微专题 爪形三角形研究 专项训练-2025届高考数学二轮复习

爪形三角形研究 微专题 课前学习任务 一、方法归纳 1.三点共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，且＝x＋y(x，y∈R)，则“x＋y＝1”是“A，B，C三点共线”的充要条件． 2.平面向量等和线定理：平面内一组基底，及任一向量满足＝λ＋μ (λ，μ∈R)，如图，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线l上，则λ＋μ＝k，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线． 3.如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式： (1) 利用cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0结合余弦定理找关系； (2) 利用＝＋平方后找关系． 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1) 利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. (2) 内角平分线定理：＝. (3) 等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin ＋b·AD sin ＝bc sin A，所以(b＋c)AD＝2bc cos ，整理得AD＝(角平分线长公式). 5.若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 6. 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． 7.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关． 课堂考点突破 考点1 三点共线的充要条件的应用 例1　(1) (多选)在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝2，点M，N在过点P的直线上，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　ACD　) A．＋为常数 B．m＋n的最小值为 C．m＋2n的最小值为3 D．m，n的值可以为m＝，n＝2 【解析】如图，由＝2，可得－＝2(－)，所以＝＋.若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则＝，＝，所以＝＋.因为M，P，N三点共线，所以＋＝1，即＋＝3，故A正确．当m＝，n＝2时，满足＋＝3，故D正确．因为m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当m＝n时等号成立，故C正确．因为m＋n＝(m＋n)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，当且仅当n＝m，即m＝，n＝时等号成立，故B错误． (例1(1)) (2) 如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　) (例1(2)) A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[0，4] 【解答】C　【解析】如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于G，H，则有＝x＋y，且x＋y＝1.当点P位于点D时，G，H分别位于C′，B′.因为△BCD与△ABC的面积之比为2，所以AC′＝3AC，AB′＝3AB，所以＝x＋y＝x＋y＝x·3＋y·3，因此λ＋μ＝3x＋3y＝3.当点P位于点A时，显然有λ＋μ＝0.故λ＋μ∈[0，3]. (例1(2)) 考点2 与三角形边等分线相关 例2　(2024·聊城三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin B tan A＝a sin B cos C＋b sin C cos A. (1) 求A； 【解答】因为b sin B tan A＝a sin B cos C＋b sin C cos A，所以sin2B tanA＝sin A sin B cos C＋sin B sin C cos A.因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin B tan A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C).因为sin (A＋C)＝sin B，所以tan A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝. (2) 若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，求△ABC的周长． 【解答】方法一：设CD＝x，则在△ABC中，cos ∠BAC＝＝①.在△ACD中，cos ∠ADC＝＝；在△ADB中，cos ∠ADB＝.因为cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝0，所以6x2＋18－c2＝0②.由①②可解得c＝6，x＝，所以△ABC的周长为3＋9. (例2) 方法二：因为BD＝2DC，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以2＝2＋·＋2，即12＝c2＋×c×3×＋×9，即c2＋6c－72＝0，解得c＝6或c＝－12(舍去).由余弦定理得a2＝36＋9－2×6×3×＝27，所以a＝3，所以△ABC的周长为3＋3＋6＝3＋9. 变式2　(2024·保定二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝－a－c. (1) 求B； 【解答】因为a cos B－b cos A＝－a－c，所以根据正弦定理得sin A cos B－cos A sin B＝－sin A－sin C＝－sin A－(sin A cos B＋cos A sin B)，化简得2sin A cos B＝－sin A.因为sin A＞0，所以cos B＝－.因为B∈(0，π)，所以B＝. (2) 若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长． 【解答】在△ABC中，由余弦定理得(2)2＝22＋c2－2×2c cos ，所以c2＋2c－24＝0，解得c＝4.因为BD为△ABC的中线，所以2＝＋，所以4||2＝c2＋a2＋2ac cos .因为a＝2，c＝4，所以4||2＝12，解得||＝，故BD的长为. (变式2) 考点3 与三角形角平分线相关 例3　(2024·南京、盐城期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c tan B＝(2a－c)tan C. (1) 求角B的大小； 【解答】因为c tan B＝(2a－c)tan C，所以由正弦定理得＝.