精品解析：河南省驻马店市泌阳县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上期期末素质测试题 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 64的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴64的平方根是， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式，逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 4. 下列各命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：A．若，则的逆命题是若，则，是假命题； B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； C．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题； D．若，则的逆命题是若，则，是假命题． 故选C． 5. 在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线，角的平分线，线段的垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】根据题意，甲作的是的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段的垂直平分线， 而点P一定是在的角平分线与的交点处， 故选B． 6. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出， 【详解】解：延长，交于， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①不符合题意； ∵， 设，则， ∴， ∴为直角三角形， 故②不符合题意； ∵， 设，则、， ∴， ∴， ∴，，， ∴不是直角三角形， 故③符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形， 故④不符合题意， 故选A． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 10. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关键．连接与交于点P，则此时周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，M，N， ∴A，C关于对称， 连接与交于点P，则此时的周长取到最小值， ∵，点D是的中点， ∴， ∵垂直平分，点P是上的点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分是腰长和底边长两种情况讨论，再利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形周长的定义列式计算即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当是腰长时，三边分别为、、， 此时该三角形的周长为：， ②是底边长时，三边分别为、、， ∵， 此时不能构成三角形； 综上所述，这个等腰三角形的周长为． 故答案为：． 12. 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设________． 【答案】是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可求解． 【详解】解：反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设的是直角三角形， 故答案为：是直角三角形 ． 13. 若ab=-2，a-3b=5，则a3b-6a2b2+9ab3的值为_____. 【答案】-50 【解析】 【分析】利用提公因式和完全平方公式将原式进行因式分解，然后整体代入计算即得. 【详解】解：原式=ab(a2-6ab+9b2)=ab(a-3b)2 ∵ab=-2，a-3b=5， ∴原式=-2×52=-50. 故答案为-50. 【点睛】此题考查利用因式分解求代数式的值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 14. 甲乙二人共同计算由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点．先按甲、乙错误的做法得出的系数的数值求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：依题意得， ∴，即， ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰的等腰三角形，则的长为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．过D作于M，根据勾股定理求出，分为两种情况：或，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：   过D作于M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分为两种情况： ①时，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或7， 或7； ②时， 在中，由勾股定理得：， ； 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）已知n为正整数，且，求的值． （2）已知，求整式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键； （1）首先幂的乘方与积的乘方进行计算，将化简为，最后代入求得答案即可 （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后将整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 17. 对于代数恒等式，用图形的面积来解释它的正确性． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，根据题意构造图形，根据图形面积的两种不同表示方法得到恒等式． 【详解】解：如图所示： 阴影部分可以看成是一个长为，宽为的长方形，所以它的面积为 ; 阴影部分还可以看成是个边长为的正方形与个长为、宽为的小长方形拼接在一起后，再挖去个边长为的正方形和个长为、宽为的小长方形，所以它的面积还可以表示为 因此，可以得到代数恒等式 或者如图所示： 先画一个长为，宽为的长方形，然后长减去，宽加上，求得到新图形的面积，即空白图形的面积；可以表示为 也可以表示为 因此，可以得到代数恒等式 18. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：交流谈心：体育活动：享受美食；听音乐；其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）计算扇形统计图中表示“听音乐”的扇形圆心角的度数． 【答案】（1）50 （2）10人，图见解析 （3）129.6° 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用“享受美食”的人数除以其占被调查人数的百分比即可得总人数； （2）用总人数分别减去四类人数可得体育活动人数，进而补全图形； （3）用样本中“听音乐”人数占被调查人数的比例乘以即可解题． 【小问1详解】 解：被调查的学生共有人， 故答案为：； 【小问2详解】 选择“体育活动”的人数为：（人， 补全条形统计图如图： 小问3详解】 根据题意得：， 答：扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数是． 19. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； （2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 在中，， ∴， ， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； 【小问2详解】 解：在中，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为． 20. 教材呈现：下面是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 定理证明： （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图2，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （3）如图3，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，则的长为_________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键． （1）根据垂直的定义可得，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）如图，连结，根据垂直平分线的性质可得，即可得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （3）如图，连接，根据等腰三角形的性质可得出，根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质及外角的性质可证明三角形是等边三角形，可得，即可得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ， ． ． （2）如图，连结． ∵直线m、n分别是边的垂直平分线， ． ． ， ． （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 阅读下面的材料： 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的因式分解，具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）因式分解：； （2）已知等腰三角形的三边长，，均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有_________个； （3）已知的三边长，，（）满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先将原式分组为和，分别利用公式法和提公因式法进行分解，最后再提取公因式即可； （2）先将原式分组为和，进行两次提取公因式后可得，结合等腰三角形性质、三角形三边关系即可求解； （3）结合提公因式法和公式法进行因式分解后，结合勾股定理逆定理即可判断三角形的形状． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 整数，，是等腰三角形的三边长， （舍），； 或，，即，，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，符合三角形三边关系，保留； 或，，则，，符合三角形三边关系，保留； 或，，则，，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，舍去； 综上，满足该条件的等腰三角形共有个，边长分别为，，或，，． 故答案为：． 【小问3详解】 解：的三边长，，（）满足， ， ， ， （舍）或， 是直角三角形． 【点睛】本题考查知识点是因式分解的应用、等腰三角形性质、三角形三边关系、勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握因式分解的方法． 22. 如图1，已知直线l及直线l外一点P，求作过点P与直线l平行的直线． （1）小东设计的尺规作图过程如下（作图痕迹如图2）： ①在直线l上取一点A，连接； ②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B，交于点O； ③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与l平行？请说明理由 （2）小明设计的尺规作图过程如下（部分作图痕迹如图3）： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线l于点A、B，连接，并延长至点C； ②作角平分线．则所在的直线就是所求作的直线 请你在图3中将小明的尺规作图补充完整 【答案】（1）平行，理由见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用判断出，得出，即可得出结论； （2）按照角平分线的尺规作图的步骤作图，再证明即可． 【小问1详解】 解：由题意可知： 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如下图，以P为圆心，以任意长为半径画弧，交边为E，F两点，分别以E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点Q，连接P，Q，所在的直线即为所求， 由题意可知：， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的尺规作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图． 23. 我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期期末素质测试题 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 64的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 2. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 4. 下列各命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若，则 5. 在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 6. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 7. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 10. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 12. 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设________． 13. 若ab=-2，a-3b=5，则a3b-6a2b2+9ab3的值为_____. 14. 甲乙二人共同计算由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为，则________． 15. 如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰等腰三角形，则的长为_________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）已知n为正整数，且，求的值． （2）已知，求整式的值． 17. 对于代数恒等式，用图形的面积来解释它的正确性． 18. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：交流谈心：体育活动：享受美食；听音乐；其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）计算扇形统计图中表示“听音乐”的扇形圆心角的度数． 19. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设管道总长； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 20. 教材呈现：下面是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 定理证明： （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图2，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （3）如图3，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，则的长为_________． 21. 阅读下面的材料： 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的因式分解，具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面问题： （1）因式分解：； （2）已知等腰三角形的三边长，，均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有_________个； （3）已知的三边长，，（）满足，试判断的形状，并说明理由． 22. 如图1，已知直线l及直线l外一点P，求作过点P与直线l平行直线． （1）小东设计的尺规作图过程如下（作图痕迹如图2）： ①在直线l上取一点A，连接； ②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B，交于点O； ③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与l平行？请说明理由 （2）小明设计的尺规作图过程如下（部分作图痕迹如图3）： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线l于点A、B，连接，并延长至点C； ②作的角平分线．则所在的直线就是所求作的直线 请你在图3中将小明的尺规作图补充完整 23. 我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $