精品解析：山东省东营市广饶第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

广饶一中三区2024-2025学年度下学期高一数学 收心考试试题 一、单选题 1. 化简·的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案. 【详解】由题意，可知， ∴·. 故选：A. 2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接得出. 【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88. 故选：C. 3. 如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到）分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数，利用最高矩形底边的中点值可得出众数. 【详解】由频率分布直方图得，自学时间在的频率为， 自学时间在的频率为， 所以，自学时间的中位数为，众数为. 故选：C. 【点睛】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案. 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先换底，然后由对数运算性质可得. 【详解】. 故选：B 6. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（ ） A. 9分钟 B. 10分钟 C. 11分钟 D. 12分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解. 【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得， 所以， 又水温从75℃降至45℃，所以，即， 所以， 所以， 所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为增函数 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 8. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果. 【详解】因为在上为增函数，在上为减函数， 所以在为增函数， 所以函数在区间上的值域为， 所以，整理得， 所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下： （1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为. （2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围. 二、多选题 9. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A. M与N互斥 B. M与N不对立 C. M与N相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误. 【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确； 对于选项：事件与不互斥，不是对立事件，选项正确； 对于选项：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立. 对于选项：事件发生概率为 ，事件发生的概率，，选项正确. 故选： 【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题. 10. 对于函数，说法正确的有（ ） A. 对，都有 B. 函数有两个零点，且互为倒数 C. ，使得 D. 对，，都有 【答案】BD 【解析】 【分析】由对数运算性质判断A错，B对，结合对数图像判断C错，D对 【详解】，，由对数运算法则知，选项A错误； 选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确； 由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误； 如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确 故选:BD 【点睛】本题考查对数的基本运算和对数函数的特征，属于基础题 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若方程有个不同的实根，则 D. 若方程有个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，    令，则， 所以且， 故，A错； 因为，所以，B对； 由， 可得或， 由图知，对应有2个不同解， 故对应必有3个不同解，所以，C对； 对于D:， 由图，当时原方程无解； 当时，，对应唯一的x的值，此时原方程只有1个解，不符； 当时，或各有一个值， 前者有3个、2个、1个x的值与之对应，后者只有1个x的值与之对应， 此时原方程共有4个、3个、2个解，不符题意； 令，得或或， 当时，或或各有一个值， 若，无解； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，分别有1个解、2个解、1个解， 原方程共有4个解，不符； 当时，或或各有1个值， 若，有2个x的值与之对应； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 三、填空题 12. 函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 【答案】（-1，1） 【解析】 【分析】由对数函数的性质loga1=0，所以令x+2=1，可知y=1. 【详解】解：由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1 所以y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A（－1，1）， 故答案为（－1，1）. 【点睛】本题考查了对数函数的定点问题，对数函数定点需要把握住loga1=0进行解决. 13. 若则函数的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】结合图象可得答案. 【详解】 如图，函数在同一坐标系中， 且，所以在时有最小值，即. 故答案：1. 14. （1）已知函数满足：，，则方程所有实根之和为__________________． （2）对于函数，若存在使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）首先判断两函数的单调性与对称性，从而得到与有两个交点，且关于对称，结合对称性计算可得； （2）结合奇函数的特征，区间转化法求解析式，再根据新定义转化为两函数图象的交点，进而转化到方程根的问题，利用基本不等式即可解决. 【详解】（1） 由题意知，定义域为， 显然在上单调递减， 当从正数趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 由于，故的对称中心为， 同理， 的对称中心为且单调递增，且趋向于时，趋向于， 故与有两个交点，且关于对称，不妨设两交点横坐标为， 则，故 故的实根之和为． 故答案为： （2） 由“隐对称点”的定义可知，的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则，， 所以，，故的图象与，的图象有交点， 等价于方程有实根， 故， 当且仅当时取得等号，所以，故实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：第（2）先依据对称性求出与函数，图象关于原点对称的函数，进而将题设等价转换成方程有实根，再结合参变分离法和基本不等式计算即可. 四、解答题 15 已知函数，其中． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求使成立的的集合． 【答案】（1） （2）奇函数 （3） 【解析】 【详解】(本小题满分14分) (1)由，得 ∴函数的定义域为． …………………4分 （2）函数的定义域为关于原点对称， ∵ ∴是奇函数．……………………………………………………………8分 (3)由，得. …10分 ∴， 由得， ∴…………………12分 得，解得 ∴使成立的的集合是．……………………………………14分 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． （1）求乙获胜的概率; （2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式以及概率的加法公式计算可得结果； （2）将投篮结束时乙只投了2个球的所有情形的概率相加即可. 【小问1详解】 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中， 则． 记“乙获胜”为事件C， 则 ； 【小问2详解】 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D， 则 ． 17. 甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球甲赢的概率; （2）求该局打5个球结束的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设相应事件，可知，结合独立事件概率乘法法则运算求解； （2）设相应事件，可知事件D，E为互斥事件，且，根据独立事件以及互斥事件概率求法运算求解. 【小问1详解】 设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C， 由题意可知：，，且， 可得， 所以该局打4个球甲赢的概率为． 【小问2详解】 设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F， 可知事件D，E为互斥事件，且， 则， ， 可得， 所以该局打5个球结束的概率为． 18. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意； （2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案； （3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 当时，， 所以为奇函数，故； （2）有解，所以有解， 所以只需， 因为（时，等号成立）， 所以； （3）因为，所以， 可令，可得函数t在递增，即， 则，可得函数，， 由为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以时，取得最小值， 此时，解得， 所以在上的最小值为，此时． 【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得：， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化：， 即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得：， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 则可化为， 又因为在上单调递增，所以， 换底得：， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令， 分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得：， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广饶一中三区2024-2025学年度下学期高一数学 收心考试试题 一、单选题 1. 化简·的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 3. 如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到）分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（ ） A. 9分钟 B. 10分钟 C. 11分钟 D. 12分钟 7. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为增函数 8. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A. M与N互斥 B. M与N不对立 C. M与N相互独立 D. 10. 对于函数，说法正确的有（ ） A. 对，都有 B. 函数有两个零点，且互为倒数 C. ，使得 D. 对，，都有 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 取值范围为 C. 若方程有个不同的实根，则 D. 若方程有个不同的实根，则 三、填空题 12. 函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 13. 若则函数最小值为________． 14. （1）已知函数满足：，，则方程所有实根之和为__________________． （2）对于函数，若存在使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题 15. 已知函数，其中． (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求使成立的集合． 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． （1）求乙获胜的概率; （2）求投篮结束时乙只投了2个球概率． 17. 甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球甲赢的概率; （2）求该局打5个球结束的概率． 18. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$