精品解析：贵州省毕节市金沙县第五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

金沙五中2024-2025高二半期考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 的共轭复数 3. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为且，，右焦点为，直线与直线相交于点．若垂直于轴，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点，圆的一般方程为，则点A在圆上 ②圆的圆心到直线的距离为2 ③圆与圆外切 ④两圆与的公共弦所在的直线方程为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 7. 已知向量，其中，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. D. 28 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设m，n为两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 10. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的周长为12 C. 的面积为 D. 为等边三角形 11. 如图，在正方体中，点在线段运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角的取值范围为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 过作直线，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，则等于__________． 13. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为 . 14. 直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在内的频率； （2）估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值． 17. 已知点，直线及圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值. 18. 在四棱锥中，，，平面平面，，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面BPC与平面PCD所成角的余弦值． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金沙五中2024-2025高二半期考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次方程化简集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集运算、并集运算和补集运算逐项判断即可. 【详解】由题意知，， 所以，，故A错误；，故B错误，C正确； ，故D错误. 故选：C. 2. 在复平面内，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 的共轭复数 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，进而确定虚部、对应点所在象限、求模长和共轭复数，即可得答案. 【详解】由，所以的虚部为3，A选项错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：C 3. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得. 【详解】由可知圆心为， 又因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 由点斜式得直线， 化简得直线的方程是． 故选：D． 4. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得，又，，则直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 故选：A 5. 已知（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为且，，右焦点为，直线与直线相交于点．若垂直于轴，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题借已知条件建立、、的方程，再由方程构造求解即可. 【详解】解：由题意得：，，，，， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，得：， 而垂直于轴，所以是方程的解，则， 整理得：， 故选：A 【点睛】本题考查借、、的等量关系求椭圆离心率的问题，是中档题. 6. 以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点，圆的一般方程为，则点A在圆上 ②圆的圆心到直线的距离为2 ③圆与圆外切 ④两圆与的公共弦所在的直线方程为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案. 【详解】将点代入圆方程，满足，故①正确； 圆的圆心为，到直线的距离为，②错误； 圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，圆心距为，故③正确； 两圆与方程相减得到，即公共弦方程为：，④错误. 故选：B. 7. 已知向量，其中，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析的最小值 【详解】因为， 所以， 因为，所以，故的最小值为. 故选A 【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值 8. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像过定点得，则有，由，利用基本不等式可得最小值. 【详解】函数的图像恒过定点， 点A在直线上，有，又， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设m，n为两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A两线垂直同一平面，所以两条线平行；选项B根据线面垂直和面面平行的传递性可判断；选项C两线都平行于一个平面，两条线可以相交或者异面；选项D根据面面垂直定理易得. 【详解】解：对于A，若，则，可得A是真命题； 对于B，因为且，所以， 结合，可得，故B是真命题； 对于C，由且成立，m，n可能平行，异面或者相交，故C不正确； 对于D，由，设，，则， 又，所以，又，由面面垂直的判定定理得到，故D正确. 故选：ABD． 10. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的周长为12 C. 的面积为 D. 为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求得a，b，c，再逐项求解判断. 【详解】因为椭圆：， 所以， 则，故A正确； 的周长为，故B正确； 的面积为，故C错误； ，所以为等边三角形，故D正确； 故选ABD 11. 如图，在正方体中，点在线段运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角的取值范围为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 过作直线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对三棱锥转化顶点可判定选项A，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线与平面所成角的正弦值的最大值为直线与直线所成角的余弦值最大,进而判断选项C，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 【详解】如图， 对于选项A，,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故A正确； 对于选项B，当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为, 故B错误； 对于选项C，因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故C正确; 对于选项D，连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故，过作直线，则,所以；故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用夹角求出，，再求，即可求解． 【详解】由，得，又， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据题意计算出的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得， 圆锥的高为，因此圆锥的体积为， 故答案为. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题. 14. 直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由于直线恒过，所以当直线与定点和圆心连线的直线垂直时，取得最小值，从而可求出的值 【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：， 所以则的最小值为：， 此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在内的频率； （2）估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中各小长方形面积为概率，其和为1，由此可求解； （2）利用组中值根据求均值的计算方法可求平均分： （3）先按分层抽样确定分数段与分数段的人数各为2人和4人，从中任取2人共有15种基本事件，其中2人皆在分数段内包含6种基本事件，因此至多有1人在分数段包含15-6=9种基本事件，从而可求概率 【小问1详解】 分数在内的频率为 ． 【小问2详解】 估计平均分为 ． 【小问3详解】 由题意，分数段的人数为（人） 在分数段的人数为（人）． ∵用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在分数段内抽取2人，并分别记为； 在分数段内抽取4人，并分别记为； 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件， 则基本事件共有，共15个． 则事件包含的基本事件有共9个． ∴． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，将等式化简即可得到，进而求得角的值； （2）由（1）及余弦定理，结合重要不等式可求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，则， 即，可得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，且， 由余弦定理知，即， 可得， 又由， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 17. 已知点，直线及圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，分别求出切线的方程，即可得到答案； （2）由题意得到圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的圆心为， 当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，此时与圆相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则方程为， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，即切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 在直角中，，， 所以， 则圆心到直线的距离，解得. 故的值为. 18. 在四棱锥中，，，平面平面，，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面BPC与平面PCD所成角的余弦值． 【答案】（1） 在面内过，连接， 由，，则，与必相交， 由面面，面面，面， 所以面，面，则，又， 由与相交且都在面，则平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在面内过，易知，与必相交，再由面面、线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定证明结论； （2）在面内作，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值； （3）同（2）中坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及，易知为等边三角形，在面内作， 结合（1）结论，可构建如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，又是面的一个法向量， 则直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 同（2）中坐标系，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 所以平面BPC与平面PCD所成角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果; （2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以． 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而． 所以椭圆的标准方程． 【小问2详解】 因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为． 联立直线的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $