好是某等比数列， 所以有，即（，解得 所以该等差数列的通项为 则． 故选C． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础题． 5. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】. 故选：B. 6. 椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案. 【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，， 则为平行四边形， 的周长为， 当，为椭圆上下顶点时等号成立. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】易知直线与圆，圆均相切，判断两圆位置关系，进而确定公切线条数. 【详解】与原点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 因为圆心距， 所以圆与圆外切，这两圆共有条公切线， 所以适合条件的直线共有条， 故选：C. 8. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及相似三角形的性质即可求解. 【详解】设抛物线的准线为，过点作于点,过点作于点,过点作于点,交轴于点，如图所示， 由，得，解得， 所以，. 设， 因为， 所以, 又, 故，解得， 所以. 故选：A. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（ ） A. B. 边上的中线所在的直线方程为 C. 过点且平行于的直线方程为 D. 三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是圆 B. 当时，是焦距为4的椭圆 C. 当是焦点在轴上的椭圆时， D. 当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 11. （多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ） A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用分步计数原理分析选项即可. 【详解】对于A选项， 第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误. 故选：AC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______. 【答案】112 【解析】 【分析】首先求展开式的通项公式，再根据特征项，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得，所以展开式的常数项为. 故答案为： 13. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件可以求得m的值，再根据两平行直线的距离公式即可计算得到直线与之间的距离 【详解】由直线：与直线：平行 可得，即， 故两直线可化为：：、： 故直线与之间的距离为 故答案为： 14. 已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据中点坐标得到，代入圆中，求出轨迹方程. 【详解】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解； （2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解. 【小问1详解】 （1）设数列等差数列的公差为d， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，， 所以，即 . 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ． 16. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1） 因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 17. 如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： （1）平面； （2）. 【答案】（1） 因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2） 因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆经过点，，是C的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点，且的周长为． （1）求C的方程； （2）若，求l的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，即可得到椭圆的方程； （2）当轴时，A，B的坐标为，，易知，不满足题意；当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为，联立椭圆方程得到根与系数的关系，将用表示，解方程即可. 【详解】（1）依题意，，故． 将点代入椭圆方程得，，所以， 所以C的方程为． （2）由（1）知，的坐标分别为，． 设，， ①当轴时，A，B的坐标为，，则 ，不满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为， 代入得：． 所以， ，， 因为，， 所以． 因为， 所以 ． 依题意得：， 解得，即． 综上，直线l的方程为或． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道中档题. 19. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高台一中2024~2025学年第二学期开学检测考试 高二数学试卷 考试时间：120分 试卷满分150分 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若抛物线的准线方程是，则实数的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知直线 是双曲线的一条渐近线，则 的离心率等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 7. 在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（ ） A. B. 边上的中线所在的直线方程为 C. 过点且平行于的直线方程为 D. 三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是圆 B. 当时，是焦距为4的椭圆 C. 当是焦点在轴上的椭圆时， D. 当是焦点在轴上的椭圆时， 11. （多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ） A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______. 13. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______． 14. 已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 17. 如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： （1）平面； （2）. 18. 已知椭圆经过点，，是C的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点，且的周长为． （1）求C的方程； （2）若，求l的方程． 19. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $