精品解析：河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高三下学期第一次综合练习数学试卷

阳一高2024-2025学年高三第二学期第一次综合练习 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合交集的定义得到结果. 【详解】因为集合，集合 ∵, ∴. 故选：C. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，将复数化成，再然后最后写出的虚部. 【详解】. 则复数的虚部为. 故答案为：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 4. 在展开式中常数项为（ ） A. 721 B. -61 C. 181 D. -59 【答案】D 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式=,其中的展开式的通项公式为，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值. 【详解】=的展开式的通项公式为 =， 其中的展开式的通项公式为， 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 故常数项为++. 故选：D 5. 某市举行“中学数学竞赛”，有100名学生参加了比赛，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该市学生成绩的分位数为（ ） A. 120 B. 122 C. 125 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接求解即可. 【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为， 所以成绩在110分以下的学生所占比例为， 因此分位数一定位于内，由， 故可估计该校学生成绩的分位数为122. 故选：B 6. 双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先推出的横坐标为，由双曲线的方程可得、、，求得内心的坐标为，再由直线的斜率公式，计算可得所求值. 【详解】如图所示：可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、分别与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线的，，， 由题意可得的纵坐标为，即， 又、，可得， 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题. 7. 已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正三棱台补形成正三棱锥，并确定正三棱锥的结构特征，求出点到平面的距离，进而求出截面小圆半径作答. 【详解】将正三棱台补形成正三棱锥， 如图，由得． ∵，∴，∴为正三角形， ∴三棱锥为正四面体．令正的中心为，连接，， 则平面，，∴． ∵球半径为，∴这个球面截平面所得截面小圆是以为圆心，为半径的圆． 在正中，取，的中点，，取的三等分点，，连接，， 显然，即，，同理，即， ∴六边形是正六边形，点，，，，，在此球面截平面所得截面小圆上． 连接，，，，则，此球面与侧面的交线为图中的两段圆弧（实线）， ∴交线长度为． 故选：C. 【点睛】思路点睛：将正三棱台补形成正三棱锥，并确定正三棱锥为正四面体，由此可求出点到平面的距离，进而求出球面与侧面的截面小圆半径，从而确定交线为两段圆弧，求出弧长得解. 8. 若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为，再构造函数（），求其最大值，进而求得结果. 【详解】化简不等式可得，即：， 令（），则对任意的，， 所以，设，， 则，令， 所以，所以在上单调递减， 又因为， 所以，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得：，即：的取值范围为. 故选：A. 二.多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全不选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数x，y满足，则（ ） A. 最小值为-5 B. 的最大值为9 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件可以得出点P在半圆C：上，数形结合，可知的取值范围，从而判断A选项；可看作点到半圆上的点P的距离的平方，从而判断B选项；对于C，D，可以看作直线的斜率进行判断. 【详解】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. （多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为偶数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，再根据递推公式逐一分析判断即可. 【详解】对于A，记该数列为，由题意知，，，，， ，，，， ，，故A正确； 对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，故为奇数，故B错误； 对于C，由题意知，所以， ，故C正确； 对于D，， 故D正确． 故选：ACD. 11. 已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数（）在上单调递减，则 C. 若，则的最小值为 D. 若函数在上存在两个极值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的单调区间以及可知关于点对称且，可得，再由时，取得最小值可得，即A错误，由并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确. 【详解】对于A选项，因为，所以， 可得的图象关于点对称， 又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值. 因为在是单调函数，所以得，所以， 又因为函数在时取得最小值，所以由， 得，.解得，. 又，所以，故A错误； 对于B选项，易知，所以， 当时，，若函数（）在上单调递减， 则，解得，故B正确； 对于C选项，最小正周期为，当时， 则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可. 三.填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题设设出两点，求出直线的斜率和方程，继而得到直线与轴的交点，从而将的面积转化成的形式，计算即得. 【详解】设，，因为线段AB的中点，则，． 由题意，得直线AB的斜率， 所以直线AB的方程为，即，它与x轴的交点坐标为． 因，， 则．故△AOB的面积为． 故答案为：. 13. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由数列的递推公式可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】有题意可知，时，， 当时， 由， 得， 两式相减得：， 所以，当，也满足此式， 故，， 则=， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 即， 即对恒成立， 设，则 当时，， 当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且， 则. 