精品解析：江苏省镇江市实验高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

镇江市实验高中2024-2025学年第二学期2月考试 高二数学试卷 （2025.2） 一、单选题 1. 正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列性质，即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，，且， 所以或， 因为数列是正项递增数列，所以，，则. 故选：A 2. “”是“直线与直线平行”（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当直线与直线平行时，，且，解得 当时，直线为，直线为，两直线平行. 因此“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程后可求焦点坐标. 【详解】由，即，所以焦点坐标为. 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线过定点，圆的最大半径即为，计算可得半径最大的圆的标准方程. 【详解】直线，变形可得， 所以该动直线过定点， 则以点为圆心且与直线相切的所有圆中， 圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为， 则半径最大的圆的标准方程为. 故选:D. 5. 斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 6. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 8. 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在y轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：A 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D． 【详解】函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是的极大值点，是的极小值点，故A错误，C错误； 对B．， 则图象关于点对称，故B正确； 对D．当时，，而在上单调递增， 故，故D正确． 故选：BD 10. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】变形得到，得到为等差数列，从而得到通项公式，进而利用错位相减法求和，得到正确答案. 【详解】因为，所以， 所以为等差数列，且首项为，公差为1， 所以，所以， 所以， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. 故选：AD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（  　 ） A. 在处取得极大值； B. 有两个不同的零点； C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求解极大值，判断选项A，根据函数单调性判断零点个数，判断选项B，根据单调性直接判断选项C，化简不等式，结合函数单调性判断选项D. 【详解】由题知，定义域为， 所以， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，且为，A正确； 因为，， 且当时，，且恒大于0， 所以可得草图如下，则B错误； 由上述可知，， 又，， 所以，C正确； 假设，则， 所以， 因为在上单调递减，则， 则，则， 则，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 椭圆的焦距为2，则__________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果． 【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以， 若焦点在轴上，则有，解得； 若焦点在轴上，则有，解得； 综上所述，或． 故答案为：3或5． 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项以及前项和公式，即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14. 已知是的导函数，且，则________．（写出一个符合条件的即可）． 【答案】（只要符合，为常数，均可） 【解析】 【分析】根据基本初等函数函数的导数和导数的四则运算计算即可. 【详解】因为， 所以依题意，所以，为常数， 故答案为：（只要符合，为常数，均可）. 四、解答题 15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程： （2）若直线与圆的交点为两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标求出弦的垂直平分线的方程，联立直线求出圆心，即可写出圆的方程； （2）由垂径定理即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数在上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）求得函数在上的单调性，再由极值定义计算可得结果. 【小问1详解】 函数的导数为， 可得曲线在点处的切线的斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 令，得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此为的极小值点，也是最小值点， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为． 17. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）由点差法即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦长，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【小问1详解】 由题意知：，又， 解得. 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 设，为线段AB的中点，所以， 因为A，B两点在椭圆上， 所以，两式相减可得：， 则， 即， 而直线OM的斜率为， 直线的斜率为，所以. 故直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值. 小问3详解】 因为直线的斜率不为，所以设直线的方程为：， 由方程组可得：， 可得，， 设点到直线的距离为，则， 即， 令，则， 所以， 当且仅当，即，则时取等， 所以面积的最大值为. 18. 函数，. （1）求函数单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 19. 已知椭圆经过点，离心率为. （1）求的方程； （2）若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得、、的方程组，求出、，即可得解； （2）当直线的斜率不存在时推出矛盾，当直线的斜率存在时，设，,，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用斜率公式得到方程，求出的值，即可得证. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，设． 则，， ，不合题意． ②当直线的斜率存在时，设，,， 联立方程，得． ，，． 又， 即． 将，代入上式， 得，即， 解得或， 当时，，恒过点，不符合题意，故舍去； 当时，，恒过点，符合题意； 直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市实验高中2024-2025学年第二学期2月考试 高二数学试卷 （2025.2） 一、单选题 1. 正项递增等比数列，前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2. “”是“直线与直线平行”的（    ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D 当时， 10. 在数列中，，，，则（ ） A B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（  　 ） A. 在处取得极大值； B. 有两个不同的零点； C. D. 三、填空题 12. 椭圆的焦距为2，则__________． 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________． 14. 已知是的导函数，且，则________．（写出一个符合条件的即可）． 四、解答题 15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程： （2）若直线与圆交点为两点，求. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数在上的最大值与最小值． 17. 在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值； （3）求面积的最大值. 18. 函数，. （1）求函数的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆经过点，离心率为. （1）求的方程； （2）若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$