由sin C＞0得sin B cos C＝2sin A cos B－sin C cos B，所以sin B cos C＋cos B sin C＝2sin A cos B，即sin (B＋C)＝2sin A cos B.因为B＋C＋A＝π，所以sin (B＋C)＝sin A，所以sin A＝2sin A cos B.又sin A＞0，所以cos B＝.因为0＜B＜π，所以B＝. (2) 若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值． 【解答】由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得AB×BD×sin ＋BC×BD×sin ＝AB×BC×sin ，所以BD＝.在△ABC中，由余弦定理得AB2＋BC2－AB×BC＝12，所以AB×BC＝≤，从而AB＋BC≤4，当且仅当AB＝BC时取等号．从而BD＝＝(AB＋BC)－≤3，当且仅当AB＝BC＝2时取等号，故BD长的最大值为3. (例3) 变式3　(2024·邯郸三调节选)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为(a2＋c2－b2)，若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE＝，则a＋4c的最小值为__9__. 【解析】由题意知S＝ac sin B＝(a2＋c2－b2)，整理得a2＋c2－b2＝ac sin B.由余弦定理知a2＋c2－b2＝2ac cos B，所以tan B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.由题意得S△ABE＋S△BCE＝S△ABC，即c×BE×sin ＋a×BE×sin ＝c×a×sin ，整理得a＋c＝ac，即＋＝1，所以a＋4c＝(a＋4c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立． 考点4 与三角形高线相关 例4　(2024·苏中苏北八市三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b－c)cos A＝a cos C. (1) 求A； 【解答】因为(2b－c)cos A＝a cos C，所以由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A＝sin A cos C，即2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)，即2sin B cos A＝sin B.因为在△ABC中，sin B≠0，所以cos A＝.又因为0＜A＜π，所以A＝. (2) 若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 【解答】因为△ABC的面积为，所以a×1＝，得a＝2.由bc sin A＝，得bc×＝，所以bc＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即12＝b2＋c2－bc，化简得(b＋c)2＝3bc＋12，所以(b＋c)2＝24，即b＋c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2. 课后检测 1．在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM所在直线上一点，若＝＋m，则实数m的值为(　D　) A．－ B．－ C． D． 【解析】 由＝，得＝3．由＝＋m，得＝＋m(－)＝－m＝－m．因为B，N，M三点共线，所以＋(－m)＝1，解得m＝． (第1题) 2．(2024·太原三模)已知△ABC 中，A＝120°，D是BC的中点，且 AD＝1，则△ABC 面积的最大值为(　A　) A． B．2 C．1 D．2 【解析】 因为A＝120°，所以·＝||||·cos120°＝－bc．因为AD是中线，所以＝(＋)，2＝(2＋2＋2·)，所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时等号成立，所以△ABC的面积S＝bcsinA≤×4×＝． 3．在半径为1的扇形AOB中，·＝0，点C在上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是(　C　) A．－ B． C．1 D．2 【解析】 方法一：由·＝0知OA⊥OB，如图(1)，以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设C(x，y)，∠AOC＝α，则x＝cosα，y＝sinα，α∈，则2x＋y＝2cosα＋sinα＝sin(α＋θ)，其中sinθ＝，cosθ＝，θ∈．因为θ≤α＋θ≤＋θ，sinθ＝，sin＝cosθ＝，所以≤sin(α＋θ)≤1，所以1≤sin(α＋θ)≤，即2x＋y的最小值为1． 方法二：(等和线)如图(2)，设＝2，则＝x＋y＝2x＋y，所以当点C与点B重合时，2x＋y取得最小值1． 图(1) 　 图(2) (第3题) 4．(2024·厦门四检)(多选)已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足＝2，＝，AE与CD交于点O，则(　ABD　) A．＝＋ B．·＝8 C．＝2 D．|＋＋|＝ 【解析】 如图，对于A，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确．对于B，因为△ABC为等边三角形，＝，E为中点，所以AE⊥BC，所以AO⊥BC，即·＝0，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝||||cos60°＝4×4×＝8，故B正确．对于C，设＝λ，由(1)得＝＋＝＋，所以＝＋，又O，A，E三点共线，所以＋＝1，解得λ＝，所以O为CD上靠近点D的四等分点，故C错误．对于D，＝＋＝＋，设＝t，则t＝＋，所以＝＋，又O，C，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝2，所以O为AE中点，所以＋＋＝＋(＋)＝＋2＝＝，从而|＋＋|＝||＝，故D正确． (第4题) 5．(2024·聊城期中)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，内角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，则以下结论正确的是(　ACD　) A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面积为 【解析】 在△ABC中，因为b＝ccosA，则b＝c×，整理得b2＋a2＝c2，所以C＝，由二倍角公式得cos∠BAC＝2cos2∠CAD－1＝，解得cos∠CAD＝，在Rt△ACD中，AC＝ADcos∠CAD＝，故A正确．在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，故B错误．由题意可知∠CAD＝∠BAD，则＝＝，故C正确．在△ABD中，因为cos∠BAD＝，则sin∠BAD＝＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin∠BAD＝×1×6×＝，故D正确． 6．(2024·龙岩3月质检)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝____． 【解析】 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得×2×3×sin120°＝×2AD×sin60°＋×3AD×sin60°，解得AD＝． 7．(2024·丽水、湖州、衢州二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝，BC边上的高等于a，则△ABC的面积是____，sinA＝____． 【解析】 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD＝a．又B＝，c＝，在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，即a2＋a2＝2，解得a＝3，所以S△ABC＝AB·BC·sin∠ABD＝××3×＝．在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝1＋4＝5，所以b＝．由正弦定理＝，得＝，可得sinA＝． (第7题) 8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btanA＝(2c－b)tanB，则bc＝__8__． 【解析】 因为btanA＝(2c－b)tanB，所以＝－1，所以1＋＝，根据正弦定理得1＋＝，即＝．因为sin(A＋B)＝sinC≠0，sinB≠0，所以cosA＝，所以A＝．设BC边上的中线为AM，则AM＝2．因为M是BC的中点，所以＝(＋)，即2＝(2＋2＋2·)，所以c2＋b2＋bc＝32①．设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sinA，得bc＝，即bc＝2a②，根据余弦定理得a2＝c2＋b2－bc③，联立①②③得2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)． (1) 求角A的大小． 【解答】 由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，可得b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理可得cosA＝＝－．因为0＜A＜π，所以A＝． (2) 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若b＝3，c＝4，D是BC边上的一点，且________， 求线段AD的长． ①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线； ③AD是△ABC的角平分线． 【解答】 若选①，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋16＋12＝37，所以a＝．根据等面积法得S＝bcsinA＝a·AD，则AD＝＝＝． 若选②，＝(＋)，所以||2＝(||2＋||2＋2·)＝(b2＋c2＋2bccosA)＝×＝，所以||＝． 若选③，由于S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以bcsinA＝c·ADsin＋b·ADsin，即×3×4×sin＝×4AD×sin＋×3AD×sin，解得AD＝． 10．(2024·临沂二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ccos(A－B)＝2a·sinBcosC－ccosC． (1) 求C； 【解答】 由ccos(A－B)＝2asinBcosC－ccosC，得ccos(A－B)＋ccosC＝2asinBcosC，所以c[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2asinBcosC，即2csinAsinB＝2asinBcosC．由正弦定理边化角得sinCsinAsinB＝sinAsinBcosC．因为A，B∈(0，π)，sinA＞0，sinB＞0，所以sinC＝cosC，所以tanC＝．又因为C∈(0，π)，所以C＝． (2) 若点D在线段AB上，且BD＝2DA，求的最大值． 【解答】 因为点D在线段AB上，且BD＝2DA，所以－＝2(－)，所以＝＋，所以2＝2＋2＋·＝b2＋a2＋ab≤b2＋a2＋(a2＋b2)＝a2＋b2，当且仅当a＝b时等号成立．所以≤＝，即的最大值为． (第10题) 11．(2024·河南济、洛、平、许三模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，且a≠c． (1) 求证：B＝2C； 【解答】 由余弦定理可得＝＝，故b＝2ccosC，由正弦定理得sinB＝2sinCcosC＝sin2C，所以在△ABC中，B＝2C或B＋2C＝π．若B＋2C＝π，又B＋A＋C＝π，故A＝C．因为a≠c，所以A≠C，故B＋2C＝π不满足题意，舍去，所以B＝2C． (2) 若∠ABC的平分线交AC于点D，且a＝12，求线段BD的长度的取值范围． 【解答】 在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝＝＝．因为△ABC是锐角三角形，且B＝2C，所以得＜C＜，＜cosC＜，所以4＜BD＜6．所以线段BD的长度的取值范围是(4，6)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 爪形三角形研究 微专题 课前学习任务 一、方法归纳 1.三点共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，且＝x＋y(x，y∈R)，则“x＋y＝1”是“A，B，C三点共线”的充要条件． 2.平面向量等和线定理：平面内一组基底，及任一向量满足＝λ＋μ (λ，μ∈R)，如图，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线l上，则λ＋μ＝k，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线． 3.