精品解析：重庆市实验外国语学校2024-2025学年八年级下学期入学考试数学试题

重庆实验外国语学校初2026届 数学定时作业 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各点中，在第四象限的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 6. 某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5个棋子，图②中有10个棋子，图③中有16个棋子，……，则图⑦中棋子的个数为（ ） A. 36 B. 41 C. 50 D. 61 9. 如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，其中且，对多项式中任意相邻的字母间添加一个括号（不可对单个字母添加括号），并改变括号前的符号，得到一个新多项式，然后求新多项式的绝对值，称此为“双添变换操作”．例如： ，，，下列结论正确的个数是（ ） ①存在“双添变换操作”的化简结果与原多项式相同； ②至少存在一种“双添变换操作”，使其化简结果与原多项式的差为； ③所有“双添变换操作”共有种不同的化简结果． A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 某种植物果实的质量只有0.0000000221克，将0.0000000221用科学记数法表示为_____． 12. 因式分解：_____． 13. 如图，以正六边形的边向内作正方形，则的度数为_________． 14. 已知，则的值是_____． 15. 如图，中，，，，是内一点且平分，若的面积为，则的面积为_____． 16. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 17. 如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为_____________． 18. 若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是______. 19. 如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为______． 20. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，，是“勾股和数”；又如：，，，不是“勾股和数”． _____（“是”或“否”）“勾股和数”；一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求满足条件的最小为_____． 三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. （1）计算： （2）化简： 22. 先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 23. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． （2）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴ ① ． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴ ③ 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ． 24. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． （1）求证：四边形菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 25. 在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）； （2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 26. 今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了2500元，购买型垃圾桶花费了2000元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？ （2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进型和型两种分类垃圾桶数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买型和型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个型垃圾桶？ 27. 在菱形ABCD中，点E为AB上一点，点F为BC延长线上一点，连接EF交AC于G． （1）如图1，若点E为AB中点，，，求菱形ABCD的面积； （2）如图2，过点F作于点H，．求证：； （3）如图3，在（2）问条件下，将线段CG绕点G旋转得线段，点M为中点，当，时，求HM的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆实验外国语学校初2026届 数学定时作业 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义．根据分式的定义逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】解：，，中，分母都不含字母，都不是分式； 中，分母含字母，是分式； 故选：C． 2. 下列各点中，在第四象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标的特征，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负判断即可． 【详解】解：∵第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴在第四象限， 故选：B． 3. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 故选A． 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式的特征进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6. 某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据1个底面和4个侧面可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答． 【详解】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，可得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 7. 在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据三角形内角和定理求得，结合旋转的性质得，则，利用平行线的性质得，进一步利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到 ∴， ∴， ∵ ∴， 则， 故选：B． 8. 如图是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5个棋子，图②中有10个棋子，图③中有16个棋子，……，则图⑦中棋子的个数为（ ） A. 36 B. 41 C. 50 D. 61 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．