故答案为：. 14. 中，为边上高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的_______________ 【答案】外心 【解析】 【分析】设以H为原点，、方向为轴正方向如图建立平面直角坐标系，根据已知得出相关点的坐标，设，根据列式得出点的轨迹方程为，即可根据三角形四心的性质得出答案. 【详解】设以H为原点，、方向为轴正方向如图建立平面直角坐标系， 因为，所以 则则， 设，则，∵，∴，即， 即点P的轨迹方程为，而直线，平分线段， 即点P的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过的外心. 故答案为：外心. 四.解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四边形中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解； （2）由面积公式即可得解. 【小问1详解】 由已知， ∵是锐角，∴． 由余弦定理可得，则． ∵，∴BD是四边形外接圆的直径， ∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知 【小问2详解】 由，，，， 则,, 又，则， 因此， 故的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到面平面，再由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公式求解即可； 【小问1详解】 在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即， 平面平面， 又平面平面， 又平面， 为线段的中点，， 又平面平面. 【小问2详解】 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设为平面的法向量，由得 令，则，即， 易知为平面的法向量， ， 由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为. 17. 已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的公差为，的公比为，利用题设条件列出方程组，求出基本量，写出通项公式即可； （2）利用错位相减法即可求得； （3）按照奇数项和偶数项分组求和即得. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 由，可得：， 解得，故， 由，可得：， 又，故，解得，故. 【小问2详解】 易知， ，① ② 由 ， 故. 【小问3详解】 因数列为等差数列，故数列也是等差数列，故 ， 又数列为等比数列，故数列也是等比数列，故 ， 故数列前项和为. 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据即可求解， （2）求导可得切线斜率，即可根据点斜式求解直线方程，进而可得方程为，根据相切即可求解， （3）联立直线与曲线方程可得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，故抛物线的方程为 【小问2详解】 设， 所以直线即 同理可得， 设则且 故在直线上， 即直线方程为， 由于直线与圆相切，故，化简可得， 故点的轨迹方程 【小问3详解】 由题意可知， 设直线的方程为，, 联立方程，化简可得， 则故， 由于直线与双曲线的下支相交于两点， 故，解得， ， 故为定值. 19. 已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)如果函数g(x)在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) [－2，＋∞) 【解析】 【分析】（1）转化为导函数在区间上恒非正，再根据二次函数性质列式求解，（2）先化简不等式并变量分离，再利用导数研究新函数单调性以及最值，即得结果. 【详解】解：(1) 由题意，对恒成立， 则 (2)由题意在上恒成立， 可得，设 则＝－＋＝－ ， 令＝0，得x＝1或－(舍)， 当0＜x＜1时，＞0，当x＞1时，＜0， 所以当x＝1时，取得最大值，＝－2 所以≥－2，所以的取值范围是[－2，＋∞). 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳一高2024-2025学年高三第二学期第一次综合练习 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 在的展开式中常数项为（ ） A. 721 B. -61 C. 181 D. -59 5. 某市举行“中学数学竞赛”，有100名学生参加了比赛，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该市学生成绩的分位数为（ ） A. 120 B. 122 C. 125 D. 130 6. 双曲线右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全不选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数x，y满足，则（ ） A. 的最小值为-5 B. 的最大值为9 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. （多选）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为偶数 C. D. 11. 已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（ ） A B. 若函数（）在上单调递减，则 C. 若，则的最小值为 D. 若函数上存在两个极值点，则 三.填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为______． 13. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______． 14. 中，为边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的_______________ 四.解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四边形中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和. 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）求点轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值. 19. 已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)如果函数g(x)在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $