第四章 指数函数与对数函数 章末综合测评-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章末综合检测(四) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．()－＋27－＝(　　) A. B．2 C. D. 解析：选B.()－＋27－＝()－1＋3－1＝＋＝2.故选B. 2．已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(2，4)，则loga＝(　　) A．－ B．－1 C. D．1 解析：选C.由题意a2＝4，解得a＝2(负值已舍去)，所以loga＝log2＝.故选C. 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax，y＝logax－a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：选D.当a>1时，y＝ax与y＝logax－a都单调递增，A，B，C，D均不符合题意； 当0<a<1时，y＝ax与y＝logax－a都单调递减，对于y＝logax－a，当x＝1时，y<0，C不正确．故选D. 4．设函数f(x)＝若f(3)＝a，则f(a－2)＝(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：选C.由题意f(3)＝log23＝a，因为log23－2＝log23－log24<0，所以f(a－2)＝f(log23－2)＝2log23－2＝2log23×2－2＝.故选C. 5．已知放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，则至少经过(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．110年 B．115年 C．112年 D．120年 解析：选A.设至少经过x年(x∈N*)，“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，原有“锶90”含量为1，则1×()≤1×8%，解得≥log0.50.08＝＝≈＝，即x≥110，所以若“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，则至少经过110年．故选A. 6．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(x)的两个相邻的零点是1，2，则“∃x0∈(1，2)，f(x0)>0”是“∀x∈(1，2)，f(x)>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由题意知，f(1)＝f(2)＝0，对任意x∈(1，2)，f(x)≠0，而函数y＝f(x)的图象是连续不断的，由∃x0∈(1，2)，f(x0)>0，可得∀x∈(1，2)，f(x)>0，充分性成立，反之∀x∈(1，2)，f(x)>0，显然可推出∃x0∈(1，2)，f(x0)>0，必要性成立， 故“∃x0∈(1，2)，f(x0)>0”是“∀x∈(1，2)，f(x)>0”的充要条件．故选C. 7．已知21a＝ln 11，14b＝ln 5，6c＝ln 2，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 解析：选A.由题意可得42a＝2ln 11＝ln 112＝ln 121，42b＝3ln 5＝ln 53＝ln 125，42c＝7ln 2＝ln 27＝ln 128.因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数．所以ln 121<ln 125<ln 128，则a<b<c.故选A. 8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)有三个零点a，b，c，且a<b<c，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：选B.画出f(x)＝ 的图象和y＝m的图象，如图所示， 由题意得a2－3＝3－b2＝＝m，且m∈(0，3)，即a＝－，b＝－，c＝，故＝＝≥＝，当且仅当m2＝9－m2，即m＝时，等号成立．故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．a2>b2 B．()a>()b C.> D．ln a>ln b 解析：选AD.对于A，因为a>b>0，所以由不等式的性质可得a2>b2，所以A正确； 对于B，因为y＝()x在R上为减函数，且a>b>0，所以()a<()b，所以B错误； 对于C，因为a>b>0，ab>0，所以>，得>，所以C错误； 对于D，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，a>b>0，所以ln a>ln b，所以D正确．故选AD. 10．已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数g(x)恰有两个零点，则函数g(x)的零点可以是(　　) A．－ B．－1 C．1 D．2 解析：选AD.当2－x≤2时，x≥0， f(2－x)＝2－|2－x|＝ 当2－x>2时，x<0，f(2－x)＝(2－x－2)2＝x2. f(2－x)＝所以f(2－x)的大致图象如图所示， 当b＝0时，g(x)＝b－f(2－x)有零点0，4； 当b＝2时，由x2＝2解得x＝－(正值已舍去)，所以g(x)＝b－f(2－x)有零点－，2.故选AD. 11．关于函数f(x)＝2，下列命题中正确的是(　　) A．函数图象关于y轴对称 B．函数的单调递增区间为(－1，0)∪(1，＋∞) C．函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值，且最小值为2 D．函数f(x)的值域是[4，＋∞) 解析：选AD.由题知，f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝2＝2＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故A正确； 令t＝g(x)＝＝ ＝ 当x>0时，g(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，此时取得最小值2，所以当x>1时，g(x)单调递增，当0<x<1时，g(x)单调递减； 当x<0时，g(x)＝－(x＋)≥2＝2，当且仅当－x＝－ 即x＝－1时取等号，此时取得最小值2，所以当x<－1时，g(x)单调递减，当－1<x<0时，g(x)单调递增； 函数y＝2t为增函数，由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)(不能用∪联接)，故B错误；由函数的单调性可知，函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值，且最小值为f(1)＝22＝4，故C错误；因为g(x)≥2，所以函数f(x)的值域是[4，＋∞)，故D正确．