如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式： (1) 利用cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0结合余弦定理找关系； (2) 利用＝＋平方后找关系． 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1) 利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. (2) 内角平分线定理：＝. (3) 等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin ＋b·AD sin ＝bc sin A，所以(b＋c)AD＝2bc cos ，整理得AD＝(角平分线长公式). 5.若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 6. 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． 7.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关． 课堂考点突破 考点1 三点共线的充要条件的应用 例1　(1) (多选)在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝2，点M，N在过点P的直线上，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　　) A．＋为常数 B．m＋n的最小值为 C．m＋2n的最小值为3 D．m，n的值可以为m＝，n＝2 (2) 如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　) (例1(2)) A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[0，4] 考点2 与三角形边等分线相关 例2　(2024·聊城三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin B tan A＝a sin B cos C＋b sin C cos A. (1) 求A； (2) 若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，求△ABC的周长． 变式2　(2024·保定二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝－a－c. (1) 求B； (2) 若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长． 考点3 与三角形角平分线相关 例3　(2024·南京、盐城期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c tan B＝(2a－c)tan C. (1) 求角B的大小； (2) 若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值． 变式3　(2024·邯郸三调节选)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为(a2＋c2－b2)，若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE＝，则a＋4c的最小值为____. 考点4 与三角形高线相关 例4　(2024·苏中苏北八市三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b－c)cos A＝a cos C. (1) 求A； (2) 若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 课后检测 1．在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM所在直线上一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 2．(2024·太原三模)已知△ABC 中，A＝120°，D是BC的中点，且 AD＝1，则△ABC 面积的最大值为(　　) A． B．2 C．1 D．2 3．在半径为1的扇形AOB中，·＝0，点C在上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是(　　) A．－ B． C．1 D．2 4．(2024·厦门四检)(多选)已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足＝2，＝，AE与CD交于点O，则(　ABD　) A．＝＋ B．·＝8 C．＝2 D．|＋＋|＝ 5．(2024·聊城期中)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，内角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，则以下结论正确的是(　　) A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面积为 6．(2024·龙岩3月质检)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝___． 7．(2024·丽水、湖州、衢州二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝，BC边上的高等于a，则△ABC的面积是___，sinA＝____． 8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btanA＝(2c－b)tanB，则bc＝____． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)． (1) 求角A的大小． (2) 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若b＝3，c＝4，D是BC边上的一点，且________， 求线段AD的长． ①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线； ③AD是△ABC的角平分线． 10．(2024·临沂二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ccos(A－B)＝2a·sinBcosC－ccosC． (1) 求C； (2) 若点D在线段AB上，且BD＝2DA，求的最大值． 11．(2024·河南济、洛、平、许三模)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，且a≠c． (1) 求证：B＝2C； (2) 若∠ABC的平分线交AC于点D，且a＝12，求线段BD的长度的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$