根据题意得出第个图形中棋子数为，据此可得． 详解】解：图①中棋子有个， 图②中棋子有个， 图③中棋子有个， ， 图中棋子有， 图⑦中棋子有， 故选：C． 9. 如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点，可证明，由得，，则，所以点的坐标为． 【详解】解：如图，作轴于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故选：D． 10. 已知多项式，其中且，对多项式中任意相邻的字母间添加一个括号（不可对单个字母添加括号），并改变括号前的符号，得到一个新多项式，然后求新多项式的绝对值，称此为“双添变换操作”．例如： ，，，下列结论正确的个数是（ ） ①存在“双添变换操作”的化简结果与原多项式相同； ②至少存在一种“双添变换操作”，使其化简结果与原多项式的差为； ③所有的“双添变换操作”共有种不同的化简结果． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式的操作，绝对值的化简，整式的加减，不等式的性质，熟练掌握利用不等式的性质化简绝对值是解题的关键．根据“双添变换操作”的定义，把所有情况列举出来，利用不等式的性质进行化简，再对选项逐一判断即可． 【详解】解：根据题意依次列举“双添变换操作”， 当相邻两个添加括号时， 情况：； 情况：， ∵， ∴，， ∴， ∴； 情况：， ∵， ∴，， ∴， ∴； 情况：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当相邻三个添加括号时， 情况：， ∵，， ∴， ∴； 情况：； 情况：， ∵，， ∴， ∴； 当相邻四个添加括号时， 情况：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 情况：， ∵，， ∴， ∴； 当相邻五个添加括号时， 情况：， 其中情况的化简结果与原多项式相同， 故①正确； 要使“双添变换操作”的化简结果与原多项式的差为， 则“双添变换操作”的化简结果为， 所有情况中没有符合的， 故②错误； 十种情况中，情况的结果与情况的结果相同；情况的结果与情况的结果相同；其余结果互不相同， 故所有的“双添变换操作”共有种不同的化简结果， 故③正确； 综上所述，正确的结果有个， 故选：C． 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 某种植物果实的质量只有0.0000000221克，将0.0000000221用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学计数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：将0.0000000221用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，以正六边形的边向内作正方形，则的度数为_________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出，进而得由．解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等． 【详解】解：∵正六边形， ∴， 又∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式并求值．根据多项式乘多项式的法则，以及整体代入法，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 15. 如图，中，，，，是内一点且平分，若面积为，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为和， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 17. 如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果． 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当，，三点不共线时，； 当，，三点共线时，． 的最小值是的长， ，， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线找出恰当的全等三角形是解本题的关键． 18. 若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是______. 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法是解题的关键． 先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，结合题意求出满足条件的a的值分别为或4或7，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程有非负整数解，且由且a是整数， ∴或或或， ∴或1或4或7 ∵， ∴，即 ∴或4或7， ∴满足条件的所有整数a之和是， 故答案为9． 19. 如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为______． 【答案】或##8或2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作与，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 20. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，，是“勾股和数”；又如：，，，不是“勾股和数”． _____（“是”或“否”）“勾股和数”；一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求满足条件的最小为_____． 【答案】 ①. 否 ②. 【解析】 【分析】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． 根据“勾股和数”的定义进行验证即可；由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为的倍数，据此得出符合条件的，的值，然后即可求解． 【详解】解：，， 不是“勾股和数”， 故答案为：否； 为“勾股和数”， ， ， 为整数， ， 为整数， 为的倍数， ，或，，此时或； 或，，此时或； 综上所述，满足条件的最小为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和整式的混合计算： （1）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22. 先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，利用分式减法运算求解，再将分式分子分母因式分解，将除法转化为乘法，利用分式乘除运算法则计算即可化简，再由分式分母不能为零得到，再由，且为整数，得到，代入化简结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ，且为整数， 取值为， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式加减乘除运算法则、通分、因式分解、分式有意义的条件、不等式整数解等知识，熟练掌握分数混合运算法则是解决问题的关键． 23. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点作垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． （2）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴ ① ． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴ ③ 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ． 【答案】（1）见解析 （2）；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，根据平分．得出，根据，公共边，可利用证明，得出，则直线即为的垂线； （2）利用证明，得到，结合三角形的面积公式，进而将面积之比转化为相应边的比，得出答案即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作的垂线， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 故答案为：；；；这两个三角形面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 24. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明为菱形； （2）先证明四边形是菱形，为等边三角形，则，再根据角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） （1）求、之间的距离（结果保留根号）； （2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 【答案】（1）、之间的距离为米； （2）路线①更近． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识． （1）连接，在中，，米，求得米，再根据，列式计算即可求解； （2）求得，利用勾股定理解直角三角形求得的长，在中，利用勾股定理求得，据此计算即可判断． 【小问1详解】 解：连接， 由题意得，，米， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得，， ∵， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：∵在的东北方向， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴路线①更近． 26. 今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了2500元，购买型垃圾桶花费了2000元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？ （2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进型和型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买型和型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个型垃圾桶？ 【答案】（1）购买一个型垃圾桶、型垃圾桶分别需要50元和80元；（2）此次最多可购买30个型垃圾桶． 【解析】 【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可； （2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50-a）个，根据购买A、B两种垃圾桶的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题． 详解】（1）设购买一个型垃圾桶需元，则购买一个型垃圾桶需元． 由题意得：． 解得：． 经检验是原分式方程的解． ∴． 答：购买一个型垃圾桶、型垃圾桶分别需要50元和80元． （2）设此次购买个型垃圾桶，则购进型垃圾桶个， 由题意得：． 解得． ∵是整数， ∴最大为30． 答：此次最多可购买30个型垃圾桶． 【点睛】本题考查一元一次不等式与分式方程的应用，正确找出等量关系与不等关系是解决问题的关键． 27. 在菱形ABCD中，点E为AB上一点，点F为BC延长线上一点，连接EF交AC于G． （1）如图1，若点E为AB中点，，，求菱形ABCD的面积； （2）如图2，过点F作于点H，．求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，将线段CG绕点G旋转得线段，点M为中点，当，时，求HM的最大值． 【答案】（1）16 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）点E为AB中点，构造△ABC的中位线EH，2CF＝BC，证△EHG≌△FCG，AG＝3CG，利用等高三角形面积关系和S△AEG＝3依次求△EHG、△GCF、△BGC、△BGA、△BCA的面积，最后求菱形ABCD的面积； （2）过点F作AB的平行线，交AC的延长线于Q，得到等腰三角形，由三线合一得，结合GHAC，得到AG＝QG，证△AGE≌△QGF，得AE＝QF＝CF； （3）C′点的轨迹（路径）是G为圆心，半径为的圆，取GF的中点O，OM是△GFC′的中位线，OM，M点的轨迹（路径）是O为圆心，半径为的圆，HM≤OH+OM，HM的最大值是当H、O、M共线时HM＝OH+OM，HM． 【小问1详解】 解：如图1，取AC中点H，连接EH，连接BG． ∵点E为AB中点， ∴EH是△ABC的中位线， ∴，EHBC， ∴∠GEH＝∠F，∠EHG＝∠FCG， ∵2CF＝BC， ∴EH＝CF， ∴△EHG≌△FCG（ASA）， ∴GH＝GC， ∴AG＝3GH＝3CG， ∵△AEG和△GEH分别选AG和GH为底，高相同， ∴S△AEG＝3S△GEH， ∵S△AEG＝3， ∴S△GEH＝1， ∴S△FCG＝1， ∵2CF＝BC， ∴同理S△BGC＝2S△FGC＝2，S△ABG＝3S△BGC＝6， ∴S△ABC＝8， ∵菱形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴S△ADC＝S△ABC＝8， ∴菱形ABCD的面积是16； 【小问2详解】 证明：如图2，过点F作AB的平行线，交AC的延长线于Q． ∴∠BAC＝∠Q， ∵AB＝CB， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠QCF＝∠BCA， ∴∠QCF＝∠Q， ∴CF＝FQ， ∵FH⊥AC于点H， ∴CH＝QHCQ， ∵GHAC，QG＝GH+QH， ∴GQACCQAQ， ∴GQ＝AG， 又∵∠AGE＝∠QGF，∠EAG＝∠Q， ∴△AGE≌△QGF（ASA）， ∴AE＝QF， ∴AE＝CF； 【小问3详解】 解：如图3， ∵GC′＝GC， ∴点C′的轨迹（路径）是G为圆心，半径为的圆， 取GF的中点O， ∵点M为C'F中点， ∴OM是△的中位线， ∴OMGC′， ∴点M的轨迹（路径）是O为圆心，半径为的圆， ∵HM≤OH+OM， ∴HM的最大值是当H、O、M共线时HM＝OH+OM， ∵∠FHG＝90°，GF的中点是O， ∴OHGF， ∵△AGE≌△QGF， ∴GF＝EG＝7， ∴HM的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$