故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝lg(x2－2)－lg x的零点为________． 解析：由题意得解得x>， 由lg(x2－2)－lg x＝0得lg(x2－2)＝lg x， 则x2－2＝x，即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1(舍去)． 故函数f(x)的零点为2. 答案：2 13．若函数f(x)＝|2x－8|在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________． 解析：因为f(x)＝|2x－8|＝ 作函数f(x)＝|2x－8|的图象如下， 结合图象可知，函数f(x)＝|2x－8|在[3，＋∞)上单调递增， 所以m≥3，则实数m的最小值为3. 答案：3 14．函数f(x)＝＋lg(＋x)在区间[－m，m]内的最大值为M，最小值为N，其中m>0，则M＋N＝________． 解析：由题意可知， f(x)＝＋lg(＋x) ＝3－＋lg(＋x)， 设g(x)＝－＋lg(＋x)，g(x)的定义域为[－m，m]， 所以g(－x)＝－＋lg(－x) ＝－[－＋lg(＋x)] ＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋3＋g(x)min＋3＝6. 答案：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)求值： (1)＋8＋()－0.52＋(－1)0； (2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316. 解：(1)＋8＋()－0.52＋(－1)0＝π－3＋2＋[()3] －＋1＝π＋－＝π＋2. (2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316 ＝log3[32×(33)2]＋(log23＋log22)－log23＋log43×log342 ＝log3(32×36)＋log22＋log43×2log34 ＝log338＋1＋2＝8＋3＝11. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝. (1)证明：若x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝2； (2)求f()＋f()＋f(1)＋f()＋f()的值． 解：(1)证明：f(x1)＋f(x2)＝＋＝ ＝. 若x1＋x2＝2，则2x1·2x2＝2x1＋x2＝4. 故f(x1)＋f(x2)＝＝2. (2)由(1)可知f()＋f()＝2，f()＋f()＝2. 又因为f(1)＝1，所以f()＋f()＋f(1)＋f()＋f()＝5. 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)若f(x)＋log2(1－x)<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则log2＝－log2，即log2＋log2＝0，所以·＝1， 即a2＝1，解得a＝±1， 当a＝1时，f(x)＝log2，则令>0，解得－1<x<1， 即函数的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝log2＝log2()－1＝－log2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，符合题意； 当a＝－1时，f(x)＝log2＝log2，函数无意义，故舍去． 综上可得a＝1，函数的定义域为(－1，1)． (2)因为f(x)＝log2， 则f(x)＋log2(1－x) ＝log2＋log2(1－x)＝log2(x＋1)， 因为f(x)＋log2(1－x)<m恒成立， 所以log2(x＋1)<m对任意的x∈(－1，1)恒成立， 又y＝log2(x＋1)在(－1，1)上单调递增，所以log2(x＋1)<log22＝1，所以m≥1，即实数m的取值范围是[1，＋∞)． 18．(本小题满分17分)随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习．已知前四年，平台会员的人数如图所示： (1)依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(千人)，并求出你选择模型的解析式． ①y＝＋b(t>0)，②y＝d·logrx＋s(r>0且r≠1)，③y＝m·ax＋n(a>0且a≠1)； (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过k·()x(k>0)千人，请依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值． 解：(1)从题图数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 因为函数增长的速度越来越快不选②， 所以选择③y＝m·ax＋n(a>0且a≠1)， 代入表格中的三个点可得 解得将(4，42.5)代入符合， 所以y＝8·()x＋2，x∈N*. (2)由(1)可知，y＝8·()x＋2，x∈N*， 故不等式8·()x＋2≤k·()x对x∈[1，＋∞)且x∈N*恒成立，所以k≥＋＝2·()2x＋8·()x对x∈[1，＋∞)且x∈N*恒成立．令()x＝t，g(t)＝2t2＋8t，t∈(0，]，因为g(t)在(0，]上单调递增，所以g(t)≤g()＝，所以k≥，所以k的最小值为. 19．(本小题满分17分)已知函数y＝f(x)，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有f(x)＋f()＝0，就称函数y＝f(x)满足性质P. (1)已知f(x)＝2x＋1，判断y＝f(x)是否满足性质P，并说明理由； (2)若y＝f(x)满足性质P，且定义域为(0，＋∞)． ①已知x∈(0，1)时，f(x)＝log3x－，求函数f(x)的解析式并指出方程f(x)＝255是否有正整数解？请说明理由； ②若f(x)在(0，1)上单调递增，判定并证明f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解：(1)因为f(x)＋f()＝2x＋1＋＋1＝2x＋＋2＝0不恒成立， 所以y＝f(x)不满足性质P. (2)①当x>1时，0<<1，此时f(x)＝－f()＝－(log3－3x2)＝3x2＋log3x，又当x＝1时，f(1)＋f(1)＝0，所以f(1)＝0， 所以f(x)＝ 假设方程f(x)＝255有正整数解n，显然n>1，则3n2＋log3n＝255，要使上式能成立，则必有n＝3k，k≥1，k∈N， 所以3×32k＋log33k＝32k＋1＋k＝255， 明显y＝32k＋1＋k为增函数，又当k＝2时，32k＋1＋k＝35＋2＝245<255， 当k＝3时，32k＋1＋k＝37＋3＝2 190>255， 故方程f(x)＝255没有正整数解． ②f(x)在(1，＋∞)上单调递增，证明如下：任取x1>x2>1，则0<<<1， 则f(x1)－f(x2)＝－f()－[－f()] ＝f()－f()， 因为f(x)在(0，1)上单调递增，且0<<<1，所以f()>f()， 所以f(x1)－f(x2)＝f()－f()>0，即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末综合检测(四) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．()－＋27－＝(　　) A. B．2 C. D. 2．已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(2，4)，则loga＝(　　) A．－ B．－1 C. D．1 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax，y＝logax－a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 4．设函数f(x)＝若f(3)＝a，则f(a－2)＝(　　) A．1 B．2 C. D. 5．已知放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有含量的8%，则至少经过(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．110年 B．115年 C．112年 D．120年 6．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(x)的两个相邻的零点是1，2，则“∃x0∈(1，2)，f(x0)>0”是“∀x∈(1，2)，f(x)>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知21a＝ln 11，14b＝ln 5，6c＝ln 2，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)有三个零点a，b，c，且a<b<c，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．a2>b2 B．()a>()b C.> D．ln a>ln b 10．已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数g(x)恰有两个零点，则函数g(x)的零点可以是(　　) A．－ B．－1 C．1 D．2 11．关于函数f(x)＝2，下列命题中正确的是(　　) A．函数图象关于y轴对称 B．函数的单调递增区间为(－1，0)∪(1，＋∞) C．函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值，且最小值为2 D．函数f(x)的值域是[4，＋∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝lg(x2－2)－lg x的零点为________． 13．若函数f(x)＝|2x－8|在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________． 14．函数f(x)＝＋lg(＋x)在区间[－m，m]内的最大值为M，最小值为N，其中m>0，则M＋N＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)求值： (1)＋8＋()－0.52＋(－1)0； (2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝. (1)证明：若x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝2； (2)求f()＋f()＋f(1)＋f()＋f()的值． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)若f(x)＋log2(1－x)<m恒成立，求实数m的取值范围． 18．(本小题满分17分)随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习．已知前四年，平台会员的人数如图所示： (1)依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年后平台会员人数y(千人)，并求出你选择模型的解析式． ①y＝＋b(t>0)，②y＝d·logrx＋s(r>0且r≠1)，③y＝m·ax＋n(a>0且a≠1)； (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过k·()x(k>0)千人，请依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值． 19．(本小题满分17分)已知函数y＝f(x)，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有f(x)＋f()＝0，就称函数y＝f(x)满足性质P. (1)已知f(x)＝2x＋1，判断y＝f(x)是否满足性质P，并说明理由； (2)若y＝f(x)满足性质P，且定义域为(0，＋∞)． ①已知x∈(0，1)时，f(x)＝log3x－，求函数f(x)的解析式并指出方程f(x)＝255是否有正整数解？请说明理由； ②若f(x)在(0，1)上单调递增，判定并证明f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $$